1、插值法的應用與比較 信科1302 萬賢浩 132710381格朗日插值法在數值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項式插值方法.許多實際問題中都用函數來表示某種內在聯系或規律，而不少函數都只能通過實驗和觀測來了解.如對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值.這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式.數學上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數.拉格朗日插值法最早被英國數學家愛德華·華林于1779

2、年發現，不久后由萊昂哈德·歐拉再次發現.1795年，拉格朗日在其著作師范學校數學基礎教程中發表了這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯系在一起.1.1拉格朗日插值多項式圖1已知平面上四個點：(9, 5), (4, 2), (1, 2), (7, 9)，拉格朗日多項式：（黑色）穿過所有點.而每個基本多項式：, 以及各穿過對應的一點，并在其它的三個點的值上取零.對于給定的若個點,，對應于它們的次數不超過的拉格朗日多項式只有一個.如果計入次數更高的多項式，則有無窮個，因為所有與相差的多項式都滿足條件.對某個多項式函數，已知有給定的個取值點：,其中對應著自變量的位置，而對應著函數在這個位置

3、的取值.假設任意兩個不同的都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：，其中每個為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數），其表達式為：，拉格朗日基本多項式的特點是在上取值為1，在其它的點， 上取值為0.例：設有某個多項式函數，已知它在三個點上的取值為：· ，· ，· ，要求的值.首先寫出每個拉格朗日基本多項式：；然后應用拉格朗日插值法，就可以得到的表達式（為函數的插值函數）：，此時數值就可以求出所需之值：.1.2插值多項式的存在性與唯一性 存在性對于給定的個點：拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點取值為，而在其他點取值都是的多項式.這樣，多項式

4、在點取值為，而在其他點取值都是.而多項式就可以滿足，在其它點取值為的多項式容易找到，例如：，它在點取值為：.由于已經假定兩兩互不相同，因此上面的取值不等于.于是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足“在取值為，而在其他點取值都是的多項式”：，這就是拉格朗日基本多項式.唯一性次數不超過的拉格朗日多項式至多只有一個，因為對任意兩個次數不超過的拉格朗日多項式：和，它們的差在所有個點上取值都是,因此必然是多項式的倍數.因此，如果這個差不等于，次數就一定不小于.但是是兩個次數不超過的多項式之差，它的次數也不超過，所以也就是說.這樣就證明了唯一性.1.3性質拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項式（由某一

5、組 確定）可以看做是由次數不超過的多項式所組成的線性空間：的一組基底.首先，如果存在一組系數：使得，那么，一方面多項式是滿足的拉格朗日插值多項式，另一方面是零多項式，所以取值永遠是.所以，這證明了 是線性無關的.同時它一共包含個多項式，恰好等于的維數.所以 構成了 的一組基底.拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的（都是次多項式）.1.4優點與缺點拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少一個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣.這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替.此外，當插值點比較

6、多的時候，拉格朗日插值多項式的次數可能會很高，因此具有數值不穩定的特點，也就是說盡管在已知的幾個點取到給定的數值，但在附近卻會和“實際上”的值之間有很大的偏差.這類現象也被稱為龍格現象，解決的辦法是分段用較低次數的插值多項式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進.在拉格朗日插值法中，運用多項式，圖（2）拉格朗日插值法的數值穩定性：如圖(2)，用于模擬一個十分平穩的函數時，插值多項式的取值可能會突然出現一個大的偏差（圖中的14至15中間）可以將拉格朗日基本多項式重新寫為：，定義重心權，上面的表達式可以簡化為：，于是拉格朗日插值多項式變為： ， （1）即所謂的重心拉格

7、朗日插值公式（第一型）或改進拉格朗日插值公式.它的優點是當插值點的個數增加一個時，將每個都除以，就可以得到新的重心權，計算復雜度為，比重新計算每個基本多項式所需要的復雜度降了一個量級.將以上的拉格朗日插值多項式用來對函數插值，可以得到：，因為是一個多項式.因此，將除以后可得到：， （2）這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它繼承了（1）式容易計算的特點，并且在代入值計算的時候不必計算多項式它的另一個優點是，結合切比雪夫節點進行插值的話，可以很好地模擬給定的函數，使得插值點個數趨于無窮時，最大偏差趨于零.同時，重心拉格朗日插值結合切比雪夫節點進行插值可以達到

