1、3.3 RC電路的響應(yīng)經(jīng)典法分析電路的暫態(tài)過程，就是根據(jù)激勵(lì)通過求解電路的微分方程以得出電路的響應(yīng)。激勵(lì)和響應(yīng)都是時(shí)間的函數(shù)所以這種分析又叫時(shí)域分析。3.3.1 RC電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)-無電源激勵(lì)，輸入信號為零。在此條件下，由電容元件的初始狀態(tài)uC（0+）所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)。分析RC電路的零輸入響應(yīng)，實(shí)際上就是分析它的放電過程。如圖3.3.1(RC串聯(lián)電路，電源電壓U0)。換路前，開關(guān)S合在位置2上，電源對電容充電。t=0時(shí)將開關(guān)從位置2合到位置1，使電路脫離電源，輸入信號為零。此時(shí)，電容已儲(chǔ)有能量，其上電壓的初始值uC（0+）=U0；于是電容經(jīng)過電阻R開始放電。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，

2、列出t0時(shí)的電路微分方程RCduC/dt+uC=0 3.3.1式中 i=CduC/dt令式 3.3.1的通解為 uC=Aept 代入3.3.1并消去公因子Aept得微分方程的特征方程 RCp+1=0 其根為p=-1/RC 于是式3.3.1的通解為 uC=Ae-1t/RC定積分常數(shù)A。根據(jù)換路定則，在t=0+時(shí)，uC（0+）=U0，則A=U0。所以 uC= U0e-1t/RC= U0 e-1/ - 3.3.3 其隨時(shí)間變化的曲線如圖3.3.2所示。它的初始值為U0，按指數(shù)規(guī)律衰減而趨于零。式3.3.3中，=RC 它具有時(shí)間的量綱，所以稱電路時(shí)間常數(shù)。決定uC衰減的快慢。當(dāng)t=時(shí)， uC= U0e

3、-1=U0/2.718=36.8%U0 可見等于電壓uC衰減到初始值U0的36.8%所需的時(shí)間。可以用數(shù)學(xué)證明，指數(shù)曲線上任意點(diǎn)的次切距的長度都等于。以初始點(diǎn)為例圖3.3.2（a）duC/dt=-U0/ 即過初始點(diǎn)的切線與橫軸相交于。從理論上講，電路只有經(jīng)過t=的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)定。但是，由于指數(shù)曲線開始變化較快，而后逐漸緩慢，如下表所列23456e-1e-2e-3e-4e-5e-6o.3680.1350.0500.0180.0070.002所以，實(shí)際上經(jīng)過t=5的時(shí)間，就足以認(rèn)為達(dá)到穩(wěn)態(tài)了。這時(shí)uC=U0e-5=0.007 U0=（0.7%）U0越大，uC衰減的越慢（電容放電越慢）如圖3.3.

4、3所示。因?yàn)樵谝欢ǔ跏茧妷合拢娙菰酱螅瑒t儲(chǔ)存的電荷越多；而電阻越大，則放電電流越小。這都促使放電變慢。因此，改變R或C的數(shù)值，也就是改變電路的時(shí)間常數(shù)，就可以改變電容放電的快慢。 至于t0時(shí)電容的放電電流和電阻上的電壓，也可求出即i=CduC/dt=-U0e-t/R； uR=Ri=-U0 e-t/上兩式負(fù)號表示放電電流的實(shí)際方向與圖3.3.1中所選定的參考方向相反。所求uC ，uR及i隨時(shí)間變化的曲線畫在一起，如圖3.3.2（b）所示。例3.3.1電路如圖所示，開關(guān)S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時(shí)，將開關(guān)閉合，試求t0時(shí)電壓uC和電流iC、i1及i2。3.3.2 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響

5、應(yīng)-換路前電容元件未儲(chǔ)能，uC（0-）=0。在此條件下，由電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)。 分析零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)際上是分析它的充電過程。圖3.3.5為RC串聯(lián)電路。在t=0時(shí)將開關(guān)S合上，電路即與一恒定電壓為U的電壓源接通，對電容開始充電。此時(shí)實(shí)為輸入一階躍電壓u，如圖3.3.6（a）所示。它與恒定電壓圖3.3.6（b）不同，其表示式為 0 t0u= U t0根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列出t0時(shí)電路中電壓和電流的微分方程U=Ri+uC=RCduC/dt+uC -3.3.7 式中 i=CduC/dt式3.3.7的通解有兩個(gè)部分：一個(gè)是特解uC，一個(gè)是補(bǔ)函數(shù)uC，即 uC= uC+ uC=U+Ae-t/RC在

