1、圓與方程高考真題精選2009 年考題1.（ 2009 遼寧）已知圓C 與直線 x y=0 及 x y 4=0 都相切，圓心在直線x+y=0 上，則圓 C 的方程為（）（ A ） (x1)2( y1)22(B)( x1)2( y1)22(C)( x1)2( y1)22(D)( x1)2( y1)22【解析】選 B.圓心在 x y 0 上 ,排除 C、D,再結合圖象 ,或者驗證 A、B 中圓心到兩直線的距離等于半徑2即可 .2.（ 2009 浙江）已知三角形的三邊長分別為3,4,5 ，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為（）A 3B 4C 5D 6【解析】 選 B.由于 3，4，5 構成直角三

2、角形S，故其內切圓半徑為r=3451當該圓運動時，最多與2,直角三角形S 的兩邊也有4 個交點。3.（ 2009 上海） .過圓 C：(x 1)2( y1)21的圓心，作直線分別交x、 y 正半軸于點 A 、B， AOB 被圓分成四部分 （如圖），若這四部分圖形面積滿足SS￥SS| ,則直線 AB 有（）（A） 0條（B） 1條（C） 2條（D） 3條【解析】 選 B.由已知，得： SIVSIISIIISI ,，第 II，IV部分的面積是定值，所以，SIVSII 為定值，即 SIIISI , 為定值，當直線AB 繞著圓心 C 移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線 AB 只有一條，故選B。4

3、.（ 2009 湖南）已知圓 C1： ( x1)2+ ( y1)2=1 ，圓 C2 與圓 C1 關于直線 xy10 對稱，則圓 C2的方程為（）（ A ） (x2)2 + ( y 2)2 =1（ B）（ C ） (x2)2 + ( y 2)2 =1（ D）( x2)2 + ( y2)2 =1( x2)2+ ( y2)2=1a1b 1021【解析】 選 B.設圓 C2的圓心為（ a， b），則依題意，有2，b11a1解得：a2，對稱圓的半徑不變，為1，故選 B.b2（2009陜西高考）過原點且傾斜角為60的直線被圓 學x2y24 y0所截得的弦長為 科網5.（ A ）3（B） 2（ C ）6（D

4、）23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】 選 D.過原點且傾斜角為60°的直線方程為3x y0,圓x224的圓心（ 0， 2）到直線的距離為（ y 2）d3021,因此弦長為 2R 2d 22412 331（2009重慶高考）直線yx1與圓x2y21的位置關系為（）6.A 相切B相交但直線不過圓心C 直線過圓心D相離【解析】 選 B.圓心 (0,0)為、到直線 yx1，即xy10 的距離 d1221 ，選2，而022B。7.（ 2009 重慶高考）圓心在y 軸上，半徑為1，且過點（1， 2）的圓的方程為（）A x2( y 2)21B x2( y 2)21C ( x 1)2

5、( y 3)21D x2( y 3)21【解析】 選 A.方法 1（直接法）：設圓心坐標為(0, b) ，則由題意知(0 1)2(b 2) 1，解得 b2 ，故圓的方程為 x2( y 2)21。方法 2（數形結合法） ：由作圖根據點(1,2)到圓心的距離為1 易知圓心為（0， 2），故圓的方程為x2( y2)21方法 3（驗證法）：將點（ 1， 2）代入四個選擇支排除B， D，又由于圓心在y 軸上，排除 C。8.2009上海高考）過點P( 0, 1)與圓x2y22x3 0相交的所有直線中，被圓截得的弦最長時的直（線方程是()（ A ） x0 .（ B） y 1.（ C ） x y 1 0 .（

6、D） x y 1 0 .【解析】 選 C.點 P( 0, 1) 在圓 x2y 22x30內，圓心為 C （1， 0），截得的弦最長時的直線為CP，方程是 xy1，即 xy10 。119.（2009廣東高考）以點（2，）為圓心且與直線xy6 相切的圓的方程是.1【解析】 將直線 xy6 化為 xy60圓的半徑r| 216 |5,112所以圓的方程(x2) 2( y1)225w.w.w.k.s.5.u.c.o.m252答案 : (x2) 2( y1)2210.（ 2009 天津高考）若圓x2y24 與圓 x2y22ay60 （ a>0）的公共弦的長為23 ，則 a_ w.w.w.k.s.5.

