1、第 17卷 第 6期 2005年 6月計算機輔助設計與圖形學學報JOURNAL OF COMPU TER 2AIDED DESIGN &COMPU TER GRAPHICSVol 117, No 16J une , 2005 收稿日期 :2003-12-18; 修回日期 :2004-05-08 基金項目 :國家自然科學基金 (60373034,60021201,60133020,69925204 ; 國家重點基礎研究發展規劃項目 (2002CB312102 ; 香港城市大學戰略研究項目 (7001296帶尖銳特征的 Loop 細分曲面擬合系統李桂清1 馬維銀 2 鮑虎軍31 (華南理工

2、大學計算機學院 廣州 510640 2 (香港城市大學制造工程與工程管理系 香港 3(浙江大學 CAD &CG 國家重點實驗室 杭州 310027 (ligq scut1edu 1cn 摘 要 實現了一個基于帶尖銳特征的 Loop 細分曲面的三角網格擬合系統 , 其基本原理來自文獻 15, 但在系統設 計層面對原算法作了相當大的補充和完善 1整個系統框架包括尖銳特征提取 、 保持尖銳特征的三角網格簡化 、 保持 尖銳特征的網格平滑和拓撲優化 、 基于最近點策略的重采樣和線性擬合系統求解 1結果有了顯著提高 1關鍵詞 細分曲面 ; 尖銳特征 ; 擬合 ; 曲面造型 中圖法分類號 TP39

3、1Fitting System Surfaces with Sharp FeaturesLi Guiqing 1 Ma 2 Bao Hujun 31 (School of Com puter Science and Engi neeri ng , South Chi na U niversity of Technology , Guangz hou 5106402 (Depart ment of M anuf act uri ng Engi neeri ng &Engi neeri ng M anagement , City U niversity of Hong Kong , Hon

4、g Kong 3(S tate Key L aboratory of CA D &CG , Zhejiang U niversity , Hangz hou 310027Abstract A fitting system is developed to fit triangular meshes using Loop subdivision surfaces with sharp features 1The system is based on a method described in reference 15, but it substantially enhances and c

5、onsummates the original algorithm for practical implementation 1The entire framework includes sharp feature extraction , mesh simplification , mesh smoothing , topological optimization , resampling and solution of the fitting system 1Experiments demonstrate that the presented system can considerably

6、 improve the quality of the fitting surfaces 1K ey w ords subdivision surface ; sharp feature ; fitting ; surface modeling1 引 言細分方法研究在模式構造、 連續性分析及其在多分辨率表示中的應用等方面已經取得了長足發 展 1但細分曲面也是一種自由曲面 , 所能表達物體的 復雜程度很有限 , 需要探討三維數據的細分曲面反 插及擬合問題 1注意到 Doo 2Sabin 曲面 1通過其所有控制網格面的中心 ,Nasri 最早提出了一種 Doo 2Sabin 曲面的頂點和法向插值算

7、法 21同樣是從控制網格頂點的 極限位置及其法向出發 , Halstead 等利用反插技術 使極限位置通過指定點及法向 31考慮到規則情形 Doo 2Sabin 曲面和 Catmull 2Clark 曲面 4的等參線分 別是二次和三次 B 樣條曲線 ,Nasri 通過把二次和三 次 B 樣條曲線表示成多邊形復形的技術分別實現 了二 次 和 三 次 B 樣 條 曲 線 網 的 插 值 5271Habib等 8則考慮了中邊細分曲面的插值問題 1與上述方 法不同 ,Levin 的方法直接構造插值參數曲線的細 分規則 9, 使極限曲面最終插值曲線網 101對于大規模網格數據 , 由于存在測量誤差 ,

