1、現 代 控 制 理 論第一章答案1-1試求圖1-27系統的模擬結構圖，并建立其狀態空間表達式。 解：系統的模擬結構圖如下：系統的狀態方程如下： 令（s） y，則 y X1所以，系統的狀態空間表達式及輸出方程表達式為 1-2有電路如圖1-28所示。以電壓U（t）為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態變量 的狀態方程，和以電阻 R?上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令 i1X1,i2X2,UcX3，輸出量 yR2X2R1x1?L1 X-!x3u有電路原理可知：?L2 X2R2 X2X3X-!X2?C X3?R11 1X1X1X3uL1L1 L1?R21既得X2X2X3L2L2?11

2、X3X1X2CCyR2X2寫成矢量矩陣形式為:1-30所示，試求其狀態空間表達1-4兩輸入U1, U2，兩輸出y1，y2的系統，其模擬結構圖如圖式和傳遞函數陣。解：系統的狀態空間表達式如下所示：1-5系統的動態特性由下列微分方程描述 列寫其相應的狀態空間表達式，并畫出相應的模擬結構圖。解：令 X1 y， X2 y， X3 y，則有相應的模擬結構圖如下：1-6 （ 2）已知系統傳遞函數應的模擬結構圖W(s)6(s 1)3）2 ,試求出系統的約旦標準型的實現，并畫出相3）s(s2)(s101解：w(s)6(s 1)4333解：W(S)2s(s 2)(s 3)2! (s3)2s 3s 2 s1-7給

3、定下列狀態空間表達式Xi01 0X10X223 0X21 uX3113X32cX1y0 01 x2X3（1）畫出其模擬結構圖（2）求系統的傳遞函數解：s1 0(2)W(s)(SI A)2s 3011 s 31-8求下列矩陣的特征矢量010（3）A30212761 0解：A的特征方程A323 6 2 1 1 6 01276解之得11,22,33010P11P11當11時，302p21p211276p31p31P111解得：p21p31P11令P11 1得p p21 1P311P111（或令P111，得RP211 )P311010p12p12當12時，302p222 p221276p32p32解得

4、：p222 p12 , p3212 P12令P122得p22P32口21（或令p12 1，得P2p222）1p322010p13p13當二 13時,302p233p231276p33p33p13解得：P233 P13, P333 P13令P131得P3p23p331-9將下列狀態空間表達式化成約旦標準型（并聯分解）X1412X31X2102x227 uX3113X353（2）X1y112 0X2y201 1X3412解：A的特征方程IA12(1)(3)2113412P11P11當13時，102p213p21113p31p31P111解之得P21P31P11令P111得PP211P311412P

5、11P111當23時，102p213p211113p31p311Pl20解之得P12P221, p22P32令 Pl21pi2P2p22P324 12P13P13當31時，1 02P23P231 13 P33P33解之得P130，P232 P33令 P331得P130P3P232P331約旦標準型1-10已知兩系統的傳遞函數分別為Wi（s）和W2（s）試求兩子系統串聯聯結和并聯連接時，系統的傳遞函數陣，并討論所得結果 解：（1）串聯聯結（2）并聯聯結1-11 （第3版教材）已知如圖1-22所示的系統，其中子系統1、2的傳遞函數陣分別為求系統的閉環傳遞函數解：1-11 （第2版教材）已知如圖1-

6、22所示的系統，其中子系統1、2的傳遞函數陣分別為求系統的閉環傳遞函數解：1-12已知差分方程為試將其用離散狀態空間表達式表示，并使驅動函數u的系數b（即控制列陣）為1（1）b 1解法1：解法2：得T 111所以0 11 1求使得T 1B1所以，狀態空間表達式為第二章習題答案2- 4用三種方法計算以下矩陣指數函數eAtA=解：第一種方法:，即求解得到113時,特征矢量P11Ap111P113 p111P1，得14P21 3 p21pnp213 p11可令1P14pnP213 P21221時，特征矢量P2p12P1由即當p22由Ap212 p2，得4p12p12p22p22即p124pi2p22

7、p12p22p22，可令P2第二種方法,第三種方法，即拉氏反變換法： 即凱萊一哈密頓定理由第一種方法可知13，22-5下列矩陣是否滿足狀態轉移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應的A陣。1 t 3t1t 3t（3）tt2t2e e2e 2t2ete e2e e4t2te e2e2te t（4）tt3t1t 3te ee e2解：（3）因為100I，所以該:矩陣滿足狀態轉移矩陣的條件01（4）因為 0|，所以該矩陣滿足狀態轉移矩陣的條件0 12-6 求下列狀態空間表達式的解：初始狀態 X 01，輸入 u t 時單位階躍函數。101解：A00因為B0， u t I t12-9有系統如圖22所示，試求