7、u.c.o.m。【解析】 由知 x2y22ay 60的半徑為6a 2，由圖可知 6a 2( a 1)2(3) 2解之得 a1答案 :1.11.2009全國）已知AC、BD為圓 O: x2y24的兩條相互垂直的弦，垂足為M1,2,（則四邊形 ABCD 的面積的最大值為。【解析】 設圓心 O 到 AC、 BD 的距離分別為d 、 d ,則222.d1+d2OM312四邊形 ABCD 的面積 S1|AC| |BD|2(4d12 )(4-d22 )22(1d22 )(4- d22 )2(d22- 3)225240d223當 d223 時 S四邊形 ABCD 有最大值為 5.2答案 :5.12.（ 20

8、09全國）已知圓 O： x2y 25 和點 A（ 1，2），則過 A 且與圓 O 相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于【解析】 由題意可直接求出切線方程為y-2=1(x-1)，即 x+2y-5=0, 從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5 ，所以所求面積為15 52525 和。2224答案: 25413. （ 2009 湖北高考）過原點O 作圓 x2+y2 6x 8y 20=0 的兩條切線，設切點分別為P、 Q，則線段 PQ 的長為。【解析】 可得圓方程是 ( x3)2( y4)25 又由圓的切線性質及在三角形中運用正弦定理得PQ 4答案 :414.（ 2009 四川高考）若O1 : x2y

9、25 與 O2 : ( xm)2y220( mR) 相交于 A 、B 兩點，且兩圓在點 A 處的切線互相垂直，則線段AB 的長度是.w【解析】 由題知 O1 (0,0), O2 (m,0) ，且5 | m | 35 ，又 O1AAO2 ，所以m2( 5)2(2 5)225 m5， AB 25 204 。5答案 :4.x12cos(為參數 )試判斷他們的公共點15.（ 2009 福建高考） 已知直線 l:3x+4y-12=0 與圓 C:22siny個數 .【解析】 圓的方程可化為(x1)2( y2) 24 .其圓心為 C ( 1,2) ,半徑為 2.圓心到直線的距離| 3( 1)4212|7d3

10、24225故直線與圓的公共點個數為2.答案： 216.（ 2009 海南、寧夏高考）已知曲線C 1x4cost,（ t 為參數）， C 2x8cos,：3sin t,：3sin（為參yy,數）。（ 1）化 C 1 ， C 2 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（ 2）若 C 1 上的點 P 對應的參數為 t，Q 為 C 2 上的動點，求PQ 的中點 M 到直線2C3x32t ,（ t 為參數）距離的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m:2ty【解析】（ ） C1 : ( x4)2( y3)21, C2x2y2:1.649C1 為圓心是（4,3) ，半徑是1的圓.C2 為中

11、心是坐標原點，焦點在x 軸上，長半軸長是 8，短半軸長是3的橢圓.（ ）當 t時， P(4,4).Q (8cos ,3sin ),故 M ( 2 4cos, 23 sin ).22C3 為直線 x2 y 70, M 到 C3的距離 d53sin13|.| 4cos5從而當 cos4 ,sin3時， d取得最小值 8 5 .55517.（ 2009 江蘇高考）在平面直角坐標系xoy 中，已知圓 C1 :( x3)2(y1)2 4 和圓C2 :( x 4)2 ( y 5)24.（ 1）若直線 l 過點 A(4,0) ，且被圓 C1截得的弦長為2 3 ，求直線 l 的方程；（ 2）設 P 為平面上的

12、點， 滿足：存在過點 P 的無窮多對互相垂直的直線l1 和 l2 ，它們分別與圓 C1 和圓 C2相交，且直線 l1 被圓 C1 截得的弦長與直線 l2 被圓 C2 截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P 的坐標。【解析】 本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數學運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分 16 分。(1) 設直線 l 的方程為：yk( x4) ，即 kxy4k 0由垂徑定理，得：圓心C1 到直線 l 的距離d22(2 3) 21，2結合點到直線距離公式，得：|3k 14k |1,k 21w.w.w.k.s.5.u.c.o.m化簡得： 24 k 27k0, k0或

13、 k724求直線 l的方程為： y0 或 y7( x4)，24即 y0 或 7x24 y280(2) 設點 P 坐標為 (m, n) ，直線 l1 、 l2 的方程分別為：ynk( xm), yn1 ( x m) ，即： kx y n km 0, 1 x y n 1 m 0kkk因為直線 l1 被圓 C1 截得的弦長與直線l2 被圓 C2 截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得圓心C1 到直線 l與 C直線 l2的距離相等。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m12故有： | 3k 1nkm |45 n1 m |kk，k 2111k 2化簡得： (2mn)kmn3,或( mn8)kmn

14、5關于 k 的方程有無窮多解，有：2mn0,或m-n+8=0w.w.w.k.s.5.u.c.o.mmn30m+n-5=0解之得：點P坐標為 ( 3,13) 或 (5 ,1 ) 。22222008 年考題1、（ 2008山東高考）若圓C 的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和 x 軸相切，則該圓的標準方程是（ ）A ( x 3)272B( x 2)221（ y） 1( y 1)332( y 3)21D（ x221C ( x 1)2）( y 1)| 4a3|1 ).【解析】 選 B.設圓心為 (a,1), 由已知得 d1,a2(舍522、（ 2008廣東高考）經過圓x22xy20 的圓心