8、精確 插值并不必要 , 一般采用擬合方法 1Hoppe 等系統 地研究了基于細分曲面的重構方法 11, 通過簡化原 始網格獲得基網格 , 并修改基網格的頂點 , 使修改后 的基網格的相應細分曲面插值原始網格上的對應點 1為表達尖銳特征 , 他們對 Loop 模式進行了改造 , 增 加了新的模板使之能生成折痕曲線 1由于采用逐步 求精的方法進行擬合 , 文獻 11的重構算法引入了 代價很高的非線性優化過程 1Suzuki 等 12也考察了 Loop 曲面的擬合方法 , 利用交互或簡化的方法獲取基網格 ; 然后以基網格 對原始數據采樣 ,斷地重復這個過程 ,Takeuchi 2曲面對三角網格進 行

9、了擬合 , G 1光滑的 B 樣 條曲面片 131他們把 Doo 2Sabin 曲面的擬合融合到 網格簡化過程中 , 使得簡化的結果就是所需要的控 制網格 1該方法不直觀 , 且擬合曲面的質量也不 理想 1Ma 等先后研究了基于 Catmull 2Clark 曲面與 B 樣條曲面的散亂點集擬合 14和基于帶尖銳特征 Loop 曲面的三角網格擬合 151前者采用交互方法 得到物體拓撲的一個線框結構 , 并在此基礎上建立 一組 B 樣條基曲面來對散亂點進行分片和參數 化 16, 最后建立了聯合 B 樣條和 Catmull 2Clark 曲 面的擬合系統 ; 后者則利用改進的 Q EM (Quadr

10、ic Error Metric 三角網格簡化方法得到保持尖銳特征 的基網格 , 作一次細分對原始網格進行重采樣 , 并以 此作為細分曲面極限位置 1由于采用最小二乘擬 合 , 從而可以得到較為光順的曲面 1本文描述一個基于文獻 15中方法的細分曲面 擬合系統 , 并對原方法做了很多細致的改進 1例如 , 考慮到擬合曲面的質量嚴重依賴于控制網格的光順 性 , 引入了基于 Laplace 算子的切向分量對網格幾 何進行優化 ; 其次 , 提供兩種以基網格的一次細分對 原始網格重采樣的新方法 1為縮小求交范圍 , 網格 簡化時還保存了原始網格中與基網格頂點相關聯的 三角形表 1 2 系統流程本文系統

11、以三角網格作為輸入數據 1整個過程 包括尖銳特征提取、 三角網格簡化、 基網格優化、 重采 樣和曲面擬合等 5個步驟 1首先引進下面的記號 : M 表示原始網格 ;M F 表示從 M 提取尖銳特征后得到的網格 ; M FS 表示對 M F 簡化后獲取的基網格 ;M FSO 表示對 M FS 作幾何和拓撲優化后的基 網格 ;M 1FSO 表示對 M FSO 124細分 (可用線性 、 11MM C 表示通過擬合 M R 求出的控制網格 1整個系統流程如圖 1所示 1圖 1 細分曲面擬合系統流程圖3 基網格生成在對給定原始網格進行擬合之前 , 首先要確定 一個與模型具有相同拓撲的基網格 1基網格的

12、好壞 直接影響生成曲面的質量 , 因此它的求取是算法實 現比較關鍵的一環 1求取過程主要包括三個步驟 :尖銳特征提取 、 三角網格簡化和幾何及拓撲優化 1 311 尖銳特征提取尖銳特征是指曲面上 C 0連續的點構成的集 合 1由這些點構成的光滑曲線稱為折痕 1生成帶折痕 的細分曲面時 , 一般先標記折痕邊和相應的尖銳特 征控制頂點 , 對折痕邊采用邊界細分規則 1根據折 痕邊的條數 , 網格控制頂點可以分成 4類 : 光滑頂 0811計算機輔助設計與圖形學學報 2005年點 、 尖刺 、 折痕頂點和角點 1不與折痕邊相連的頂點 稱為光滑頂點 ; 連入邊中只有一條折痕邊的頂點稱 為尖刺 ; 有兩

