1、基礎梳理1一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數大于零的不等式ax2 bx c 0(a 0)或 ax2 bxc0(a0)(2)求出相應的一元二次方程的根(3)利用二次函數的圖象與x 軸的交點確定一元二次不等式的解集2 一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如下表：判別式b2 4ac 0 00二次函數 y ax2bxc (a0)的圖象一元二次方程 ax2有兩相異實根有兩相等實根bxc0 (a0)沒有實數根x1， x2(x1x2)x1 x2b的根2aax2 bxc0 (a x|x x2 或 xx1bR0)的解集x|x 2aax2 bxc0 (a x|x1xx

2、2?0)的解集一個技巧一元二次不等式 ax2bx c 0(a 0)的解集的確定受 a 的符號、b2 4ac 的符號的影響， 且與相應的二次函數、 一元二次方程有密切聯系， 可結合相應的函數 yax2 bx c(a 0)的圖象，數形結合求得不等式的解集若一元二次不等式經過不等式的同解變形后，化為ax2bx c 0(或 0)(其中 a0)的形式，其對應的方程 ax2bx c0 有兩個不等實根 x1，x2，(x1x2)(此時 b2 4ac0)，則可根據“大于取兩邊，小于夾中間”求解集兩個防范(1)二次項系數中含有參數時，參數的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數是否為零的情況；(2)解含參數的一

3、元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏二次不等式恒成立問題不等式 ax2bx c 0 的解是全體實數 (或恒成立 )的條件是當 a 0 時，b0，c0；當a 0 時，a0，不等式 ax2bx c 0 的解是全體實數 (或恒成立 )的條件是當 a0 時， b0；a 0，0，c 0；當 a0 時， 0.一、恒成立問題的基本類型：類型1：設 f ( x)ax2bxc(a0) ，（ 1 ） f ( x)0在 xR 上恒成立a 0且0；（2）f (x)0在 xR 上恒成立a0且0 。類型 2：設 f ( x)ax 2bxc(a0

4、)（ 1）當 a0時， f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或2a，f ( )00f ()0f (x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()0（ 2）當 a0時， f ( x)0在 x, 上恒成立f ()0f ()0bbbf (x)0在 x , 上恒成立2a或2a或 2af ()00f ( )0類型 3：f (x)對一切 xI 恒成立f (x) minf ( x)對一切 xI恒成立f ( x) max。類型 4：f (x)g( x)對一切 xI 恒成立f ( x)的圖象在 g( x)的圖象的上方或 f ( x) ming(x)max(xI )二、恒成立問題常見的解題策略：策略一：

5、利用二次函數的判別式對于一元二次函數f ( x)ax2bxc0( a0, x R) 有：（ 1） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0 ；（ ） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且02例 1. 若不等式 (m1) x2( m1) x20 的解集是 R，求 m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1 是否是 0。（ 1）當 m-1=0 時，元不等式化為2>0 恒成立，滿足題意；（ 2） m 10 時，只需m 10，所以， m 1,9) 。(m1) 28(m1)0策略二 : 利用函數的最值（或值域）（ 1） f ( x)

6、m 對任意 x 都成立f ( x) minm ；（ 2） f ( x)m 對任意 x 都成立mf ( x)max 。簡單計作： “大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。例 2.已知 f (x) x 2ax3a ，若 x2,2, f ( x)2恒成立，求a 的取值范圍 .解析 本題可以化歸為求函數f ( x) 在閉區間上的最值問題, 只要對于任意x 2,2,f (x)min2 . 若ax 2,2, f ( x)2 恒成立x2,2,f (x) min222f (x)minf ( 2) 7 3a2a2a2或2或2，即 a 的取值范圍為 5, 22 2.f

7、( a )a22f ( x) min3a2f ( x) minf ( 2) 7 a 224策略三：利用零點分布例 3.已知 f (x) x 2ax3a ，若 x2,2, f ( x)0恒成立，求 a 的取值范圍 .解析本題可以考慮f ( x) 的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區間的左側、零點在區間00a2 或a2，即 a 的取值范圍為 -7 ， 2.的右側三種情況，即0或22f ( 2)0f ( 2)0f (2)0f (2)0點評 對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于零的問題, 可以考慮函數的零點分布情況, 要求對應閉區間上函數圖象在x 軸的上方或在x 軸上就行了 .變式：設