15、 C，且與直線 xy0 垂直的直線方程是（）A x y 1 0B x y1 0C x y 1 0D x y 1 0【解析】 選 C.易知點 C 為 (1,0)，而直線與 xy0 垂直，我們設待求的直線的方程為yx b ，將點 C 的坐標代入馬上就能求出參數b 的值為 b1，故待求的直線的方程為xy 10 （或由圖象快速排除得正確答案） 。3、（ 2008山東高考）已知圓的方程為22x y 6x 8y 0.設該圓過點（ 3， 5）的最長弦和最短弦分別為AC 和 BD ，則四邊形 ABCD 的面積為（）A10 6B20 6C30 6D40 6【解析】 選 B。將方程化成標準方程( x3)2( y4

16、)225，過點 (3,5)的最長弦（直徑）為AC 10,最短弦為 BD252 124 6,S1ACBD206.24、（ 2008全國）若直線xy 1 與圓 x2y21 有公共點，則（）abA a 2b21B a 2b 21C 111D 111a 2b 2a2b2【解析】 選 D.本題主要考查了直線與圓的位置關系的判斷，由相切或相交得：dr ，d11， ( 1)2(1)21 (1)2(1)2abab52008安徽高考）若過點A(4,0)的直線 l與曲線( x2)2y21有公共點，則直線l 的斜率的取、（值范圍為（）A 3, 3B (3, 3)C 3333),3D (,333【解析】 選 C.方法

17、一：數形結合法（如圖）另外，數形結合畫出圖象也可以判斷C 正確。方法二：利用距離與半徑的關系點A 4,0在圓外，因此斜率必存在。設直線方程為yk (x4) ，即 kxy4k0，直線 l 與曲線 ( x2)2y21有公共點，圓心到直線的距離小于等于半徑d2k4k1，k 21得 4k 2k21,k 213k3 .3336、（ 2008 上海高考）如圖，在平面直角坐標系中，是一個與 x 軸的正半軸、 y 軸的正半軸分別相切于點C、 D 的定圓所圍成區域（含邊界），A、B、C、D 是該圓的四等分點，若點P( x, y) 、 P( x , y ) 滿足 xx且 yy ，則稱 P 優于 P ，如果中的點

18、Q 滿足：不存在中的其它點優于Q，那么所有這樣的點 Q 組成的集合是劣弧（）A ABB ABC ABD AB【解析】 選 D.由題意知，若P優于 P ，則 P在 P 的左上方，當 Q 在 上時，左上的點不在圓上，不存在其它優于Q 的點，Q 組成的集合是劣弧。、（2008天津高考） 已知圓 C的圓心與點 P(2，1) 關于直線 yx1對稱直線3x4y110與圓C相7交于 A， B 兩點，且 AB 6 ，則圓 C 的方程為【解析】 本小題主要考查直線方程中的對稱問題，圓中有關弦長的計算兩方面的知識由已知可求圓心的坐標為(0,1) ，所以 r 232(411)218 ，圓的方程為x2( y1)218

19、 52答案 : x2( y1)2188、（ 2008寧夏海南高考）已知mR , 直線 l : mx(m 21) y 4m 和圓 C : x2y 28x 4 y 16 0 .（）求直線 l 斜率的取值范圍；（）直線 l 能否將圓 C 分割成弧長的比值為1 的兩段圓弧？為什么？2km20( )，【解析】（ ）2,kmm km1mR , 當 k0時0，解得1 k 1 且 k022又當 k 0 時， m 0，方程 () 有解，所以，綜上所述1 k 122（ ）假設直線 l 能將圓 C 分割成弧長的比值為1 的兩段圓弧設直線l 與圓 C 交于 A， B 兩點2則 ACB 120° 圓 C :(

20、 x4) 2( y2)24 ， 圓心 C（ 4， -2）到 l 的距離為 1故有4m2(m21)4m1，整理得3m45m230 m2(m21)2524330 ， 3m45m23 0 無實數解因此直線 l 不可能將圓 C 分割成弧長的比值為1 的兩段圓弧29、（ 2008 江蘇高考）在平面直角坐標系xOy 中，二次函數f (x)x22xb （ xR ）與兩坐標軸有三個交點記過三個交點的圓為圓C （）求實數b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）圓 C 是否經過定點（與b 的取值無關）？證明你的結論【解析】（ ）令 x=0，得拋物線于y 軸的交點是（0， b）令 f(x)=0，得 x2+2x+b=

