1、一、單項選擇題（每小題3分，共15分）和3.141分別作為的近似數具有（）和（）位有效數字A . 4 和 3B .3和2C . 3 和 4D .4和42121fx dxf 1Af()-f(2)2.已知求積公式1636，則 A =()1112A .6 B .3C .2D .33.通過點Xo, y°x1,y1的拉格朗日插值基函數lo x ,h x滿足（B.1o X = 0, 11 XC.1o xo1,11 X11o xo4.設求方程f x o的根的牛頓法收斂，則它具有（）斂速A .超線性 B .平方 C.線性D .三次為2x2x3o2x1 2x2 3x335.用列主元消元法解線性方程組x

2、- 3x22作第一次消元后得到的第3個方程（）AX2X322x2 1.5x33.5C2 x2x33D x2 o.5x31.5單項選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分評卷人二、填空題（每小題3分，共15分）1.設 X (2,3, 4)：則 |X 11IIX |22. 一階均差f Xo,Xl3.已知n3時，科茨系數Co38，C1333C28，那么C334.因為方程 內有根。0在區間1,2上滿足，所以f x 0在區間5.取步長h 0.1，用歐拉法解初值問題_y_2x1 1的計算公式1.已知函數1210 50 2三、計算題（每題15分，共60 分）121 x的一組數據:f 15段線性插值函數

3、，并計算 f的近似值.填空題答案f x0f人1.9和、.292.X。x13.84.f 1 f2 00.1yk1 yk1.121 0.1k,k 0,1,2L5.yo1得 分評卷人計算題1.答案1.0,1%x 汙 1 汗。5 1 O5Xx 1,2%x0.50.20.3x 0.8所以分段線性插值函數為n/ 1 0.5x x 0,1 %x0.8 0.3x x 1,2%1.50.8 0.3 1.50.3510x1 x2 2x37.2x 10x2 2x38.32.已知線性方程組為x2 5x3 4.2(1)寫出雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式;對于初始值X00,0,0，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代

4、公、夕1式分別計算X(保留小數點后五位數字)計算題2.答案1. 解原方程組同解變形為x10.1x20.2x3 0.72x20.1為 0.2x3 0.83x30.2人 0.2x20.84x2m 10.1x0.2x3m0.83X3m10.2x0.2X2“ 0.84 g 0,1.)高斯-塞德爾迭代法公式m 1X10.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m 10.2x3m0.83m 1X30.2x1m 10.2x2m1°84 (m 0,1.)X 1用雅可比迭代公式得入0.720 00,0.830 00,0.840 00用高斯-塞德爾迭代公式得1X0.720 00,0.902 00

5、,1.164 403用牛頓法求方程x3 3x 10在1,2之間的近似根(1 )請指出為什么初值應取2?(2 )請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計算題3.答案3.解 f Xx3 3x3x212x24 0，故取x 2作初始值迭代公式為xnXn1Xn 1Xn13Xn 1x0X2X1X3方程的根XXn 12 33322 13xn 13xn 11.888890.00944 0.00011.879453 131.87 9 452 11.87939X21.87939吟1 )3 Xi 112 1.888893X2n 1,2,1一 1.879451.888892 10.00006 0.00014.寫出

6、梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分計算題4.答案得 分評卷人四、證明題（本題 10分）確定下列求積公式中的待定系數，并證明確定后的求積公式具有3次代數精確度bf解梯形公式ax dx應用梯形公式得1 1dx01 x1 12r_o彳°.75bf辛卜生公式為ax dx4f(a-b) f b 2應用辛卜生公式得dx01 xi oT【f4f(!6/o1112536hf x dx A1 f h Aof 0Ai f hh證明題答案2證明：求積公式中含有三個待定系數，即A1,A0,A，將f X 1,x,x分別代入求積公式,并令其左右相等，得A1 A A2hh(A1A)0h2(A1A)2 3 h