8、離散化的狀態空間表達式。設采樣周期分別為 T=0.1s和1s,而Ui和U2為分段常數。圖 2.2 系統結構圖解：將此圖化成模擬結構圖 列出狀態方程 則離散時間狀態空間表達式為由 G TeAt 和 H TeAtdtB 得：0當 T=1 時X k 11 e1 e 1當 T=0.1 時X k 10.1 e0.11e0 k 1 e1 0 x ku k1 ke 1 10.10 k 1 e 0.1Xk1 k e 0.1 0.90uk0.1第三章習題3- 1判斷下列系統的狀態能控性和能觀測性。系統中a,b,c,d的取值對能控性和能觀性是 否有關，若有關，其取值條件如何？（1）系統如圖 3.16所示： 解：由

9、圖可得： 狀態空間表達式為：?由于X2、X3、X4與u無關，因而狀態不能完全能控，為不能控系統。由于 y只與X3有 關，因而系統為不完全能觀的，為不能觀系統。（3）系統如下式：解：如狀態方程與輸出方程所示， A 為約旦標準形。要使系統能控，控制矩陣 b 中相 對于約旦塊的最后一行元素不能為 0，故有 a 0,b 0要使系統能觀，則C中對應于約旦塊的第一列元素不全為 0,故有c 0,d03-2時不變系統試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：方法二：將系統化為約旦標準形。111 T1 t-1221-1 ' 1122T1B中有全為零的行，系統不可控。CT中沒有全為0的列，系統可觀3-

10、3確定使下列系統為狀態完全能控和狀態完全能觀的待定常數i和i解：構造能控陣：要使系統完全能控，則 1 12，即12 1 0構造能觀陣：要使系統完全能觀，則1 21，即12 1 03- 4設系統的傳遞函數是(1) 當a取何值時，系統將是不完全能控或不完全能觀的？(2) 當a取上述值時，求使系統的完全能控的狀態空間表達式(3) 當a取上述值時，求使系統的完全能觀的狀態空間表達式解：(1)方法 1 : W(s)y(s)s au(s)(s 1)(s 3)(s 6)系統能控且能觀的條件為 W(s)沒有零極點對消。因此當a=1或 a=3或a=6時，系統為 不能控或不能觀。方法2：系統能控且能觀的條件為矩陣

11、 C不存在全為0的列。因此當a=1,或 a=3或a=6時，系 統為不能控或不能觀。(2) 當a=1, a=3或a=6時，系統可化為能控標準I型(3) 根據對偶原理，當a=1, a=2或a=4時，系統的能觀標準II型為3-6已知系統的微分方程為：y 6y 11y 6y 6u試寫出其對偶系統的狀態空間表達式及其傳遞函數。解: a。 6, ai 11，a2 6，a3 3, b° 6系統的狀態空間表達式為傳遞函數為其對偶系統的狀態空間表達式為：傳遞函數為W(s) 飛s3 6s211s 63- 9已知系統的傳遞函數為試求其能控標準型和能觀標準型。2解：W(s)s 6s 8“ 2s 51s 4s

12、 3 s 4s 3系統的能控標準I型為能觀標準II型為3- 10給定下列狀態空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標準型。0 1 00解：A 230 ，b 1，C 0 0 11 1320構造奇異變換陣Rc : R1 b 0，R2 Ab1100，R31，其中R3是任意的，只要303-11試將下列系統按能控性進行分解1210(1)A 010 ,b0,C1 1 10431解：014Mb AbA2b000ran kM=2<3，系統不是元全能控的139滿足Rc滿秩010301即Rc001得R 1c1001300103-12試將下列系統按能觀性進行結構分解1210（1）A010 ,b0,C1 1 1

13、04311210解：由已知得A010,b0 ,C 1 1 10431C1 1 1則有N CA23 2CA 0 2rank M=3，則系統能控rank N=3，則系統能觀所以此系統為能控并且能觀系統4 7 4rank N=2<3,該系統不能觀11 1構造非奇異變換矩陣R/，有Ro123 200131 1則 R021 00 0 13-13 試將下列系統按能控性和能觀性進行結構分解1001（1） A223 ,b2 ,C11220121 1 1解：由已知得MA AbAb22 12 26111取Tc221226，則 Xj202002則A1015，BTc2b0143174471323154410 ,

14、 c cTc2 7 13 2303-14求下列傳遞函數陣的最小實現(1) w s - s解:01，B。10Bc，Cc01系統能控不能觀1 1 1 0 ,代110 11100,Dc1100取R。11 10 1，則 R0所以 A? R01AR0，E?R/Bc1 0CcR01 0，療1所以最小實現為d 11驗證：Cm si A. Bm1 1 3-15設1和2是兩個能控且能觀的系統(1)試分析由1和2所組成的串聯系統的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數;(2) 試分析由1和2所組成的并聯系統的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數，Bm1 1，Cm1，Dm解:(1)1和2串聯0100X340 x1 u，y 0