13、條折痕邊的頂點稱為折痕頂點 ; 有三條 以上折痕的頂點稱為角點 1一條邊是否為尖銳邊由它的兩個共享三角形外 法向夾角確定 1當夾角大于指定閾值時 , 視其為折 痕邊 1當兩條邊界邊夾角小于某個閾值時 , 它們的 共同頂點也標記為角點 (邊界角點 , 不過在邊界角 點處曲面可能是一階光滑的 1312 三角網格簡化本文的簡化算法基于頂點刪除技術 1代價函數 的主要部分為 G arland 等提出的二次誤差 171二次誤差 1對于固定頂點方法 , 邊的二次誤差代 價函數按下述方法計算 15:首先定義頂點 v 到 v 的 12鄰域模板的距離 Q (v , v =f N F (v (Q f (v 1這里

14、 N F (v 是以 v 為頂 點 的 三 合 Q f (v 則是 v 到 f v 的不同類型 , (1 v minv i N 1(v (Q (v i , v ; (2 對折痕頂點 , 且 (v a , v 和 (v , v b 為兩條相 鄰的折痕邊 , 則 Qe (v =mini a , b(Q (v i , v ;(3 對尖刺或角點 , 不能被刪除 , 無須計算 1頂點刪除后形成的多邊形洞的剖分 1如果 v N 1(v 或 v v a , v b 使得 Q (v , v =Qe (v , 那 么除 v 外所有與 v 相連的面點都改為與 v 相連 , 并 稱 v 為 v 的替代頂點 1替代前

15、應作有效性檢查 , 以 保證不會出現翻轉面 1對于光滑的三角網格曲面 , 上述代價函數能夠 生成高質量的簡化網格 :網格面接近等邊三角形 , 且 大小與曲面彎曲程度成正比 1但對有平面區域的模 型 , 由于區域內的頂點代價函數都為零 , 簡化順序取 決于頂點在網格頂點數組中的排列順序 , 因此往往 會產生一些狹長的三角形面 1為此 , 我們在系統中 新增了如下幾個代價函數以控制簡化網格的質量 1正則性代價 1單是二次誤差作為代價函數有時 會導致狹長的三角形面 1一個三角形如果接近等邊三 角形 , 則稱其為正則的 1三角形 t =(v 0, v 1, v 2 的正 則性可用 R (t =cos

16、( v 0v 1v 2 +cos ( v 1v 2v 0 + cos ( v 2v 0v 1 來度量 181引入 Re (t =3-2R (t , 那么 0 Re (t 1有 , 且 Re (t 越小三角形越正則 1三角形集合 T 的正則性則定義為Re (T =max Re (t 1設頂點 v 被刪除后替代頂點為 v , 重新剖分后 v 的 鄰接三角形集合為 N NewF(v , 那么頂點刪除前后頂 點 v 的正則性增量如圖 2所示 , 定義為Re (v =Re (N NewF(v - max Re (N F (v , Re (N F (v 1圖 2 邊 (v , v 的 12鄰域收縮為頂點

17、v 的 12鄰域 面積代價 1正則性代價只約束了三角形的形 狀 , 而不反映其大小 1因此 , 當正則性在代價函數中 , 頂點 vA e (v t N F (v area (t 11定義為上述三種代價的線性組 Cost (v =Qe (v +Re (v +A e (v 1其 中權 值 , , 由 用 戶 指 定 1頂 點 刪 除 順 序 按 Cost (v 從大到小進行 1簡化軌跡 1以 M FSO 的一次細分網格對原網格 M F 進行采樣時 , 要計算細分網格的頂點到 M F 的 最近距離 1如果對 M FSO 的每個頂點都遍歷一次 M F 的網格面將會導致二階復雜度 1一種加速方法是對 M

18、 F 建立包圍盒 1本文通過記錄簡化軌跡 , 使得 M FS 中的每個頂點都有一個相關聯的三角形表與之對應 1具體算法見文獻 191313 三角網格優化即使在代價函數中增加諸如正則增量這樣的懲 罰項 , 仍不能保證基網格一定會具有較高的質量 , 因 此有必要進一步優化 1優化處理分幾何和拓撲兩種 1幾何優化 1通過移動頂點位置最小化某種能量 1實際上 , 大多數網格光順算法都屬于這類優化 1最 簡單的光順算子是 Laplace 算子v =|N 1(v |v i N 1(v (v i -v 1頂點的新位置由 v new =v +v 迭代式給出 , 其中 是松弛因子 , 一般取值在 013015之