21、0，由題意 b0且 >0 ，解得 b<1 且 b0（ ）設所求圓的一般方程為22x+ y +Dx+E y+F=0令 y=0，得 x2 +Dx+F=0 ，這與 x2+2x+b=0 是同一個方程，故 D=2 ， F= b令 x=0，得 y2 + Ey+b=0，此方程有一個根為b，代入得E=- b-122所以圓 C 的方程為x + y +2x -(b+1） y+b=0證明如下：將（0， 1）代入圓C 的方程，得左邊= 02 + 12 +2×0-(b+1）×1+b=0 ，右邊 =0所以圓 C 必過定點（ 0， 1）；同理可證圓C 必過定點（ -2， 1）10、（ 200

22、8 北京高考）已知菱形ABCD 的頂點A， C 在橢圓x23 y24 上，對角線BD 所在直線的斜率為 1（）當直線BD 過點 (0，1) 時，求直線AC 的方程；（）當ABC60 時，求菱形ABCD 面積的最大值【解析】（ ）由題意得直線BD 的方程為 yx1因為四邊形ABCD 為菱形，所以ACBD 于是可設直線AC 的方程為 yxn 由 x23y2，6nx3n240 4得 4x2yxn因為 A， C 在橢圓上，所以12n264 0，解得43n4 333設 A，C 兩點坐標分別為( x1，y1 )，(x2，y2 ) ，則 x1 x23nx1 x23n24， y1x1n ， y2x2 n ，4

23、2所以 y1y2n2所以 AC的中點坐標為3nn4，4由四邊形 ABCD 為菱形可知，點3nn在直線 yx1上，4，4所以 n3n1 ，解得 n2 44所以直線 AC 的方程為 yx2 ，即 xy2 0 （ ）因為四邊形ABCD 為菱形，且ABC60，所以 ABBCCA 所以菱形 ABCD 的面積 S32AC2由（ ）可得 AC(x1x2 )2( y1y2 )23n216，22所以 S3 (3n2 16)4 3n43 433所以當 n 0 時，菱形 ABCD 的面積取得最大值4 3 11、（ 2008 湖北高考）如圖，在以點O 為圓心，| AB | 4 為直徑的半圓ADB 中，ODAB ， P

24、 是半圓弧上一點，POB30，曲線 C 是滿足 | MA |MB |為定值的動點M 的軌跡，且曲線C過點 P.（）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C 的方程；（）設過點D 的直線 l 與曲線 C 相交于不同的兩點 E 、 F .若 OEF 的面積不小于 22 ，求直線 l 斜率的取值范圍 .【解析】（ ）方法 1：以 O 為原點， AB、 OD 所在直線分別為x 軸、 y 軸，建立平面直角坐標系，則A（ -2， 0）， B（ 2， 0）， D(0,2),P（ 3,1 ），依題意得 MA - MB = PA - PB(23)22（22222 AB 4.13）1 曲線 C 是以原點為中心，A、 B

25、 為焦點的雙曲線.設實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則 c 2， 2a2222 2x2y 22 ， a =2,b =c -a =2. 曲線 C 的方程為1 .22方法 2：同方法1 建立平面直角坐標系，則依題意可得MA - MB = PA - PB AB 4. 曲線 C 是以原點為中心，A、 B 為焦點的雙曲線 .設雙曲線的方程為x 2y 21( a 0， b 0） .a 2b 2（2123）122則由a 2b 2解得 a =b =2,a 2b24 曲線 C 的方程為 x2y 21.22圖 1圖 2( )方法 1：依題意，可設直線l 的方程為 y kx+2 ，代入雙曲線C 的方程并整理

26、得（221-K ）x -4kx-6=0. 直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點E、F，1 k 20k1(4k )246(1k2 )03 k3 k （ -3 ,-1） （ -1，1） （ 1，3 ） .設 E （ x1， y1）， F(x22 ，則由 式得124k, x1 x26于是,y )x +x = 1 k21 k2 ,EF (x1x2 )2( y1y2 )2(1 k 2 )( x1x2 ) 2 1 k 2( x1x2 ) 24x1x21 k22 2 3 k 2.1k 2而原點 O 到直線 l 的距離 d2，k 21 SOEF =1 dEF121k 22 23k 22 23 k 2.221 k 21 k 21 k2若 OEF 面積不小于2 2,即 SOEF2 2，則有2 2 3 k 22 2k 4k 22 0,解得2k2.1 k 2綜合 、 知，直線 l 的斜率的取值范圍為- 2 ， -1) (-1,1) (1,2 .方法 2：依題意，可設直線l 的方程為 y kx+2，代入雙曲線C 的方程并整理，得（ 1-K 2） x2-4kx-6=0. 直線 l 與雙曲線C