1、“發現數學規律題”的解題思想相關知識： 常見數列的一般公式。（1）1，2，3，4， n (2) 1，4，9，16， n2（3）1，3，5，7，9， 2n-1. (4) 2,4,6,8,10, 2n.(5) 1,3,6,10,15, n(n+1)/2.（6） 1，1/2，1/3，1/4， 1/n.(7) 1,1/4,1/9,1/16, 1/n2. (8) 1/2,1/6,1/12,1/20, 1/n(n+1).（11） (9)2,4,8,16,32, 2n . （10）0，4,10,18,28,40,54， (11)1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,

2、6,第191個數是幾（12） 請觀察下列式子的規律:a1= , a2= , a3= ，a4= , a5= , , 則a8= .典型例題分類解析 一、 要善于抓主要矛盾有些題目看上去很大、很復雜，實際上，關鍵性的內容并不多。對題目做一番認真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關鍵的內容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了。例如、觀察下列數表：根據數列所反映的規律，第行第列交叉點上的數應為 .總結：數學規律題總是與數相關的問題，所發首先列出符合要求的數，然后再尋找其規律還有，邵陽市初中畢業學業考試試題卷（課改區）的數學試題“圖中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為

3、、，則第n個等腰直角三角形的斜邊長為_。”也可以按照這個思想求解。二、 要抓題目里的變量例如，用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚 塊，第個圖形中需要黑色瓷磚 塊.云南省課改實驗區高中（中專）招生統一考試也出有類似的題目：“觀察圖（l）至（4）中小圓圈的擺放規律，并按這樣的規律繼續擺放，記第n個圖中小圓圈的個數為m，則，m= （用含 n 的代數式表示）.” 三、 要善于比較“有比較才有鑒別”。通過比較，可以發現事物的相同點和不同點，更容易找到事物的變化規律。找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據這些已知的量找出一般規律。揭示的規

4、律，常常包含著事物的序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發現其中的奧秘。例如，觀察下列各式數：0，3，8，15，24，。試按此規律寫出的第100個數是 。”已知下列等式：由此規律知，第個等式是 ”這個題目，在給出的等式中，左邊的加數個數在變化，加數的底數在變化，右邊的和也在變化。所以，需要進行比較的因素也比較多。就左邊而言，從上到下進行比較，發現加數個數依次增加一個。所以，第個等式應該有5個加數；從左向右比較加數的底數，發現它們呈自然數排列。所以，第個等式的左邊是1323334353。再來看等式的右邊，指數沒有變化，變化的是底數。等式的左邊也是指數沒有變化，變化的是底數。比

5、較等式兩邊的底數，發現和的底數與加數的底數和相等。所以，第個等式右邊的底數是（1+2+3+4+5），和為152。四、要善于尋找事物的循環節（周期性）有些題目包含著事物的循環規律，找到了事物的循環規律，其他問題就可以迎刃而解。譬如，玉林市中考數學試題：“觀察下列球的排列規律(其中是實心球，是空心球)：從第1個球起到第2004個球止，共有實心球 個。”五、要抓住題目中隱藏的不變量有些題目，雖然形式發生了變化，但是本質并沒有改變。我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質規律。例如，蕪湖市（課改實驗區）初中畢業學業考試題“請你仔細觀察圖中等邊三角形圖形的變換規律，

6、寫出你發現關于等邊三角形內一點到三邊距離的數學事實： 。”在這三個圖形中，白色的三角形是等邊三角形，里邊鑲嵌著三個黑色三角形。從左向右觀察，其中上邊兩個黑色三角形按照順時針的方向發生了旋轉，但是形狀沒有發生變化，當然黑色三角形的高也沒有發生變化。左起第一個圖形里黑色三角形高的和是等邊三角形里一點到三邊的距離和，最后一個圖形里，三個黑色三角形高的和是等邊三角形的高。所以，等邊三角形里任意一點到三邊的距離和等于它的高。六、要進行計算嘗試找規律，當然是找數學規律。而數學規律，多數是函數的解析式。函數的解析式里常常包含著數學運算。因此，找規律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數學運算式子。所以，從運

7、算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規律題的好途徑。例如，漢川市中考試卷數學“觀察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，。試按此規律寫出的第10個式子是 。”這一題，包含有兩個變量，一個是各項的指數，一個是各項的系數。容易看出各項的指數等于它的序列號減1，而系數的變化規律就不那么容易發現啦。然而，如果我們把系數抽出來，嘗試做一些簡單的計算，就不難發現系數的變化規律。系數排列情況：0，1，1，2，3，5，8，。從左至右觀察系數的排列，依次求相鄰兩項的和，你會發現，這個和正好是后一項。也就是說原數列相鄰兩項的系數和等于后面一項的系數。使用這個規律，不難推出原數列第8項的系數是5+

8、8=13，第9項的系數是8+13=21，第10項的系數是13+21=34。所以，原數列第10項是34x9。規律鞏固練習1. （蘇州市）如圖1，小明作出了邊長為1的第1個正A1B1C1，算出了正A1B1C1的面積.然后分別取A1B1C1的三邊中點A2、B2、C2，作出了第2個正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面積.用同樣的方法，作出了第3個正A3B3C3，算出了正A3B3C3的面積，由此可得，第10個正A10B10C10的面積是（） A B C D2（懷化市）如圖2，A1，B1，C1分別是BC，AC，AB的中點，A2，B2，C2分別是B1C1，A1C1，A1B1的中點這樣延續下去已知ABC的