19、間 1由于 Laplace 算子會導致網格收縮 , 為此提出了很多改進 算法 201本文采用 Wood 等的切向投影技術 21(或 稱為重新參數化方法 , 設 n 為頂點 v 的單位外法 向 , 那么 Laplace 增量的切向投影為v -(n v n 1因此 , 幾何優化所用的頂點迭代式為v new =v +(v -(v n n 118116期 李桂清等 :帶尖銳特征的 Loop 細分曲面擬合系統 盡管有很多平滑算法都聲稱能夠保持尖銳特 征 , 但本文并不需要這樣的技術 1由于所有的尖銳 特征都作了標記 , 因此可以采用特殊的迭代式來處 理 1首先 , 尖刺和角點都不移動 ; 對于折痕頂點

20、v , 如果 (v a , v 和 (v , v b 為與 v 相鄰的兩條折痕邊 , 那么 Laplace 算子定義為曲線上的操作v =2 i a , b(v i -v (1類似地 , 邊界頂點也采用式 (1 進行優化 , 以保證邊 界曲線的質量 1拓撲優化 1除幾何優化外 , 本文系統還考慮了兩 種拓撲操作 :(1 刪除入度為 3的頂點 1如圖 3所示 , v 是入度為 3的頂點 , 記它的 3個鄰接三角形的單位外 法向分別為 n 0, n 1和 n 2, 那么可以用 Error (v =1-3(n 0 n 1+n 1 n 2+n 2 n 3 程度 1設定一個小的閾值 >0, 如果 (

21、 <, 那么頂點 v 將被刪除 1, 于光滑頂點 1(2 4, 1交換前后兩 , 且交換后兩個三角形的正 則性應該更好 1具體地 , 對給定閾值 , 應該滿足 :a 1如果交換前兩個三角形的單位外法向分別 為 n 0和 n 1, 那么 1-n 0 n 1<b 1記交換后兩個三角形的單位外法向為 n 0和n 1, 那么 1- n 0n 1< c 1正則性不能變差Re (u 0u 1v 1 +Re (v 0u 1u 0 - Re (v 0v 1u 0 -Re (v 0u 1v 1 >0 1圖 3 刪除入度為 3 的頂點圖 4 邊交換4 重采樣利用第 3節的基網格對原始網格進

22、行重采樣 1為了進行擬合 , 采樣頂點數應比 M FSO 的頂點數多 ,因此采樣之前先用帶尖銳特征的細分模式對 M FSO 作一次細分 1本文系統提供了三種細分方法 :線性 細分 、 帶尖銳特征的蝶形細分 22223和帶尖銳特征的 Loop 細分 241直觀上看用蝶形細分較為合理 :一方 面它插值原頂點 , 因此比 Loop 模式的結果更接近原 網格 M FSO ; 另一方面它生成的新網格的參數化又 比線性細分的好 1按第 2節所得網格為 M 1FSO 1在 簡化過程中 , 我們對 M FS 的每個頂點都保存相關聯 的網格面表 , 用以在采樣過程中縮小尋找最近點的 查找范圍 1M FSO 的每

23、個頂點自然地繼承 M FS 中相應 頂點的面表 , 即對于 M 1FSO 中每個新插入的頂點 (E 2頂點 , 把 M FS 予該新頂點 19115M F 的頂點中 , M R 的頂點在切線方向上 , 使得網格正則性變差 1更嚴重的 , 易導致誤采樣 , 引起三角形面翻轉 1為此 , 本文系統提供了兩種新 的采樣方式 :(1 對 M 1FSO 中的每個頂點 v , 求取它到原始網 格上的最近點 1具體實現時則用頂點 v 到關聯三角 形面表 L F v 構成的子網上的最近距離點來代替 1逐 個求取 v 到子網的每個三角形面的最近點 , 并取其中 距離最小的最近點作為 v 到整個網格上的最近點 1

