1、圓夢教育中心排列組合專項訓練1.題 1 (方法對比，二星 )題面： (1)有 5 個插班生要分配給3所學校， 每校至少分到一個，有多少種不同的分配方法？(2) 有 5 個數學競賽名額要分配給3所學校，每校至少分到一個名額，有多少種不同的名額分配方法？解析： “名額無差別 ”相同元素問題(法 1)每所學校各分一個名額后，還有2 個名額待分配，可將名額分給 2 所學校、 1 所學校，共兩類： C32C31(種 )(法 2 擋板法 )相鄰名額間共 4 個空隙，插入 2個擋板，共：C426 (種)注意： “擋板法 ”可用于解決待分配的元素無差別，且每個位置至少分配一個元素的問題 .(位置有差別，元素無

2、差別 )同類題一題面：有 10 個運動員名額，分給7 個班，每班至少一個,有多少種分配方案？答案： C96詳解：因為 10 個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成 9 個空隙。在 9 個空檔中選6 個位置插個隔板，可把名額分成7 份，對應地分給7 個班級，每一種插板方法對應一種分法共有C96 種分法。同類題二題面：求方程 X+Y+Z=10 的正整數解的個數。答案： 36.詳解：將 10 個球排成一排，球與球之間形成9 個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成的左、中、右三部分的球數分別為x、y、 z之值 , 故解的個數為 C92=36 （個）。2.題 2

3、 (插空法，三星)題面：某展室有9 個展臺，現有3 件展品需要展出，要求每件展品獨自占用1 個展臺，并且 3 件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有_種；如果進一步要求3件展品所選用的展臺之間間隔不超過兩個展位，則不同的展出方法有_ 種 .答案： 60 ， 48同類題一題面：6 男 4 女站成一排，任何2 名女生都不相鄰有多少種排法？答案： A 66·A 47種 .詳解：任何 2 名女生都不相鄰，則把女生插空，所以64先排男生再讓女生插到男生的空中，共有 A6·A7種不同排法同類題二題面：有 6 個座位連成一排，現有3 人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐

4、法有()A36 種B 48 種C72 種D96 種答案： C.詳解：恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰， 先排三個人， 然后插空， 從而共 A 33A 24 72 種排法，故選 C.3題 3 ( 插空法，三星 )題面： 5 個男生到一排12 個座位上就座， 兩個之間至少隔一個空位1沒有坐人的7 個位子先擺好，2( 法 1 插空 ) 每個男生占一個位子，插入7 個位子所成的 8 個空當中，有：A85 =6720 種排法 .(法 2)15 個男生先排好：A55 ；2 每個男生加上相鄰的一個座位，共去掉 9 個位置， 當作 5 個排好的元素，共有 6 個空，剩下的3 個元素往里插空

5、，每個空可以插1個、2個、3個元素，共有： C632C62C61 種，綜上：有 A55 ( C632C62C61 )=6720 種 .同類題一題面：文藝團體下基層宣傳演出，準備的節目表中原有4 個歌舞節目，如果保持這些節目的相對順序不變，擬再添兩個小品節目，則不同的排列方法有多少種？答案： 30。詳解：記兩個小品節目分別為A 、 B。先排 A 節目。根據A 節目前后的歌舞節目數目考慮方法數，相當于把4 個球分成兩堆，有種方法。這一步完成后就有5 個節目了。再考慮需加入的B 節目前后的節目數，同理知有種方法。故由分步計數原理知，方法共有（種）。同類題二題面：(2013 年開封模擬 )2 位男生和

6、3 位女生共5 位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是()A60B48C 42D 36答案： B.詳解：第一步選2 女相鄰排列C23·A 22，第二步與男女排列 A2，第三步男生甲插在中間，1 種插法，第四步男 212221種不同排法男生插空 C4，故有 C3·A 2·A 2·C4 484.題 4( 隔板法變形，三星)題面： 15 個相同的球，按下列要求放入4 個寫上了 1、2、 3、 4 編號的盒子，各有多少種不同的放法?(1)將 15 個球放入盒子內，使得每個盒子都不空；C143364(2)將 15 個

7、球放入盒子內，每個盒子的球數不小于盒子的編號數；(3)將 15 個球放入盒子內，每個盒子不必非空；(4)任取 5 個球，寫上1-5 編號，再放入盒內，使每個盒子都至少有一個球；(5)任取 10 個球，寫上1-10 編號，奇數編號的球放入奇數編號的盒子，偶數編號的球放入偶數編號的盒子解析：(2)先將 2、3、4 號盒子分別放入1、2、3 個球，剩下的9 個球用擋板法，C83 =56(3)借來 4 個球，轉化為19 個球放入盒子內，每個盒子非空， C183816(4)不能用 “擋板法 ”，因為元素有差別 .(法 1)必有一個盒子有2 個球， C52 A44240 ；(法 2)先選 3 個球，分別排