8、 f ( x) x22mx2，當 x 1,) 時， f ( x)m 恒成立，求實數 m 的取值范圍。解：設 F ( x)x 22mx2m ，則當 x 1,) 時， F (x)0 恒成立當4(m1)(m2)0即時，F (x)0顯然成立；2 m 1當0 時，如圖，F ( x)0恒成立的充要條件為：0F ( 1)0解得3m2 。綜上可得實數m 的取值范圍為 3,1) 。yx-1 Ox2m21策略四：分離參數法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1） f ( x)g(

9、 a)( a為參數） 恒成立g (a)f (x) max2） f ( x)g( a)( a為參數） 恒成立g (a)f (x) max例 4. 函數 f (x)x 22xa , x1,) ，若對任意 x 1,) ， f (x) 0 恒成立，求實數a 的取值范x圍。解：若對任意x1,) ， f ( x)0恒成立，即對 x1,)， f ( x)x22xa0恒成立，x考慮到不等式的分母x1,) ，只需 x 22xa 0 在 x1, ) 時恒成立而得x22x a0 在 x1, ) 時恒成立，只要 ax22x 在 x 1,) 時恒成立。而易求得二次函數 h(x)x22x 在 1,) 上的最大值為3 ，所

10、以 a3 。變式：已知函數f ( x)ax4xx 2 , x (0,4 時 f ( x)0 恒成立，求實數a 的取值范圍。解： 將問題轉化為 a4xx 2對 x (0,4 恒成立。x令 g ( x)4xx2g( x)minx，則 a由 g ( x)4xx241 可知 g (x) 在 (0,4 上為減函數，故 g(x)ming (4) 0xx a 0 即 a 的取值范圍為 (,0) 。注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學生習慣把變量 x 看成是主元（未知數） ，而把另一個變量 a 看成參數，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果

11、把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，則可簡化解題過程。例 5. 若不等式2x1m( x 21)對滿足2 m2的所有 m 都成立，求x 的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：m( x 21)(2 x 1)0，；令f (m)m( x21)(2x 1)2m 2時 ， f (m)f ( 2)0， 則0恒成立，所以只需即f (2)02( x21)(2x1)0(17 , 13 )2( x2，所以 x 的范圍是 x1) ( 2x1)022總結：利用了一次函數f ( x)kxb, x m, n 有：f (x)0恒成立f (m)0( x)0恒成立f (

12、 m)0f (n), ff ( n)00變式：對任意a1,1 ，不等式 x2(a 4) x42a0 恒成立，求 x 的取值范圍。分析：題中的不等式是關于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，則問題可轉化為一次不等式(x 2)a x24x40在 a1,1上恒成立的問題。解：令 f (a)(x2)ax 24x4 ，則原問題轉化為f ( a)0 恒成立（ a1,1 ）。當 x2時，可得 f (a)0 ，不合題意。當 x2f (1)0解之得 x1或x3。時，應有f ( 1)0故 x 的取值范圍為 (,1)(3,) 。策略六：消元轉化例 6.已知 f ( x) 是定義在 -1,1上的奇函數 , 且

13、f (1)=1,若m, n 1,1, m n 0時 f (m)f (n)0 ，若 f (x)t 22at1對于所有的 x 1,1, a1,1 恒成立，求實數mnt 的取值范圍 .解析本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量，容易證明f ( x)是定義在 -1,1 上的增函數, 故 f ( x) 在 -1,1上的最大值為f (1)=1, 則 f ( x)t 22at1 對于所有的x 1,1, a 1,1 恒成立1t 22at1 對于所有的 a 1,1 恒成立，即 2ta t 20 對于所有的 a 1,1恒成立，令 g( a) 2ta t2 ，只要g( 1)0 ， t2或