24、(2 先估計 M 1FSO 中每個頂點的法向 1重采樣 時 , 對 M 1FSO 中的每個頂點 v , 沿 v 的法向引直線與 原始網格 (實現時用 v 的關聯三角形面表 L F v 構成 的子網來代替 求交 1對于出現多個交點的情形 , 取 到 v 距離最近的交點作為采樣點 1若出現求不到交 點的情形 , 則用第一種采樣方式進行彌補 1作為一種選擇 , 本文系統也支持文獻 15中的 近似最近點采樣方法 1需要注意 , 無論哪種采樣方 式 , 為了保持尖銳特征類型的一致性 , 折痕頂點的最 近點應從原網格的折痕邊中求取 ; 邊界頂點的處理 也類似 15 帶尖銳特征的細分曲面擬合511 帶尖銳特

25、征的 Loop 模式本文系統使用文獻 11中所定義的帶尖銳特征 的 Loop 模式 1我們知道 , Loop 細分是定義在三角網 格上的模式 1為完備起見 , 圖 5所示為尖銳 Loop 細分模式的幾何規則 共 7類頂點的模板 , 更詳細的說明可參考文獻 111其中 , 圖 5a 中的權值參數 n =n 8-8+4cos n2, 2811計算機輔助設計與圖形學學報 2005年這里 n 是中心頂點的鄰接頂點數 1圖 6所示為各類 頂點極限位置的計算模板 , 其中n =8 n+n -11圖 5 各類頂點的模板圖 6 各類頂點的極限位置計算模板512 擬合方程我們要求控制網格 M C 與 M FSO

26、 的拓撲結構相 同 1因此 , 對 M C 作一次細分后結果網格 M 1C 的拓 撲結構與 M R 完全相同 1下面用 M C , M 1C 和 M R 來 分別表示由它們的頂點構成的向量 1而 M 1, C 表示 由 M 1C 的頂點在細分曲面中的極限位置構成的向量 1由第 511節中計算 V 2頂點和 E 2頂點細分規則可 知 , 新網格的頂點可以表示為舊網格頂點的線性組合 , 因此存在細分矩陣 S M C , 使得 M 1C =S M C M C 1同樣 , 由于控制網格頂點的極限位置也可表示成控制 網格頂點的線性組合 , 因此存在極限矩陣 L M C , 使得 M 1, C =L M

27、C M 1C 1擬 合 的 最 理 想 情 況 是 M R =M 1, C, 因此可得到如下的線性方程組LM C SM CM C =M R 1這是一個擬合問題 , 可以變換為(L M C S M C T L M C S M C M C =(L M C S M C T M R(2求解式 (2 即可以得到擬合曲面的控制網格 M C 1式 (2 只有當系數矩陣非奇異時才有解 1從我 們做過的幾個實驗來看 , 一般情形下都能得到穩定 的解 16, 在整個處理過程中基網格中的 , 而帶尖銳特征的 Loop 模式又插 值角點 , 因此 M C 中的角點是已知的 , 就是基網格的 角點 1為提高效率 , 求

28、解式 (2 之前應先把角點對應 的方程刪除或分離出來 1在文獻 15中 , 根據未知 量的頂點類型把式 (2 分成了三個獨立的方程組 :角 點對應的方程組 、 其他尖銳特征頂點對應的方程組 和光滑頂點對應的方程組 1事實上 , 除角點外的其 他尖銳特征頂點不能與光滑頂點完全解耦 , 因為尖 刺頂點的極限位置依賴于周圍的光滑頂點 1本文系 統和文獻 15一樣 , 用共軛梯度法求解式 (2 1以 M FS C 的頂點作為迭代初值 1考慮到 L M C 和 S M C 都是 稀疏矩陣但每一行都有非零元素 , 因此本文系統以 稀疏向量集的方式來存儲這些矩陣 2517 實驗結果圖 79所示分別為兩個機械