6、t=0時(shí)，uC（0+）=0，則積分常數(shù)A=-U。所以電容兩端的電壓uC= U- Ue-t/RC= U（1-e-t/RC）= U（1- e-t/）所求電壓uC隨時(shí)間變化的曲線如圖3.3.7所示。uC不隨時(shí)間變化，uC按指數(shù)規(guī)律衰減而趨于零。因此，電壓uC按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間增長而趨于穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)t=時(shí)，uC= U（1- e-1）= U（1- 1/2.718）= U（1- 0.368）=（63.2%）U從電路的角度來看，暫態(tài)過程中電容兩端的電壓uC可視為由兩個(gè)分量相加而得：其一是uC，即到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)的電壓，稱穩(wěn)態(tài)分量，它的變化規(guī)律和大小都與電源電壓U有關(guān)；其二是uC，僅存在于暫態(tài)過程中，稱為暫態(tài)分量，它的

7、變化規(guī)律與電源電壓無關(guān)，總是按指數(shù)規(guī)律衰減，但是它的大小與電源電壓有關(guān)。當(dāng)電路中儲(chǔ)能元件的能量增長到某一穩(wěn)態(tài)值或衰減到某一穩(wěn)態(tài)值或零值時(shí)，電路的暫態(tài)過程隨即終止，暫態(tài)分量也趨于零（在上面所討論的RC電路的零輸入響應(yīng)中，穩(wěn)態(tài)分量為零值）。至于t0時(shí)電容充電電路中的電流，也可求出，即i=CduC/dt=Ue-t/R 由此R上的電壓 uR=Ri=Ue-t/uC, uR及i的變化曲線如圖3.3.8所示。綜上所述，可將計(jì)算線性電路暫態(tài)過程的步驟歸納如下：（1） 按換路后的電路列出微分方程；（2） 求微分方程的解，即穩(wěn)態(tài)分量；（3） 求微分方程的補(bǔ)函數(shù)，即暫態(tài)分量；（4） 按照換路定則確定暫態(tài)過程的初始值

8、，從而定出積分常數(shù)。分析較為復(fù)雜的電路的暫態(tài)過程時(shí)，也可以應(yīng)用戴維寧定理或諾頓定理將換路后的電路化簡為一個(gè)簡單電路（如圖3.3.5），而后利用由上述經(jīng)典法所得出的式子。例3.3.2如圖所示的電路中，U=9V，R1=6k，R2=3 k，C=1000pF,uC（0）=0。試求t0時(shí)的電壓uC。 解：略3.3.3 RC電路的全響應(yīng)全響應(yīng)-電源激勵(lì)和電容元件的 等效電路初始狀態(tài)uC（0+）均不為零時(shí)電路的響應(yīng)。也就是零輸入與零狀態(tài)響應(yīng)兩者的疊加。在圖3.3.5的電路中，階躍激勵(lì)的幅值為U，uC（0-）=U0。t0時(shí)的電路的微分方程和式3.3.7相同，也由此得出uC= uC+ uC=U+Ae-t/RC但

9、積分常數(shù)A與零狀態(tài)時(shí)不同。在t=0+時(shí)，uC（0+）= U0，則A= U0- U所以 uC= U+（U0- U）e-t/RC -3.3.11 改寫為 uC= U0 e-t/+ U（1- e-t/）顯然 右邊第一項(xiàng)為零輸入響應(yīng)；第二項(xiàng)即零狀態(tài)響應(yīng)；有全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)這是疊加原理在電路暫態(tài)分析中的體現(xiàn)。求全響應(yīng)時(shí)，可把電容的初始狀態(tài)uC（0+）看作一種電源。uC（0+）和電源激勵(lì)分別作用時(shí)所得的零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)疊加即為全響應(yīng)。式3.3.11右邊也有兩項(xiàng)：為穩(wěn)態(tài)分量；為暫態(tài)分量；于是全響應(yīng)也可表示為： 全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量求出后，就可得出 i=CduC/dt, uR=Ri 例3.3.3在圖3.3.10中，