14、t2或t0 g(1)0點評對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題, 可以根據題意依次進行消元轉化, 從而轉化為只含有兩變量的不等式問題, 使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個側面入手去探討不等式中參數的取值范圍。事實上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實踐中，往往需要綜合考慮，靈活運用，才能使問題得以順利解決。三、鞏固練習1. （1）若關于x的不等式20a 的取值范圍；（ ）若關xax a的解集為 (,) ，求實數2于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集，求實數a 的取值范圍 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）設 f xx 2axa

15、 . 則關于 x 的不等式 x 2axa 0 的解集為 (, )f x 0 在,上恒成立f minx0 ,即 f min x4aa 20,解得 4a04（ 2 ） 設 f xx 2ax a . 則 關 于 x的 不 等 式 x 2ax a3的解集不是空集f x3在,上能成立f minx3 ,即 fmin x4aa23, 解得 a6或 a2 .42.若函數 ymx26mxm8 在 R上恒成立，求 m的取值范圍。分析：該題就轉化為被開方數mx26mxm 80 在 R 上恒成立問題，并且注意對二次項系數的討論。略解：要使 ymx26mxm8 在 R上恒成立，即 mx26mx m8 0在R上恒成立。1

16、om0時， 80m0 成立2om0 時，m0， 0m136m24 m832m m10由 1o， 2o 可知， 0m13.r( x2 , xr(1x,t ), 若函數 f xab 在區間1,1上是增函數，求 t已知向量 a1),b的取值范圍 .解：依定義f()2(1)(x1)32tx t,xxxtxx則 f( x)3x22xt .f x在區間1,1 上是增函數等價于 fx0 在區間1,1上恒成立 ;而 fx0 在區間1,1上恒成立又等價于 t3x22x 在區間1,1 上恒成立 ;設g x3x22,1,1x x進而 tgx 在區間1,1 上恒成立等價于 tg maxx , x1,1考慮到 gx3x

17、22x, x1,1 在1, 1 上是減函數 ,在1 ,1 上是增函數 ,33則 g max xg15 .于是 ,t的取值范圍是 t5 .4.已知函數 fxx33ax1, g xfxax5 ，其中 f 'x 是 fx 的導函數 .對滿足 1a1 的一切 a 的值，都有 gx0 ，求實數 x 的取值范圍；解法1. 由題意 gx3x2ax3a5 ，這一問表面上是一個給出參數a 的范圍，解不等式gx0 的問題，實際上，把以x 為變量的函數 g x ，改為以 a 為變量的函數，就轉化為不等式的恒成立的問題，即令a3x a3x25，1a1 ，則對1a1，恒有 g x0 ，即a0 ，從而轉化為對1a

18、1 ，a0 恒成立，又由a 是 a 的一次函數， 因而是一個單調函數，它的最值在定義域的端點得到. 為此103x2x20,只需即103x2x80.解得2x1.3故x2,1時，對滿足1a1 的一切 a 的值，都有 g x0 .3解法 2. 考慮不等式 gx3x2ax3a5 0 .由 1a1 知,a236a600 , 于是 , 不等式的解為aa236a60xaa236a60 .66但是 , 這個結果是不正確的 , 因為沒有考慮 a 的條件 , 還應進一步完善 .為此 , 設 gaaa236a60 , haaa236a60 .66不等式化為 gaxh a ,1a1恒成立 , 即ga maxxha m

19、in ,1a1 .由于 gaaa236a60 在1a1 上是增函數 , 則 ga maxg 12 ,63haaa236a60在 1a1 上是減函數 , 則 h a minh 11.所以 ,2x 1.63故 x2 ,1時，對滿足1a1的一切 a 的值，都有 g x0 .35.若對任意的實數 x ， sin 2 x2k cos x2k20 恒成立，求 k 的取值范圍。解法一：原不等式化為 cos2 x2k cos x2k10令 tcosx ，則 t1，即f (t )t22kt2k1t k2k22k在1,1上恒大于。1 t0若 k1 ，要使 f (t ) 0，即 f ( 1)0， k1k不存在2若 1k 1，若使 f (t )0，即f (k)k22k 1 01 2 k 1 21 2 k 1若 k1 ，要使 f (t)0 ，即 f (1)0 ， k 1由，可知，k12。解法二