8、極佳的數值穩定性.第一型拉格朗日插值是向后穩定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩定的，并且勒貝格常數很小.3.分段線性插值對于分段線性插值，我們看一下下面的情況.3.1問題的重訴 已知,用分段線性插值法求插值，繪出插值結果圖形，并觀察插值誤差.1.在-6，6中平均選取5個點作插值；2.在-6，6中平均選取11個點作插值；3.在-6，6中平均選取21個點作插值；4.在-6，6中平均選取41個點作插值.3.2問題的分析在數值計算中，已知數據通常是離散的，如果要得到這些離散點以外的其他點的函數值，就需要根據這些已知數據進行插值.而本題只提供了取樣點和原函數.分析問題求解方法如下：（1）利用已知函數式計

9、算取樣點對應的函數值；將作為兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值.因此被插值函數是一個單變量函數，可利用一維插值處理該數據插值問題.一維插值采用的方法通常有拉格朗日多項式插值（本題采用3次多項式插值），3次樣條插值法和分段線性插值.（2）分別利用以上插值方法求插值.以0.5個單位為步長劃分區間-6，6，并將每一點作為插值函數的取樣點.再根據插值函數計算所選取樣點的函數值.最后再利用所得函數值畫出相應的函數圖象，并與原函數的圖象進行對比.3.3問題的假設 為了解決上述分析所提到的問題，本題可以作出如下假設：（1）假設原函數僅作為求解取樣點對應的樣點值的函數關系式.而其他各點的函數值都是未知

10、量，敘用插值函數計算. （2）為了得到理想的對比函數圖象，假設為已知的標準函數.可以選取0.5個單位為步長劃分區間-6，6，分別計算插值函數和標準函數在該區間的取樣點的函數值.畫出函數圖象進行對比. 3.4分段線性插值原理給定區間, 將其分割成，已知函數在這些插值結點的函數值為；求一個分段函數,使其滿足： (1) ，； (2) 在每個區間上, 是個一次函數.易知,是個折線函數, 在每個區間上,于是, 在上是連續的，但其一階導數是不連續的.于是即可得到如下分段線性插值函數：,其中 3.5問題的求解在MATLAB中實現分段線性插值，最近點插值，3次多項式插值，3次樣條插值的命令為interp1,其

11、調用格式為: 1=interp1(,1，method)函數根據,的值，計算函數在1處的值.,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值，1是一個向量或標量，描述欲插值點，1是一個與1等長的插值結果.method是插值方法，包括：linear：分段線性插值.它是把與插值點靠近的兩個數據點用直線連接，然后在直線讓選取對應插值點的數.nearest：近點插值法.根據已知兩點間的插值點與這兩點間的位置遠近插值.當插值點距離前點遠時,取前點的值,否則取后點的值.cubic：3次多項式插值.根據已知數據求出一個3次多項式，然后根據多項式進行插值.spline：3次樣條插值.在每個分段（子區間）內構造一

12、個3次多項式，使其插值函數除滿足插值條件外，還要求個節點處具有光滑條件.再根據已知數據求出樣條函數后,按照樣條函數插值.運用Matlab工具軟件編寫代碼，并分別畫出圖形如下：(一)在-6，6中平均選取5個點作插值：（二）在-6，6中平均選取11個點作插值：（三）在-6，6中平均選取21個點作插值：（四）在-6，6中平均選取41個點作插值3.6 分段插值方法的優劣性分析從以上對比函數圖象可以看出，分段線性插值其總體光滑程度不夠.在數學上，光滑程度的定量描述是函數(曲線) 的階導數存在且連續，則稱該曲線具有階光滑性.一般情況下，階數越高光滑程度越好.分段線性插值具有零階光滑性，也就是不光滑.3次樣條插值就是較低次數的多項式而達到較高階光滑性的方法.總體上分段線性插值具有