1、第十五講 二次函數的綜合題及應用【重點考點例析】 考點一：確定二次函數關系式例1 （2017牡丹江）如圖，已知二次函數y=x2+bx+c過點A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函數的解析式；（2）在拋物線上存在一點P使ABP的面積為10，請直接寫出點P的坐標思路分析：（1）利用待定系數法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函數y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，進而得到函數解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B兩點坐標，再算出AB的長，再設P（m，n），根據ABP的面積為10可以計算出n的值，然后再利用二次函數解析式計算出m的值即可得到P點坐標解：（1）二次函數y=x

2、2+bx+c過點A（1，0），C（0，-3）， 解得，二次函數的解析式為y=x2+2x-3；（2）當y=0時，x2+2x-3=0，解得：x1=-3，x2=1；A（1，0），B（-3，0），AB=4，設P（m，n），ABP的面積為10，AB|n|=10，解得：n=±5，當n=5時，m2+2m-3=5，解得：m=-4或2，P（-4，5）（2，5）；當n=-5時，m2+2m-3=-5，方程無解，故P（-4，5）（2，5）；點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，以及求點的坐標，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式對應訓練1（2017湖州）已知拋物線y=-x2+bx+c經過點

3、A（3，0），B（-1，0）（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點坐標考點二：二次函數與x軸的交點問題例2 （2017蘇州）已知二次函數y=x2-3x+m（m為常數）的圖象與x軸的一個交點為（1，0），則關于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數根是（）Ax1=1，x2=-1Bx1=1，x2=2Cx1=1，x2=0Dx1=1，x2=3對應訓練2（2013株洲）二次函數y=2x2+mx+8的圖象如圖所示，則m的值是（）A-8B8C±8D6考點三：二次函數的實際應用例3 （2017營口）為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優惠政策，使農民收入大幅度增加某農戶

4、生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=-2x+80設這種產品每天的銷售利潤為w元（1）求w與x之間的函數關系式（2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）如果物價部門規定這種產品的銷售價不高于每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？思路分析：（1）根據銷售額=銷售量×銷售價單x，列出函數關系式；（2）用配方法將（2）的函數關系式變形，利用二次函數的性質求最大值；（3）把y=150代入（2）的函數關系式中，解一元二

5、次方程求x，根據x的取值范圍求x的值解：（1）由題意得出：w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，故w與x的函數關系式為：w=-2x2+120x-1600；（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，-20，當x=30時，w有最大值w最大值為200答：該產品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元（3）當w=150時，可得方程-2（x-30）2+200=150解得 x=25，x2=35     3528，x2=35不符合題意，應舍去 &#

6、160; 答：該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元點評：本題考查了二次函數的運用關鍵是根據題意列出函數關系式，運用二次函數的性質解決問題對應訓練3（2017武漢）科幻小說實驗室的故事中，有這樣一個情節：科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環境中，經過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：溫度x/-4-20244.5植物每天高度增長量y/mm414949412519.75由這些數據，科學家推測出植物每天高度增長量y是溫度x的函數，且這種函數是反比例函數、一次函數和二次函數中的一種（1）請你選擇一種適當的函數，求出它的函數關系式，并簡要說明不選擇另

7、外兩種函數的理由；（2）溫度為多少時，這種植物每天高度增長量最大？（3）如果實驗室溫度保持不變，在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，那么實驗室的溫度x應該在哪個范圍內選擇？請直接寫出結果3解：（1）選擇二次函數，設y=ax2+bx+c（a0），x=-2時，y=49，x=0時，y=49，x=2時，y=41， 解得，所以，y關于x的函數關系式為y=-x2-2x+49；不選另外兩個函數的理由：點（0，49）不可能在反比例函數圖象上，y不是x的反比例函數，點（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直線上，y不是x的一次函數；（2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）

8、2+50，a=-10，當x=-1時，y有最大值為50，即當溫度為-1時，這種作物每天高度增長量最大；（3）10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，平均每天該植物高度增長量超過25mm，當y=25時，-x2-2x+49=25，整理得，x2+2x-24=0，解得x1=-6，x2=4，在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，實驗室的溫度應保持在-6x4考點四：二次函數綜合性題目例4 （2017自貢）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-2（a0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線BD交拋物線于點D，并且D（2，3），tanDBA= （1）求拋物線的解析式；（2）已知點M為拋