29、零件和一個人頭的例子 1原始網格和控制頂點的頂點數、 面數 、 折痕 邊數和尖銳頂點數如表 1所示 1三個模型都作了規 一化 , 全部都被縮放到一個最大邊長為 2的長方體 中 1所有圖中的極限曲面是對控制網格作三次細分 再對頂點求極限得到的 1雖然圖 7所示的拓撲比較 復雜 , 但其模型表面相對簡單 , 實際上外表面是平面 和近似圓錐曲面 1圖 8所示的拓撲相對簡單 , 但模 型表面為自由曲面 1而圖 9所示的表面則具有較豐 富的細節 , 為了能夠較好地保持這些特征必須用較 復雜的控制網格 , 因此壓縮比設得相對低些 1表 2所示為采用類似 Metro 26的方法對細分曲面與原 始網格之間所作

30、的誤差估計 138116期 李桂清等 :帶尖銳特征的 Loop 細分曲面擬合系統1184 計算機輔助設計與圖形學學報 2005 年 圖7 Mechpart 模型 圖 8 Fandisk 模型 圖9 Manequin 模型 表1 三個網格模型的復雜度 模型名稱 網格類型 Mechpart Fandisk Manequin MF MC MF MC MF MC 頂點數 7 612 229 6 786 339 6 769 1 016 面數 15 232 466 13 568 674 13 472 2 007 CE CV R ( % 882 211 832 193 504 211 882 211 820

31、 181 536 245 : CE 為折痕邊數 ; CV 為折痕頂點數 ; R 為壓縮比 注 表2 極限曲面與原網格的 Metro 誤差 模型名稱 Mechpart Fandisk Manequin 最大誤差 01037 4 01028 3 01025 6 最小誤差 01000 0 01000 0 01000 0 平均誤差 01007 3 01007 2 01005 1 平方誤差 01005 6 01004 3 01002 9 圖 10 12 對本文系統生成的上述三個模型的 結果與文獻 15 中的相應結果進行了比較1 三個例 子中本文所使用的控制網格都比文獻 15 中的多1 一般情況下 ,控制

32、頂點多可以更好地捕捉模型的細 節 ,但曲面的光順性會更難控制1 從圖 10 a ,10 c 來 9711 9511 8510 看 ,像機械零件 Mechpart 這樣簡單的表面 , 從視覺 上看本文生成的方法是比較光順的 , 而文獻 15 結 果中的柱面發生了嚴重變形1 文獻 15 中的 Fan2 disk 自由表面產生嚴重的折皺 ( 如圖 11 c 所示 , 而 本文 結 果 未 出 現 這 種 現 象 ( 如 圖 11 a 所 示 1 Manequin 模型有著豐富的細節特征 , 本文生成的曲 面不但很好地保持了眼睛 、 耳朵和嘴角等處的細節 ( 如圖 12 a 所示 , 而且曲面質量 (

33、 光順性 也比 特征 文獻 15 中 ( 如圖 12 c 所示 的要好1 三個例子中的 中間那個圖都是原始網格模型1 三個例子中進行優 化時 ,松弛因子 分別為 015 ,013 和 0151 圖 10 Mechpart : 本文結果與文獻 15 結果比較 圖 11 Fandisk : 本文結果與文獻 15 結果比較 圖 12 Manequin : 本文結果與文獻 15 結果比較 8 結 論 本文討論了一個基于文獻 15 中提出的細分曲 面擬合算法的細分曲面重構系統1 對算法的各個環 節都作了多方面的改進1 首先是引入了幾何優化技 術 ,使得控制網格更為正則 ; 其次采用頂點法線與原 網格求交

34、的方法進行重采樣 , 比文獻 15 中的求最 近頂點方法更準確 、 也更容易避免誤采樣1 從文中 6期 李桂清等 : 帶尖銳特征的 Loop 細分曲面擬合系統 16 1185 例子可以看到 ,本文生成的結果質量有了顯著提高1 將來的工作可以對系統作進一步的優化 , 以提高運 行速度 ,從而能處理更大規模的網格1 此外 , 目前只 能對誤差做事后估計1 雖然可以通過增加基網格頂 點減小誤差 ,但有必要尋找自動控制策略1 參 考 文 獻 1 Doo D , Sabin M1 Behaviour of recursive division surfaces near Graphics Forum ,

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