1、.第四講：（2）非線性方程數值解法在實際物理問題中，例如如何知道熱平衡時的溫度，力平衡時的力的大小等平衡量，需要求解平衡方程。對于不能解析求解的代數方程就需要數值求解。本講只討論單變量的代數方程 （4.2-1）為了求解滿足方程的變量，即方程的根，有時需要用圖示的方法大體了解解的位置。下面介紹幾種求方程（4.2.1）根的方法。4.2.1 二分法（Bisection Method）方程根附近的性質是要改變符號，一般來說，如果在區間是連續的實函數，并且和有相反的符號，即 （4.2-2）那么在區間內至少有一個實根。一般采用增量搜尋的方法來確定函數變號的間隔，例如；然后將這個間隔分成更小的許多子間隔來確

2、定函數變號的位置（即根）。怎樣再細分間隔，通常采用的一種方法是對分區間套的方法，即二分法。二分法求根步驟： 通過滿足條件，確定有根區間 估算根：，如果, 則 為解 做下面的計算，確定根在那個子區間(a) 如果，則根在區間，設，返回到(b)否則，則根在區間，設，返回到二分法求根示意圖=例題4.2-1用二分法計算方程的在區間（1，2）的根。解：計算程序見BISECTION.f90結果為：istep=20, x=1.69460011, dx=0.0.00000096=4.2-2 弦截法弦截法的基本思想同二分法相同，所不同的是二分法取中點做為試探根，而弦截法用連接點和的弦與軸的交點做為試探根。由圖可見

3、， 由此可得試探根為 （4.2-3）然后將，重復計算（3）式，當相繼兩次計算的之差滿足一定精度時，則得到解。弦截法求根示意圖=例題4.2-2用弦截法計算方程的在區間（1，2）的根。解：計算程序見SECANT.f90結果為：istep=5, x=1.69460106, dx=-0.00000012=4.2-3 不動點迭代法設給定一個非線性方程，在用迭代方法求其實根時，先將它轉換成等價方程： (4.2-4)然后構造迭代格式： (4.2-5)對于給定的初始值，若由此生成的迭代序列有極限，記為,則顯然是方程(4.2-4)的解，從而也是方程的解。 稱為迭代函數；由于收斂點滿足，故將稱為函數的不動點；迭代

4、格式(4.2-4)稱為不動點迭代法（或基本迭代法）。在迭代格式(4.2-5)中，僅由前一個迭代值決定，也稱該迭代格式為單步法。可以有多種構造迭代函數的方法。迭代函數的不同選擇對應不同的迭代法，它們的收斂性有很大的差異。=例題4.2-3 用迭代法求方程的一個實根解:可以有兩種方法構造迭代函數 和 它們對應的不動點迭代法分別為： , ,由于,即函數在區間1,2上改變符號，且連續，所以區間1,2是有根區間。取其中點為初值，進行迭代，程序為結果為：取迭代公式收斂，不動點，而取迭代公式發散。=判斷收斂還是發散的一種方法是做兩個曲線的圖示方法。例如，迭代公式是：，將方程分成兩部分：作圖從(a)和(b)圖可

5、以看出：從初始點出發（縱向交曲線，橫向交的直線）,可見迭代點向兩曲線交點靠近，即估計值接近解，迭代是收斂的；圖(c)和(d)結果正相反，迭代是發散的。這里不加證明給出判別方法，當，即曲線的斜率的絕對值小于的斜率時迭代是收斂的。4.2-4 非線性方程的牛頓（Newton）迭代Newton迭代法的實質是在方程解的附近，將非線性方程線性化的一種近似方法。設非線性函數是連續可微，是方程的實根，是迭代方法中的某個迭代值。將在根的近似點附近展開成Taylor級數：取其線性部分作為非線性方程的近似方程，即： (4.2-6)若，則記線性方程(4.2-6)的解為，將 （4.2-7） 作為根的新近似值的迭代格式。

6、這種方法稱為Newton迭代法。Newton迭代法的幾何意義是：在迭代過程中，用函數過點的切線 作為的近似，并以此切線與x軸的交點作為新的迭代點，見上圖。因此牛頓迭代法也稱為切線法。=例題4.2-4用Newton迭代法求函數在1,2的根解：求解的程序是NEWTON.f90結果為：=作業:HW4.2-1用Newton迭代法求方程在附近的一個實根。解：參考計算程序denwt0.c,子程序dnewt.c,結果：x = 1.4655712e+000在 Newton迭代法的計算過程中，每一步都要計算導數值，往往計算量很大；另一方面，如果函數不可導，就無法使用Newton迭代法。為了克服這些困難，同時利用

7、Newton 法收斂快的特點，可以用兩點處的差商代替，得到的迭代格式 （4.2-8）稱為割線法（或離散Newton法,就是前面講的弦截法）。它的幾何意義是通過曲線上點和作割線，用該割線與軸的交點作為新的迭代點，見上圖。用割線法計算時，要計算并保留；所以割線法不屬于不動點迭代法，而是一種兩步迭代法。這種方法的缺點是：需要兩點開始迭代過程。4.2-5 非線性方程組的解 求解非線性方程組： （4.2-9）通常采用兩種方法：一種是迭代方法，另一種是求函數極小值的方法。（1） 牛頓迭代法不妨以兩個方程組為例：設是試探解，在的鄰域做泰勒展開，保留線性項 （4.2-10）得到關系： （4.2-11）其中：

8、，如果，求解方程（4.2-11）得解，則得迭代公式，或 （4.2-12）計算步驟如下： 給定初始近似根和允許誤差：，并假定已得到第k次近似 計算： 計算：若則計算結束，作為滿足精度要求的近似解；否則，執行 求解代數方程組，得到 計算： 及若則計算結束，作為滿足精度要求的近似解；否則，將在計算中有時用差分代替微分計算系數矩陣。=例題4.2-5：用牛頓迭代法求下列非線性方程組的一組實根：解：精確解是：，選初始迭代值，計算程序：NETN0.for,子程序：NETN.for,AGAUS.for=作業：HW4.2-2 求下列非線性方程組的一組實根：解：參考程序：dnetn0.c,dnetn.c,agau

9、s.cx = 7.8519693e-001, y = 4.9661139e-001,z = 3.6992283e-001（2） 最速下降法也稱梯度下降法，是求函數極小值最常用的方法之一。為了簡單，我們以兩個方程組為例：構造一個指標函數，通過求F的零極小值點來得到方程的解。通常從某一點出發，沿著F下降的方向逐步接近F的零極小值。通常梯度的反方向是最陡下降方向。函數在點的梯度方向就是該點等值線過切點的法線方向，梯度為設是方程組得一個近似解，計算在該點的梯度值從出發，沿負梯度方向前進一適當步長得新點如何選擇，才能使新點是在方向上的相對極小值。將在附近作展開，略去的2階以上項得到：推廣到n個聯立方程組 （4.2-13）定義指標函數： （4.2-14）下降法的迭代公式為： （4.2-15）于是得下降法的計算步驟： 選取試探解：，假設已經計算到第k步，得 計算指標函數： 若，則認為，為所求的解，否則計算偏導數，其中：，為控制收斂常數，一般選取，為控制精度常數一般選取 再計算新的迭代值：（4.2-15