9、物線上一動點，且在第三象限，順次連接點B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；（3）在（2）中四邊形BMCA面積最大的條件下，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由思路分析：（1）如答圖1所示，利用已知條件求出點B的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）如答圖1所示，首先求出四邊形BMCA面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；（3）本題利用切線的性質、相似三角形與勾股定理求解如答圖2所示，首先求出直線AC與直線x=2的交點F的坐標，從而確定了RtAGF的各個邊長；然

10、后證明RtAGFRtQEF，利用相似線段比例關系列出方程，求出點Q的坐標解：（1）如答圖1所示，過點D作DEx軸于點E，則DE=3，OE=2tanDBA=，BE=6，OB=BE-OE=4，B（-4，0）點B（-4，0）、D（2，3）在拋物線y=ax2+bx-2（a0）上， 解得，拋物線的解析式為：y=x2+x-2（2）拋物線的解析式為：y=x2+x-2，令x=0，得y=-2，C（0，-2），令y=0，得x=-4或1，A（1，0）設點M坐標為（m，n）（m0，n0），如答圖1所示，過點M作MFx軸于點F，則MF=-n，OF=-m，BF=4+mS四邊形BMCA=SBMF+S梯形MFOC+SAOC=

11、BFMF+（MF+OC）OF+OAOC=（4+m）×（-n）+（-n+2）×（-m）+×1×2=-2n-m+1 點M（m，n）在拋物線y=x2+x-2上，n=m2+m-2，代入上式得： S四邊形BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，當m=-2時，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9（3）假設存在這樣的Q如答圖2所示，設直線x=-2與x軸交于點G，與直線AC交于點F設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（1，0）、C（0，-2）代入得：，解得：k=2，b=-2，直線AC解析式為：y=2x-2，令x=-2，得y=-6，F（-2，-6），GF=6在

12、RtAGF中，由勾股定理得：AF=設Q（-2，n），則在RtAGF中，由勾股定理得：OQ=設Q與直線AC相切于點E，則QE=OQ=在RtAGF與RtQEF中，AGF=QEF=90°，AFG=QFE，RtAGFRtQEF，即=，化簡得：n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點Q的坐標為（-2，4）或（-2，-1）點評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形、勾股定理、圓的切線性質、解直角三角形、圖形面積計算等重要知識點，涉及考點眾多，有一定的難度第（2）問面積最大值的問題，利

13、用二次函數的最值解決；第（3）問為存在型問題，首先假設存在，然后利用已知條件，求出符合條件的點Q坐標對應訓練4（2017張家界）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：CEQCDO；（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由4解：（1）C（0，1），O

14、D=OC，D點坐標為（1，0）設直線CD的解析式為y=kx+b（k0），將C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=-1，直線CD的解析式為：y=-x+1（2）設拋物線的解析式為y=a（x-2）2+3，將C（0，1）代入得：1=a×（-2）2+3，解得a=-y=-（x-2）2+3=-x2+2x+1 （3）證明：由題意可知，ECD=45°，OC=OD，且OCOD，OCD為等腰直角三角形，ODC=45°，ECD=ODC，CEx軸，則點C、E關于對稱軸（直線x=2）對稱，點E的坐標為（4，1）如答圖所示，設對稱軸（直線x=2）與CE交于點F，則F（2，1），

15、ME=CM=QM=2，QME與QMC均為等腰直角三角形，QEC=QCE=45°又OCD為等腰直角三角形，ODC=OCD=45°，QEC=QCE=ODC=OCD=45°，CEQCDO（4）存在如答圖所示，作點C關于直線QE的對稱點C，作點C關于x軸的對稱點C，連接CC，交OD于點F，交QE于點P，則PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，PCF的周長等于線段CC的長度（證明如下：不妨在線段OD上取異于點F的任一點F，在線段QE上取異于點P的任一點P，連接FC，FP，PC由軸對稱的性質可知，PCF的周長=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是點C，C

16、之間的折線段，由兩點之間線段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周長大于PCE的周長） 如答圖所示，連接CE，C，C關于直線QE對稱，QCE為等腰直角三角形，QCE為等腰直角三角形，CEC為等腰直角三角形，點C的坐標為（4，5）；C，C關于x軸對稱，點C的坐標為（-1，0）過點C作CNy軸于點N，則NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=綜上所述，在P點和F點移動過程中，PCF的周長存在最小值，最小值為2【聚焦山東中考】1（2017淄博）如圖，RtOAB的頂點A（-2，4）在拋物線y=ax2上，將RtOAB繞點O順時針旋轉90°，得到OCD，邊CD與

