1、 1-5 多項式的因式分解定理多項式X44在有理數域、實數域、復數域上的因式分解4x4(x22)(x22)(不能再分)Qx引入課題4x4(x2)(x2)(x22)(不能再分)Rx初等數學中4x4(x、2)(x2)(x2i)(x2i)Cx的因式分在不同的系數域上，具有不同形式的分解式解，什么叫不能再分平凡因式：零次多項式(不等于零的常數)、多項式自身、前 兩個的乘積Definition8 :(不可約多項式)令f(x)是 Px的一個次數大 于零的多項式， 如果f(x)在 Px中只有平凡因式，就稱f(x) 為數域 P 上(或在 Px中)的不可約多項式.(p(x)在數 域P 上不能表示成兩個次數低的多

2、項式的乘積)若f(x)除平凡因式外，在 Px中還有其它因式，f(x)就說是在數 域 P 上(或在 Px中)是可約的.女口果f (x) g(x)h(x) ,g(x)不是平凡因式，則 g(x)和 h(x)的次數顯然都小于f(x)的次數.反之，若f(x)能寫成兩個這樣多項式的乘積，那么f (x)有 非平凡因式；如果 Px 的一個 n 次多項式能夠分解成 Px 中兩個次數都 小于 n 的多項式g(x)和 h(x)的乘積即f(x) g(x)h(x)那么f(x)在 P 上可約. 由不可約多項式的定義可知： 任何一次多項式都是不可約多項式的 . 不可約多項式的重要性質： 一個多項式是否不可約是依賴于系數域；

3、1. 如果多項式f(x)不可約，那么 P 中任意不為零的元素 C 與f(x)的乘積 Cf(x)都不可約.2. 設f(x)是一個不可約多項式而P(x)是一個任意多項式，那么或者f(x)與 P(x)互素，或者f (x)整除 P(x).3. 如果多項式f(x)與g(x)的乘積能被不可約多項式 P(x)整 除，那么至少有一個因式被 P(x) 整除.Theorem5.如果p(x)是一個不可約多項式，P(x)整除一些多 項式fi(x), f2(x), , fs(x)的乘積,那么p(x)一定整除這些多項 式之中的一個 .證明:對被除多項式的個數 s 用數學歸納法 當 s=1 時 , 顯然成立 ;假設 s=n

4、-1 時,結論成立；當 s=n 時,令gi(x)fi(x), g2(x) f2(x)f3(x)fn(x),如果p(x) | gi(x),則 p(x) | fi(x)命題成立,如 果p(x) | gi(x),則(p(x), gi(x)1,從而P(x)|g2(x),即P(x)整除 f2(X), f3(X), fn(x)n-1 多項式的乘積,由歸納法假設p(x)整除其中一個多項式，根據數學歸納法原理，命題得證.因式分解及唯一性定理：多項式環 Px的每一個n(n 0)次多項式f(x)都可以唯一分解成 Px的不可約多項式的乘積;f(x)Pi(X)2P(X) Ps(x)所謂唯一性是說，如果有兩個分解式f

5、(x)Pi(x)2P(x) Ps(x) qi(x)q2(x)qjx)那么，必有s=t，并且適當地排列因式的順序后有Pi(x)cqi(x) (i 1,2, s)標準分解式(典型分解式)：f (x) cpiri(x)p22(x) p；s(x)其中 C 是 f(x)的首項系數，pdx), p2(x),ps(x)是不同的、首項系數為 1 的不可約多項式，而ri2, rs正整數.例 1：在有理數域上分解多項式，f(x) x3x22x 2.f (x) x3x22x 2 (x 1)(x2x 2) (x 1)(x1)(x2)例 2：求f(x) x5x42x32x2x1 在 Qx內的典型分解式.f(x) x5x

6、42x32x2x 1 (x 1)(x42x21) (x 1)3(x 1)2例 3.求f (x)2x510 x416x316x214x 6 在 Rx內的典型分解式f(x) 2(x21)(x 1)2(x 3)例 4:分別在有理數域、實數域和復數域上分解多項式x51和6x1為不可約多項式的乘積.解：(x51)(x 1)(x43xx2x 1)Qx突 出 不同 數 域(x51) (x1)( x4x32xx 1)24上 不 同(x1)*2 cos1)(x22 cos1)Rx55多 項 式(x1) (x431)(x x2xx 1)的 因 式4“2k2k(x1)(x cos -isin)Cx1k 155在 Qx上(x61) (x31)( x31)(x1)(x2x 1)(x1)(x2x 1);在 Rx上布置作業(x