15、 0 1 x2120則rank M=2<3，所以系統不完全能控。當2得輸出y是1的輸入U1時0110X341 X0 u，y 2 1 0 x002100 1因為 Mb Ab A2b01 6124當i的輸出yi是2的輸入U2時，X&2x3 2 X|X2rank M=3則系統能控c210因為NcA321cA2654rank N=2<3則系統不能觀1和2并聯0100&340 x1 u， y 2 11 x0021因為rank M=3,所以系統完全能控因為rank N=3,所以系統完全能觀現代控制理論第四章習題答案4- 1判斷下列二次型函數的符號性質:(1)Q(x)2X13x；

16、11xf 2x1x2X2X32x1X3解：(1)由已知得71411因此Q(x)是負定的(2)由已知得16因此Q(x)不是正定的4- 2已知二階系統的狀態方程:試確定系統在平衡狀態處大范圍漸進穩定的條件。的特征值均具解：方法(1)：要使系統在平衡狀態處大范圍漸進穩定，則要求滿足 有負實部。即:有解，且解具有負實部。即： 玄11a?20且 *11玄22玄12玄21方法(2)：系統的原點平衡狀態Xe 0為大范圍漸近穩定，等價于AtPPA Q。p1p2 ，則帶入atp pa Q，得到p2 l222an2a21a120ana222a12a212a224(ana22)(ana22812821)0，則此方程

17、組有唯解。即其中 det A A a1a22 耳2&21要求P正定，則要求因此 a11 a220，且 det A 04-3試用lyapunov第二法確定下列系統原點的穩定性。1 1(1) &x231 1&x1 1解：(1)系統唯一的平衡狀態是xe 0選取Ly apunov函數為V(x) x： x； 0，則V(x)是負定的。x，有 V(x)。即系統在原點處大范圍漸近穩定。(2)系統唯一的平衡狀態是Xe 0Xe2選取Lyapunov函數為V (x)捲x20,則?V(x)是負定的。x，有 V(x)即系統在原點處大范圍漸近穩定。4- 6設非線性系統狀態方程為:試確定平衡狀態的穩

18、定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有:很明顯，Q(x)的符號無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數為2 2V(x)為 X20,貝 U?V(x)是負定的。x ，有V(x)。即系統在原點處大范圍漸近穩定。4- 9設非線性方程：試用克拉索夫斯基法確定系統原點的穩定性。解：(1)采用克拉索夫斯基法，依題意有：|x|，有V(x)。取P I則 Q(x)103x21 3x；2，根據希爾維斯特判據，有：1 o,203x； 1(3x2 1)0，Q(x)的符號無法判斷1 3x22(2)李雅普諾夫方法：選取Lyap u nov函數為V(x) 3 x： 3 x； 0，則42V(x)是負定的。

19、x ，有V(x)。即系統在原點處大范圍漸近穩定。4-12試用變量梯度法構造下列系統的李雅普諾夫函數解：假設V(x)的梯度為：計算V(x)的導數為：選擇參數，試選a11 a221,a12 a210,于是得：x1 ，顯然滿足旋度方程X2X2上即上 上 0,表明上述選擇的參數是x1x2x1允許的。則有:如果1 2x20或NX21，則V(x)是負定的，因此,x1x22是X1和X2的約束條件計算得到V(X)為:1V (x)是正定的，因此在1 2x1x20即X1X2范圍內，Xe 0是漸進穩定的現代控制理論第五章習題答案5- 1已知系統狀態方程為:試設計一狀態反饋陣使閉環系統極點配置為解：依題意有：01 1

20、Mb Ab A2b012rankM112系統 0 (A,b,C)的特征多項式為：0則將系統寫成能控標準I型，則有&01引入狀態反饋后，系統的狀態方程為：-1，-2，-3。3，系統能控。10001x0u。231& (A bK)x bu ,其中K為1 3矩陣，設K k。K k2，則系統 K (A,bK,C)的特征多項式為:根據給定的極點值，得到期望特征多項式為:比較f()與f*()各對應項系數，可解得：ko5 ki 9 k29,則有：K -5 -9 -9。5-3有系統：(1) 畫出模擬結構圖。(2) 若動態性能不滿足要求，可否任意配置極點?(3) 若指定極點為-3，-3，求狀態反饋

21、陣。解(1)系統模擬結構圖如下：(2)系統采用狀態反饋任意配置極點的充要條件是系統o (A,b,C)完全能控對于系統°(A,b,C)有：M b Ab° 1rankM 2，系統能控，故若系統動態性能不滿足要求，1 1可任意配置極點(3)系統0(A,b,C)的特征多項式為：則將系統寫成能控標準I型，則有&°1 x ° u。231引入狀態反饋后，系統的狀態方程為：& (A bK)x bu，設K k° k1 ，貝U系統K (A,bK,C)的特征多項式為：根據給定的極點值，得到期望特征多項式為：比較f()與f*()各對應項系數，可解得：k°7 k13 ,K 7 3。5- 4設系統傳遞函數為試問能