17、該拋物線交于點P，則點P的坐標為（）A（，）B（2，2）C（，2）D（2，）2（2017濱州）某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽屜部分是長方體形其中，抽屜底面周長為180cm，高為20cm請通過計算說明，當底面的寬x為何值時，抽屜的體積y最大？最大為多少？（材質及其厚度等暫忽略不計）2解：已知抽屜底面寬為x cm，則底面長為180÷2-x=（90-x）cm由題意得：y=x（90-x）×20=-20（x2-90x）=-20（x-45）2+40500當x=45時，y有最大值，最大值為40500答：當抽屜底面寬為45cm時，抽屜的體積最大，最大體積為40500cm33（20

18、17日照）一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100輛公司在經營中發現每輛車的月租金x（元）與每月租出的車輛數（y）有如下關系：x3O00320035004000y100969080（1）觀察表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識求出每月租出的車輛數y（輛）與每輛車的月租金x（元）之間的關系式（2）已知租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元用含x（x3000）的代數式填表：租出的車輛數  未租出的車輛數  租出每輛車的月收益  所有未租出的車輛每月的維護費  （3）若你是該公司的經理，你會將每輛車的月租金定為

19、多少元，才能使公司獲得最大月收益？請求出公司的最大月收益是多少元3解：（1）由表格數據可知y與x是一次函數關系，設其解析式為y=kx+b由題：，解之得：，y與x間的函數關系是y=-x+160（2）如下表： 租出的車輛數-x+160未租出的車輛數x-60租出的車每輛的月收益x-150所有未租出的車輛每月的維護費x-3000（3）設租賃公司獲得的月收益為W元，依題意可得：W=（-x+160）（x-150）-（x-3000）=（-x2+163x-24000）-（x-3000）=-x2+162x-21000=-（x-4050）2+30705當x=4050時，Wmax=307050，即：當每輛車的月租金

20、為4050元時，公司獲得最大月收益307050元故答案為：-x+160，x-604（2017棗莊）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點（1）求這個二次函數的表達式（2）連接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積4解：（1）將B、C兩點的坐標代入

21、得，解得：；所以二次函數的表達式為：y=x2-2x-3。（2）存在點P，使四邊形POPC為菱形；如圖，設P點坐標為（x，x2-2x-3），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PC=PO；連接PP，則PECO于E，OE=EC=， y=-； x2-2x-3=-解得x1=，x2=（不合題意，舍去）P點的坐標為（，-）。（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x2-2x-3），易得，直線BC的解析式為y=x-3則Q點的坐標為（x，x-3）；S四邊形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ=ABOC+QPBF+QPOF=×4×3+ (-x2+3x)&#

22、215;3=- (x-)2+。當x=時，四邊形ABPC的面積最大此時P點的坐標為(，-)，四邊形ABPC的面積的最大值為5（2017濰坊）為了改善市民的生活環境，我市在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場，在RtABC內修建矩形水池DEFG，使定點D，E在斜邊AB上，F，G分別在直角邊BC，AC上；又分別以AB，BC，AC為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設瓷磚，其中AB=24米，BAC=60°，設EF=x米，DE=y米（1）求y與x之間的函數解析式；（2）當x為何值時，矩形DEFG的面積最大？最大面積是多少？（3）求兩彎新月（圖中

23、陰影部分）的面積，并求當x為何值時，矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的 ？5解：（1）在RtABC中，ACB=90°，AB=24米，BAC=60°，AC=AB=12米，BC=AC=36米，ABC=30°，AD=x，BE=x，AD+DE+BE=AB，x+y+x=24，y=24-x-x=24-x，即y與x之間的函數解析式為y=24-x（0x18）；（2）y=24-x，矩形DEFG的面積=xy=x（24-x）=-x2+24x=-（x-9）2+108，當x=9米時，矩形DEFG的面積最大，最大面積是108平方米；（3）記AC、BC、AB為直徑的半圓面積分別為S1、S2

24、、S3，兩彎新月面積為S，則S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，AC2+BC2=AB2，S1+S2=S3，S1+S2-S=S3-SABC，S=SABC，兩彎新月的面積S=ACBC=×12×36=216（平方米）如果矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的，那么-（x-9）2+108=×216，化簡整理，得（x-9）2=27，解得x=9±3，符合題意所以當x為（9±3）米時，矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的6（2017煙臺）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A，B，與x軸

