1、三角形的五心幾何性質(zhì)一重心三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心。重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為21。2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的 3 個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。3、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其 重心坐標(biāo)為（ (X1+X2+X3)/3 ，（Y1+Y2+Y3)/3 。二垂心三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心。1、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2 倍。2、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。垂心的坐標(biāo)A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心 H(x0

2、,y0)用斜率是負(fù)倒數(shù)關(guān)系 Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc 得到方程 (y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)同理可得方程 (y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)解出 x0,y0 即可，三內(nèi)心三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。1、 直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。2、 O 為三角形的內(nèi)心，A 、B、 C 分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AO 交 BC 邊于 N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC3、（內(nèi)角平

3、分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系） ABC 中， 0 為內(nèi)心， A 、 B、 C 的內(nèi)角平分線分別交BC、AC 、AB 于 Q、P、R，則 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.4、 ABC 中， A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， C(x3 ， y3) ，那么 ABC 內(nèi)心坐標(biāo) 是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)法一：向量法設(shè) :在三角形 ABC 中 ,三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為： A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c

4、 內(nèi)心為 I （ X，Y）則有 aMA+bMB+cMC=0 （三個(gè)向量）MA= （X1-X， Y1-Y ）MB=(X2-X,Y2-Y)MC=(X3-X,Y3-Y)則： a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0 X= （ aX1+bX2+cX3)/(a+b+c) I （ aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)， a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0， Y= （ aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)，（ aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）幾何法：設(shè) A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3) ，AB=c,BC=a,AC=b, 內(nèi)心為 I ， AI 交 B

5、C 于 D， BI 交 AC 于 E，CI交AB與F由平面幾何 性質(zhì)得 BD/DC=c/b ， AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏勞斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1b/a*(b+c)/b*DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA*a/(b+c)BD=c/b*DC D (x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b)(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)IXi=(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1/1+a/(b+c)Yi=(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1/1+a/(b+c)I(a

6、x1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c)四外心三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心。1、外心到三頂點(diǎn)的距離相等2、若 O 是 ABC 的外心，則 BOC=2A（ A 為銳角或直角）或 BOC=360°-2 A（ A 為鈍角）。已知 A(a,b)B(c,d)C(e,f)求三角形 ABC 外心坐標(biāo)（ x,y ）三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心外心坐標(biāo)（ x,y）1)利用半徑相等(x-a)2+(y-b)2=r2(x-c)2+(y-d)2=r2(x-e)2+(y-f)2=r2解出 x,y2）利用中垂線交點(diǎn)AB 中垂線y=(c-a)x/(b-d)+(a2+b2-c2-d2)/(b-d)AC 中垂線y=(e-a)x/(b-f)+(a2+b2-e2-f2)/(b-f)假設(shè)：m=(c-a)/(b-d),n=(e-a)/(b-f)p=(a2+b2-c2-d2)/(b-d)q=(a2+b2-e2-f2)/(b-f)y=m