1、解三角形題中的邊與角的轉化策略舒云水解答一些解三角形的題目，常常需要運用正弦定理、余弦定理及三角形內角和定理等知識，將已知條件中的邊的關系轉化為角的三角函數關系式或 將角的三角函數關系式轉化為邊的關系式， 下面談談解三角形題中的邊與角 轉化的常見策略.將角的正（余）弦關系式轉化為邊的關系式解：由題設并利用正弦定理，得等式，對于這種等式，一般有兩種轉化思路可考慮：一是將邊轉化為角；二 是將角轉化為邊.本題若將邊轉化為角，即將已知等式轉化為例1在/ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知51sin A sinC -sin B,b 1,ac-.求a,c的值.44分析：運用正弦定理將三個角

2、的正弦關系si nA三條邊的關系“a c 5b”，聯立“aCCacsinC -sinB” 轉化為41”，解方程組即可求5a c a 1/，解得c1，或1c ac 44sin A si nC5 .一sin4in B”轉化為邊關系CCa c-b”是解本題的關鍵.4在ABC中,c分別為內角B、C的對邊，且2asin A(2 b c)sin B (2c b)sinC求A的大小.分析: 本題已知條件“2as in A (2 b c)si nB (2 cb）sinC”是一個邊角混合“2sin2A (2sinB sinC)sin B (2sinC sin B)sinC”，再化簡求A比較困難.而5將角化成邊“

3、2a2(2b c)b (2c b)c”，化簡得：a2b2c2bc，再利用余弦定理很容易求出A-解：由已知，根據正弦定理得2a2(2b c)b (2c b)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得：a2b2c22bccosA.1故cosAA 120o2點撥：運用正弦定理，將已知的邊角混合關系式轉化為只含邊的關系式 是解決本題的切入點、突破口.二、將邊的關系式轉化為角的三角函數關系式解答有關解三角形的問題，有時需要運用正(余)弦定理，將已知條件中邊的關系轉化為角的三角函數關系式sinC，再根據sinC sin(A B)，進一步化簡即可求出解：根據acosB bcosA -c以及正弦定理，可得53 4

4、533sinAcosB sin BcosA -sine -sin(A B),5533sin AcosB sin BcosA -sine-sin AcosB55十,28因此，有-si nAcosB-cosAs in B,55tan A ,例3設ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB bcosA -c.求 的值 5tan B分析：根據本題要求的結論丑tan B“acosB bcosA - c” 中的邊a、b、，本題應將已知條件的邊角混合關系式c轉化為si nA、sin B、tanAtan B3-cos Asin B-“2sin2A (2sinB sinC)sin B (2s

5、inC sin B)sinC”，再化簡求A比較困難.而5點撥：運用正弦定理將已知的邊角混合關系式轉化為只含角的關系式是解決本題的關鍵.例4設ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB 3，bsin A 4.求邊長a- 4-tan B即cosAsin B 2cosCsinB 2sinCcosB分析: 本題是一道求邊長的題目，先將兩個已知等式“bsin A 4”禾口“ acosB3”整合，即將兩個等式左、右兩邊分別相除，再用正弦定理將-轉a,化簡求出tanB,再進一步求出cosB、a.化為si nA解：將acosB 3、bsinA 4兩式相除，有4 bsin A3 acosB又

6、通過acosBsin Bsi nA _-tan B,sin AcosB3知：cosB 0,則cosB 3,點撥：解本題有兩個關鍵點：1.將兩個已知條件等式整合，相除；2.運用正弦定理將b轉化.a sin A前面分別談了將角轉化為邊與將邊轉化為角兩種思路.事實上，一些題目用兩種轉化方法都可以求解，有時還要綜合運用上面兩種轉化方法，下面舉一例說明.例5在ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知cos A 2cos CcosB思路1：專，求栄的值.將邊轉化為角.運用正弦定理將解法1：在ABC，由 COSA2cosCcos A 2cosCcosBcosB2si nC si nAsin B2

7、c a轉化為2sinC sin Absin B3 及正弦定理可得bsin AcosB,貝J cosAsin B sinAcosB 2sinCcosB 2cosCsinB,sin( A B) 2sin(C B)，而ABC, 則sinC 2sin A，即竺2.sin A思路2:將角轉化為邊.直接運用余弦定理將cosA、cosB、cosC轉化為由余弦定理可得.2 2 2 2 .2 2 2 2 .2b c a a b c a c b2caa整理可得c 2a，由正弦定理可得啞E2.sin A a三、三角形三個內角之間的轉化根據三角形內角和定理及已知條件，用已知角來表示待求角，也是解三角形問題中常用的轉化

8、策略.3a cosA ccosB bcosC.(1)求cosA的值;若cosB cosC2總，求sinC的值.3分析：題目所給已知條件關系式是邊、角混合式，(1)小題若運用余弦定理化角為邊，求解較難.適宜運用正弦定理化邊為角，得到關系式:3si nAcosA sin C cosB si n BcosC si n(B C), 再根據三角形內角和定理邊，得到邊的關系式c即可求出的值.sin A解法2:在ABC,2a，再運用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系,由cosA 2cosC 2c a可得cosBbcosA 2bcosC2ccosB acosB.2 2 .2a c b2c例6在ABC中，A、B、

9、C的對邊分別是c，已知解：(1)由3acosA ccosB bcosC及正弦定理得3sin AcosA sin A, 所以cosA -.3(2)si nA J1 cos2A.3由cosB cosC誓得cos(AC) cosC琴，展開易得cosC 72sinC=j3.又sin2c cos2C 1,所以(73 72sinC)2sin2C 1.化簡整理得(73sinc 72)20,J3sinC420,sinC毎3點撥：注意角之間的轉化，將sin(B C)轉化為sin A,cosB轉化為cos( A C)是成功解答本題的關鍵.練習：1.ABC中，角A、B、C所對的邊分別為(73b c)cos A a cosC，貝JcosAsin (B C)將轉化為sin A,便可容易求出cosA. (1)小題已求出cosA,A為已知角,C為待求角，關鍵是要運用三角形內角和定理將B轉化為(A C),化簡I*I*cos( A C) cosC得cosC 72sin