25、分別交于點E，F，且點E的坐標為（-，0），以0C為直徑作半圓，圓心為D（1）求二次函數的解析式；（2）求證：直線BE是D的切線；（3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MNBE交x軸與點N，連結PM，PN，設CM的長為t，PMN的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由6解：（1）由題意，得A（0，2），B（2，2），E的坐標為（-，0），則，解得，該二次函數的解析式為：y=-x2+x+2；（2）如圖1，過點D作DGBE于點G由題意，得ED=+1=，EC=2

26、+=，BC=2，BE=BEC=DEG，EGD=ECB=90°，EGDECB，DG=1D的半徑是1，且DGBE，BE是D的切線；（3）如圖2，由題意，得E（-，0），B（2，2）設直線BE為y=kx+h（k0）則， 解得，直線BE為：y=x+直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，對稱軸直線為x=1，點P的縱坐標y=，即P（1，）MNBE，MNC=BECC=C=90°，MNCBEC，則CN=t，DN=t-1，SPND=DNPD=（t-1）=t-SMNC=CNCM=×tt=t2S梯形PDCM=（PD+CM）CD=（+t）1=+tS=SPND+S梯形PDCM-SMNC=-t2

27、+t（0t2）拋物線S=-t2+t（0t2）的開口方向向下，S存在最大值當t=1時，S最大=7（2017泰安）如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C（0，-4），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）（1）求該拋物線的解析式（2）若點P是AB上的一動點，過點P作PEAC，交BC于E，連接CP，求PCE面積的最大值（3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且OMD為等腰三角形，求M點的坐標7解：（1）把點C（0，-4），B（2，0）分別代入y=x2+bx+c中，得， 解得。該拋物線的解析式為y=x2+x-4（2）令y=0，即x2+x-4=0，解得x1=-4，x2=2，A（-4，

28、0），SABC=ABOC=12設P點坐標為（x，0），則PB=2-xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，即，化簡得：SPBE=（2-x）2SPCE=SPCB-SPBE=PBOC-SPBE=×（2-x）×4-（2-x）2=-x2-x+=-（x+1）2+3當x=-1時，SPCE的最大值為3（3）OMD為等腰三角形，可能有三種情形：（I）當DM=DO時，如答圖所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45°，ADM=90°，M點的坐標為（-2，-2）；（II）當MD=MO時，如答圖所示過點M作MNOD于點N，則點N為OD的中點，DN=ON=

29、1，AN=AD+DN=3，又AMN為等腰直角三角形，MN=AN=3，M點的坐標為（-1，-3）；（III）當OD=OM時，OAC為等腰直角三角形，點O到AC的距離為×4=2，即AC上的點與點O之間的最小距離為222，OD=OM的情況不存在綜上所述，點M的坐標為（-2，-2）或（-1，-3）8（2017威海）如圖，在平面直角坐標系中，直線y= x+ 與直線y=x交于點A，點B在直線y= x+ 上，BOA=90°拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B，頂點為點E（1）求點A，B的坐標；（2）求拋物線的函數表達式及頂點E的坐標；（3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線B

30、C交拋物線于點D，過點E作FEx軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M試判斷OD與CF是否平行，并說明理由8解：（1）由直線y=x+與直線y=x交于點A，得， 解得，點A的坐標是（3，3）BOA=90°，OBOA，直線OB的解析式為y=-x又點B在直線y=x+上， 解得，點B的坐標是（-1，1）綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（-1，1）（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（-1，1）拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B， 解得，該拋物線的解析式為y=x2-x，或y=（x-）2-頂點E的坐標是（，-）；（3）OD與CF平行理由如下：由（2）

31、知，拋物線的對稱軸是x=直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，C（，）設直線BC的表達式為y=kx+b（k0），把B（-1，1），C（，）代入，得， 解得，直線BC的解析式為y=-x+直線BC與拋物線交于點B、D，-x+=x2-x，解得，x1=，x2=-1把x1=代入y=-x+，得y1=，點D的坐標是（，）如圖，作DNx軸于點N則tanDON=FEx軸，點E的坐標為（，-）點F的縱坐標是-把y=-代入y=x+，得x=-，點F的坐標是（-，-），EF=+=CE=+=，tanCFE=，CFE=DON又FEx軸，CMN=CFE，CMN=DON，ODCF，即OD與CF平行9（2017濰坊）如圖，拋物線y

32、=ax2+bx+c關于直線x=1對稱，與坐標軸交與A，B，C三點，且AB=4，點D（2， ）在拋物線上，直線l是一次函數y=kx-2（k0）的圖象，點O是坐標原點（1）求拋物線的解析式；（2）若直線l平分四邊形OBDC的面積，求k的值；（3）把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線l交于M，N兩點，問在y軸正半軸上是否存在一定點P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關于y軸對稱？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由9解：（1）因為拋物線關于直線x=1對稱，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），點D（2，）在拋物線