8、到4 個盒子中的3 個里，剩下的盒子自然放2個球.C53 A43240；(法 3) A54C41480 ，會重！需要除2！重復原因： 1 號盒子放1、5 號球，先放1后放 5與先放5、后放 1 是一樣的！(5)( 法 1) 每個球都有 2種選擇，共有210種方法；(法 2)奇數號的球有1、3、5、7、 9，共 5 個，可以在 1、3 號兩個盒子中選一個放入，共有： C55C54C53C52C51C5025 種放法，同理放偶數號的球也有25種方法，綜上共有 210種方法 .同類題一題面：某車隊有7 輛車，現要調出4 輛按一定順序出去執行任務要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有 _種不同

9、的調度方法(填數字 )答案： 120.詳解：先從除甲、乙外的 5 輛車任選2 輛有 C25 種選法，連同甲、乙共 4 輛車，排列在一起，先從4 個位置中選兩個位置安排甲、乙，甲在乙前共有C2種，最后，安排其他兩輛42222車共有 A 2種方法，故不同的調度方法為C5·C4·A2 120種同類題二題面：我國第一艘航母 “遼寧艦 ”在某次艦載機起降飛行訓練中 , 有 5 架艦載機準備著艦 ,如果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而丙、丁兩機不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有（）A 12B 18C 24答案： C.詳解：分三步 :把甲、乙捆綁為一個元素A ,有 A22 種方法 ; A 與戊

10、機形成三個“空”,把丙、丁兩機插入空中有 A32 種方法 ;考慮 A 與戊機的排法有 A22 種方法 .由乘法原理可知共有 A22 A32 A22 24 種不同的著艦方法 .故應選 C5. 題 5(相同與不同，三星 )題面：某同學有同樣的畫冊2 本，同樣的集郵冊3 本，從中取出4 本贈送給4 位朋友每位朋友1 本，則不同的贈送方法共有 ()A 4 種B10 種C18 種D20 種同類題一題面：(2013 ·京高考北 )將序號分別為1,2,3,4,5 的 5 張參觀券全部分給4 人，每人至少1 張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是_答案： 96.詳解：按照要求要把序

11、號分別為1,2,3,4,5 的 5張參觀券分成 4 組，然后再分配給 4 人，連號的情況是1和 2,2和3,3 和 4,4 和 5，故其方法數是4A 44 96.同類題二題面：3 位男生和 3 位女生共 6 位同學站成一排，若男生甲不站兩端， 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是（）A. 360B. 288C. 216D. 96答案： 288種 .詳解：分析排列組合的問題第一要遵循特殊元素優先考慮的原則， 先考慮女生的問題， 先從 3 個女生中選兩位，有 C32 種方法，然后再考慮順序，即先選后排，有A22 種方法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的問題，先把三個男生任意排列，有

12、A32 中不同的排法，D 48然后把兩個女生看成一個整體，和另一個女生看成兩個元素插入 4 個位置中。有 A42 種不同的排法，共有 A22 C32 A33 A42 種不同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的情況排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有 C12 種不同的方法，然后其他兩個男生排列有 A22 種排法，最后把女生在剩余的三個位置中排列，有 A32 種不同的排法。共A22C32C21A22 A32 種不同的排法， 故總的排法為A22C32A33A42 A22 C32 C21 A22 A32 =288 種不同的方法。.題 6(組合數的性質，二星)題面： 5 個男生 3 個女生，分別滿足下列

13、條件，各有多少種方法？(1)選出 3 人參加 A 活動；(2)選出 5 人參加 B 活動；(3)選出 4 人參加一項活動，女生甲必須參加；(4)選出 4 人參加一項活動，女生甲不能參加.答案：同類題一題面：從 5 名男醫生、 4 名女醫生中選 3 名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有（）A. 70種B.80 種C. 100 種D. 140種答案： A.詳解：分為 2 男 1 女，和 1 男 2 女兩大類，共有C52 C41C51C42 =70 種同類題二題面：男運動員6 名，女運動員4 名，其中男女隊長各1 人 .選派 5 人外出比賽 .在下列情形中各有多少種

14、選派方法？（ 1）男運動員 3 名，女運動員 2 名；（ 2）至少有 1 名女運動員；（ 3）隊長中至少有 1 人參加；（ 4）既要有隊長，又要有女運動員.答案：（ 1）120 種（ 2） 246 種.詳解：（ 1）第一步：選 3 名男運動員，有 C 36 種選法 .第二步：選 2 名女運動員，有 C 24 種選法 .共有 C 36 ·C 24 =120 種選法 .（ 2） 至少 1 名女運動員包括以下幾種情況：1女 4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計數原理可得總選法數為C14 C 46 +C 24 C 36 +C 34 C 62 +C 44 C16=246 種.題 7