9、周長是1，A1B1C1的周長是L1，A2B2C2的周長是L2AnBnCn的周長是Ln，則Ln3.（荊門市）觀察下面的單項式：a，-2a2，4a3，-8a4，根據你發現的規律，第8個式子是_5.（威海市）觀察下列等式：39×41=402-12，48×52=502-22， 56×64=602-42，65×75=702-52，83×97=902-72請你把發現的規律用字母表示出來：m×n= 6.（煙臺市）觀察下列各式： ，將發現的規律用含自然數n(n1)的等式表示出來 7.（岳陽市）觀察下列等式： 第一行 3=4-1 第二行 5=9-4 第

10、三行 7=16-9 第四行 9=25-16 按照上述規律，第n行的等式為_. 8.（福州市）如圖4，AOB=45°，過OA上到點O的距離分別為1，3，5，7，9，11的點作OA的垂線與OB相交，得到并標出一組黑色梯形，它們的面積分別為S1，S2，S3，S4觀察圖中的規律，求出第10個黑色梯形的面積S10=9.（河北省）已知an=(-1)n+1，當n=1時，a1=0；當n=2時，a2=2；當n=3時，a3=0； 則a1+a2+a3+a4+a5+a6的值為10.（重慶市）將正整數按如圖所示的規律排列下去.若用有序實數對（n，m）表示第n排，從左到右第m個數，如（4，3）表示實數9，則（7

11、，2）表示的實數是.11.按如下規律擺放三角形：則第（4）堆三角形的個數為_；第(n)堆三角形的個數為_.12.把正整數1，2，3，4，5，按如圖排列：按此規律，可知第n行有個正整數13.（旅順口區）找規律下列圖中有大小不同的菱形，第(1)幅圖中有1個，第(2)幅圖中有3個，第(3)幅圖中有5個，則第(n)幅圖中共有個14.（濰坊市）觀察下列等式：16-1=15； 25-4=21；36-9=27；49-16=33； 用自然數n（其中n1）表示上面一系列等式所反映出來的規律是15.（云南省）小華將一條直角邊長為1的一個等腰直角三角形紙片（如圖（1），沿它的對稱軸折疊1次后得到一個等腰直角三角形（

12、如圖（2），再將圖（2）的等腰直角三角形沿它的對稱軸折疊后得到一個等腰直角三角形（如圖（3），則圖（3）中的等腰直角三角形的一條腰長為_；同上操作，若小華連續將圖（1）的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形（如圖（n+1）的一條腰長為_ 16.有一組數：1，2，5，10，17，26，請觀察這組數的構成規律，用你發現的規律確定第8個數為.17.（赤峰市）觀察下列各式：152=1×（1+1）×100+52=225，252=2×（2+1）×100+52=625，352=3×（3+1）×100+52=1225依此規律，第n個等式（n

13、為正整數）為 18. （自貢市）一個叫巴爾末的中學教師成功地從光譜數據 ，中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧秘的大門，請你按照這種規律，寫出第n（n1）個數據是_19.（臨安市）已知： ，若10 102× 符合前面式子的規律， 則 a b = _三、解答題20.（舟山市）給定下面一列分式： .(其中x0)(1)把任意一個分式除以前面一個分式，你發現了什么規律?(2)根據你發現的規律，試寫出給定的那列分式中的第7個分式21. （安徽省）探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每邊上的釘子數)，連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數：當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值

14、只有1與 ，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數，則S=2；當n=3時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1， ，2， ， 五種，比n=2時增加了3種，即S=2+3=5.(1)觀察圖形，填寫下表：釘子數(n×n)S值2×223×32+34×423( )5×5( )(2)寫出(n-1)×(n-1)和n×n的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數之間的關系；(用式子或語言表述均可) (3)對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數式.22.（金華市）學習投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路

15、燈的高度，并探究影子長度的變化規律.如圖，在同一時刻，身高為1.6m的小明（AB）的影子BC的長是3m，而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方H點，并測得HB=6m.（1）請你在圖中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；（2）求路燈燈泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿線段BH向小穎（點H）走去，當小明走到BH中點B1處時，求其影子B1C1的長；當小明繼續走剩下路程的 到B2處時，求影子B2C2的長；當小明繼續走剩下路程的 到B3處時，按此規律繼續走下去，當小明走剩下路程的到Bn處時，其影子BnCn的長m.（直接用n的代數式表示）23.（貴陽市）如圖5，平面內有公共端點的六條射線OA，O

16、B，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射線上；（2）請任意寫出三條射線上數字的排列規律；（3）“2007”在哪條射線上參考答案一、1.A 二、2. 3. -128a8 4.41 5. 6. 7. 2n+1=(n+1)2-n2 8.76 9.6 10.23 11. 14，3n+2 12.2n-1 13.2n-1 14.(n+3)2-n2=6n+9 15. 、 16.5017.(10n+5)2=n(n+1)×100+5218. 或 19.10920. 解：（1）規律是任意一個分分式除以前面一個分式恒等于-（2）第7個分式應該是21. 解：（1）4，2345（或14）. （2）類似以下答案均給滿分：（i）n×n的釘子板比(n-1)×(n-1)的釘子板中不同長度的線段種數增加了n種；（ii）分別用a，b表示n×n與(n-1)×(n-1)的釘子板中不同長度的線段種數，則a=bn. （3）S=234n2