33、上，=a×3×（-1），解得a=-，拋物線解析式為：y=-（x+1）（x-3）=-x2+x+（2）拋物線解析式為：y=-x2+x+，令x=0，得y=，C（0，），D（2，），CDOB，直線CD解析式為y=直線l解析式為y=kx-2，令y=0，得x=；令y=，得x=；如答圖1所示，設直線l分別與OB、CD交于點E、F，則E（，0），F（，），OE=，BE=3-，CF=，DF=2-直線l平分四邊形OBDC的面積，S梯形OEFC=S梯形FDBE，（OE+CF）OC=（FD+BE）OC，OE+CF=FD+BE，即：+=（3-）+（2-），解方程得：k=，經檢驗k=是原方程的解且符合

34、題意，k=（3）假設存在符合題意的點P，其坐標為（0，t）拋物線解析式為：y=-x2+x+=-（x-1）2+2，把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為：y=-x2依題意畫出圖形，如答圖2所示，過點M作MDy軸于點D，NEy軸于點E，設M（xm，ym），N（xn，yen），則MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yen直線PM與PN關于y軸對稱，MPD=NPE，又MDP=NEP=90°，RtPMDRtPNE，即，點M、N在直線y=kx-2上，ym=kxm-2，yen=kxn-2，代入式化簡得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn  把

35、y=kx-2代入y=-x2，整理得：x2+2kx-4=0，xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入式解得：t=2，符合條件所以在y軸正半軸上存在一個定點P（0，2），使得不論k取何值，直線PM與PN總是關于y軸對稱【備考真題過關】一、選擇題1（2017大慶）已知函數y=x2+2x-3，當x=m時，y0，則m的值可能是（）A-4B0C2D32（2017南昌）若二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸有兩個交點，坐標分別為（x1，0），（x2，0），且x1x2，圖象上有一點M（x0，y0）在x軸下方，則下列判斷正確的是（）Aa0Bb2-4ac0Cx1x0x2Da（x0-x1）（x0-x2）

36、03（2017湖州）如圖，在10×10的網格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點若拋物線經過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內接格點三角形”以O為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若拋物線與網格對角線OB的兩個交點之間的距離為3，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數是（）A16B15C14D13二、填空題4（2017宿遷）若函數y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點，則常數m的值是 0或15（2017貴港）如圖，在平面直角坐標系xOy中，若動點P在拋

37、物線y=ax2上，P恒過點F（0，n），且與直線y=-n始終保持相切，則n= （用含a的代數式表示）6（2013錦州）二次函數y=x2的圖象如圖，點A0位于坐標原點，點A1，A2，A3An在y軸的正半軸上，點B1，B2，B3Bn在二次函數位于第一象限的圖象上，點C1，C2，C3Cn在二次函數位于第二象限的圖象上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3C3四邊形An-1BnAnCn都是菱形，A0B1A1=A1B2A1=A2B3A3=An-1BnAn=60°，菱形An-1BnAnCn的周長為 4n三、解答題7（2017鞍山）某商場購進一批單價為4元的日用品若按

38、每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數關系（1）試求y與x之間的函數關系式；（2）當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？7解：（1）由題意，可設y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y與x之間的關系式為：y=-10000x+80000；（2）設利潤為W，則W=（x-4）（-10000x+80000）=-10000（x-4）（x-8）=-10000（x2-12x+32）=-10000（x-6）2-4=-10000（x-6）2+400

39、00所以當x=6時，W取得最大值，最大值為40000元答：當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元8（2017烏魯木齊）某公司銷售一種進價為20元/個的計算機，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：價格x（元/個）30405060銷售量y（萬個）5432同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，

40、最大值是多少？（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？8解：（1）根據表格中數據可得出：y與x是一次函數關系，設解析式為：y=ax+b，則， 解得：，故函數解析式為：y=-x+8；（2）根據題意得出：z=（x-20）y-40=（x-20）（-x+8）-40=-x2+10x-200=-（x2-100x）-200=- （x-50）2-2500-200=-（x-50）2+50，故銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元（3）當公司要求凈得利潤為40萬元時，即-（x-50）2+50=40，解得：x1=