15、 (選和排，二星)題面：從 4 名男生和3 名女生中選出3 人，分別從事三項不同的工作，若這3 人中有且只有1 名女生，則選派方案共有多少種？法一：先選后排，C31C42 A33法二：邊選邊排，(C13 A31 )A42同類題一題面：將 4 名教師分配到3 所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分配方案共有()A12 種B24 種C36 種D48 種答案： C.詳解：先分組再排列：將4 名教師分成3 組有 C24種分法，再將這三組分配到三所學校有A 33種分法，由分步乘法計數原理，知一共有C24 ·A 3336 種不同分配方案同類題二題面：甲、乙、丙3 人站到共有7 級的臺階上，

16、若每級臺階最多站2 人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是()A 258B 306C 336D 296答案： C.詳解：根據題意，每級臺階最多站2 人，所以，分兩類：第一類， 有 2 人站在同一級臺階， 共有 C23A 27種不同的站法；第二類，一級臺階站 1 人，共有 A 37種不同的站法 根據分類加法計數原理，得共有 C23 A27 A 37 336(種 )不同的站法3題一 ( 合理分類，二星)題面：若從1，2， 3， ， 9 這 9 個整數中同時取4 個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A 60 種B63 種C65 種D66 種同類題一題面：只用 1,2,3 三個

17、數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有 ()A6 個B9個C18 個D36 個答案： C.詳解：注意題中條件的要求，一是三個數字必須全部使用，二是相同的數字不能相鄰，選四個數字共有 C13 3(種 )選法，即 1231,1232,1233 ，而每種選擇有 A22×C23 6(種 )排法，所以共有 3×6 18(種 )情況，即這樣的四位數有 18 個同類題二題面：由 1、 2、 3、 4、 5、6 組成沒有重復數字且1、 3 都不與5 相鄰的六位偶數的個數是 ()A 72B 96C 108D 144答案： C.詳解：分兩類：若21

18、221 與 3 相鄰，有 A 2·C3A 2A 3 72(個 )，若 1與 3 不相鄰有 A33 ·A 33 36(個 )故共有 72 36 108 個題 8題面： 5 個男生 3 個女生，分別滿足下列條件，各有多少種方法？(1) 選出 4 人參加一項活動，女生甲必須參加；(2) 選 3 人參加數學競賽，至少有一名男生.(法 1)分類： 1 名、 2 名、 3名男生：C51C32C52 C31C5355 ；(法 2)間接法 C83C33C831 55.(法 3)1先取 1 名男生； 2 再在剩下的7人中取 3人；C51C725 76105 ？2同類題一題面：將甲、乙、丙、丁

19、四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數為A.18B.24C.30D .36答案： C.詳解：用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在一個班的種數是 C42 ，順序有 A33 種，而甲乙被分在同一個班的有A33種，所以種數是C42 A33A3330同類題二題面：甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，則甲、乙所選的課程中至少有 1 門不相同的選法共有（）A.6B.12C.30D.36答案： C.詳解：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有C42 C42 種選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情況去掉，兩個人全不相同，可以讓甲選兩門有 C42 種

20、選法，然后乙從剩余的兩門選，有 C22 種不同的選法， 全不相同的選法是 C42 C22 種方法，所以至少有一門不相同的選法為C42 C 42 C42 C22 =30 種不同的選法。題 9 (組合數性質，三星)某班分成五個小組，分別有5,6,7,8,9 名同學，現從該班挑選2 名同學參加比賽，且這兩名同學必須來自同一小組，共有多少種不同的方案？同類題一題面：將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的總數為（）A. 18B. 24C. 30D. 30答案： C.詳解：將甲、乙、丙、丁四名學生分成三組，則共有C42 種不同的分法

21、，然后三組進行全排列共A33 種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個班的情況排除掉，共A33 種不同的排法。所以總的排法為 C42 A33A33 =30 種不同的排法。同類題二題面：將 5 名實習教師分配到高一年級的3 個班實習，每班至少 1名，最多 2 名，則不同的分配方案有（A） 30 種（B） 90 種（C） 180 種（D） 270 種答案： B.詳解：將 5名實習教師分配到高一年級的3 個班實習，每班至少 1名，最多 2 名，則將 5 名教師分成三組， 一組 1 人，另兩組都是 2 人，有 C51C4215種方法，再將 3 組分A22到 3個班，共有15 A3390種不同的分配方案，選 B.題 10(組合的識別，四星)題面： (1) “漸升數 ”是指每個數字比它左邊的數字大的正整數 (如 1458),則四位 “漸升數 ”共有多少個？(2)5 個男生 3 個女生排成一排，自左至右，男、女生分別都從高到矮排 (任意兩人身高不同 )，有多少種不同排法？(法 1)8 個位置中選5 個排男生，剩下3 個位置排女生，C85C83 ，注意：男生位置選定以后，女生順序一定，只對應一種排法 .(法 2 除序 )A88C85 .A55 A33(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5 能組多少個不同的九位數？多重排列除序C93C62C4