41、40，x2=60如上圖，通過觀察函數y=-（x-50）2+50的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40x60而y與x的函數關系式為：y=-x+8，y隨x的增大而減少，9（2017達州）今年，6月12日為端午節在端午節前夕，三位同學到某超市調研一種進價為2元的粽子的銷售情況請根據小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題（1）小華的問題解答： 當定價為4元時，能實現每天800元的銷售利潤；（2）小明的問題解答： 800元的銷售利潤不是最多，當定價為4.8元是，每天的銷售利潤最大9解：（1）設定價為x元，利潤為y元，則銷售量為：（500-×10），由題

42、意得，y=（x-2）（500-×10）=-100x2+1000x-1600=-100（x-5）2+900，當y=800時，-100（x-5）2+900=800，解得：x=4或x=6，售價不能超過進價的240%，x2×240%，即x4.8，故x=4，即小華問題的解答為：當定價為4元時，能實現每天800元的銷售利潤；（2）由（1）得y=-100（x-5）2+900，-1000，函數圖象開口向下，且對稱軸為x=5，x4.8，故當x=4.8時函數能取最大值，即ymax=-100（4.8-5）2+900=896故小明的問題簡答為：800元的銷售利潤不是最多，當定價為4.8元是，每天的

43、銷售利潤最大故答案為：當定價為4元時，能實現每天800元的銷售利潤；800元的銷售利潤不是最多，當定價為4.8元是，每天的銷售利潤最大10（2017黃岡）某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y1（元）與國內銷售量x（千件）的關系為：y1= ，若在國外銷售，平均每件產品的利潤y2（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系為y2= 。（1）用x的代數式表示t為：t= 6-x；當0x4時，y2與x的函數關系為：y2= 5x+80；當 6時，y2=100；（2）求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤w（千元

44、）與國內銷售數量x（千件）的函數關系式，并指出x的取值范圍；（3）該公司每年國內、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？10解：（1）由題意，得x+t=6，t=6-x；y2=，當0x4時，26-x6，即2t6，此時y2與x的函數關系為：y2=-5（6-x）+110=5x+80；當4x6時，06-x2，即0t2，此時y2=100故答案為6-x；5x+80；4，6；（2）分三種情況：當0x2時，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x2+40x+480；當2x4時，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x2+80x+480；當4x6時，

45、w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x2+30x+600；綜上可知，w=；（3）當0x2時，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此時x=2時，w最大=600；當2x4時，w=-10x2+80x+480=-10（x-4）2+640，此時x=4時，w最大=640；當4x6時，w=-5x2+30x+600=-5（x-3）2+645，4x6時，w640；x=4時，w最大=640故該公司每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元11.（2017湛江）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點

46、（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，-5）（1）求此拋物線的解析式；（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與C有什么位置關系，并給出證明；（3）在拋物線上是否存在一點P，使ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由11解：（1）設拋物線解析式為：y=a（x-3）2+4，將A（0，-5）代入求得：a=-1，拋物線解析式為y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5（2）拋物線的對稱軸l與C相離證明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，B（1，0），C（5，0）如答圖所示，設切點

47、為E，連接CE，由題意易證RtABORtBCE，即，求得C的半徑CE=；而點C到對稱軸x=3的距離為2，2，拋物線的對稱軸l與C相離（3）存在理由如下：有兩種情況：（I）如答圖所示，點P在x軸上方A（0，-5），C（5，0），AOC為等腰直角三角形，OCA=45°；PCAC，PCO=45°過點P作PFx軸于點F，則PCF為等腰直角三角形設點P坐標為（m，n），則有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5 又點P在拋物線上，n=-m2+6m-5 聯立式，解得：m=2或m=5當m=5時，點F與點C重合，故舍去，m=2，n=3，點P坐標為（2，3）；（II）如答圖所

48、示，點P在x軸下方A（0，-5），C（5，0），AOC為等腰直角三角形，OAC=45°；過點P作PFx軸于點F，PAAC，PAF=45°，即PAF為等腰直角三角形設點P坐標為（m，n），則有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，m+n=-5 又點P在拋物線上，n=-m2+6m-5 聯立式，解得：m=0或m=7當m=0時，點F與原點重合，故舍去，m=7，n=-12，點P坐標為（7，-12）綜上所述，存在點P，使ACP是以AC為直角邊的直角三角形點P的坐標為（2，3）或（7，-12）12（2013曲靖）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x2+bx+c點D為線段AB上一動點，過點D作CDx軸于點C，交拋物線于點E（1）求拋物線的解析式（2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積（3）連接BE，是否存在點D，使得DBE和DAC相似？若存在，求此點D坐標；若不存在，說明理由12解：（1）在直線解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，A（-4，