7、33A 得1 A1 u八 4hhA03 ，3。所求公式至少有兩次代數精確度。又由于h x3dxhh3dxh4x dx-f 0h具有三次代數精確度。填空(共20分，每題2 分)1. 設X殳3149541，取5位有效數字，則所得的近似值x=f XX22. 設一階差商fX2，X3f X3f x2則二階差商X3X2為，X2,X33. 設 X(2, 3, 1)T,則 Mb _，|X|_。X014. 求方程x2x1-250的近似根，用迭代公式x x1-25，取初始值那么X1 °y' f(x,y)5解初始值問題y(Xo) y°近似解的梯形公式是yk 1 °1 1A6、5

8、 1 ，則A的譜半徑廠 =°7、設f (x) 3x2 5, Xkkh, k 0,1,2, 則Xi , X n 1, Xn 2fXn , Xn 1, Xn 2 , Xn 38、若線性代數方程組 AX=b的系數矩陣A為嚴格對角占優陣，則雅可比迭代和高斯 塞德爾迭代都。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為y 1010、為了使計算2(x 1)23（X的乘除法運算次數盡量的少，應將表達式改寫成填空題答案1、2.31502、3、4、5、6、7、10、fX1,X2,X3fX2,X3f26和141.5hyk 2 f Xk,yk(A)6f Xn,Xn 1, Xn 2y 10

9、1x 1X3X1f Xk 1,yk 13, f xn , Xn 1, Xn 2 , Xn(x11)2(x31)5-32n116收斂9、 h、計算題（共75分，每題15 分）（1）試求x03 一 2XX11- 49-41 94 4上的三次Hermite插值多項式X使滿足H(Xj) f(Xj), j 0,1,2,. H (xj f (xj以升冪形式給出（2）寫出余項R（x） f（x） H（x）的表達式計算題1.答案143263 22331x x x x 1,( 1)225450450251 94!1652(x29x 1) (x 4)，(x)4,4)個收斂的2 已知“対的妙滿足一耳試問如何利用吩）構

10、造 簡單迭代函數 ? ' -，使'0, 1收斂?計算題2.答案12、由 x (x)，可得 x 3x (x) 3x, x 2( (x) 3x)(x)因（X）2(x) 3),故(x)2(“ -3I 寸 1故xk 1(xk)1 (xk) 3Xk , k=0,1,.收斂。23. 試確定常數A, B, C和a,使得數值積分公式匸了如曲型（一十型® +03）Gauss 型有盡可能高的代數精度。 試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為 的？計算題3.答案3、10 16,B ,a' 5 ,該數值求積公式具有5次代數精確度，它是 Gauss型的y' f(x,y)

11、4. 推導常微分方程的初值問題y(Xo) %的數值解公式:h '''yn 1 yn 13(yn 1 4n Yn 1)(提示：利用Simpson求積公式。) 計算題4.答案4、數值積分方法構造該數值解公式：對方程f (x)在區間人1,xn 1上積分,xn 1y(xn得1)y(Xn1)f (x, y(x)dx，記步長為h,xn 1對積分X,X,f (x,y(x)dx用Simpson求積公式得xn 1f (x,y(x)dxxn 12hh '''Tf(xn1) 4恨)g)3(yn1山所以得數值解公式:hyn1 yn1 3(yn1X12x23x3142x-

12、i5x22X3185.利用矩陣的LU分解法解方程組 3x1x5X320計算題5.答案1123ALU21145、解：35 124令Lyb得y(14,10, 72)t,Uxy 得 x (1,2,3)t三、證明題 (5分)1設71 ，證明解 小一：的Newt on迭代公式是線性收斂的證明題答案1、證明：因Xn 1 X,f(x) (X3f(Xn) ,nf (Xn)(Xn a)廠3a)2,故 f (x) 6x2(x0,1,得5xna 一,n 6x；（x3 a） 66Xn5 a因迭達函數（x） 5x a2,而6 6x又x 百則（詬）-a（ya）:63故此迭達公式是線性收斂的。Xn 1 X,0,1,.(X)

13、5613a）,由Newton迭達公式：a 33X ,1 0,2一、填空題（20分）（1）.設X* 2.40315是真值x 2.40194的近似值，則x*有位有效數字。（2）.對 f（x） x3 x 1,差商 fl。,1,2,3】（）。（3）.設 X（2, 3,7）t,則 |X|1_。nC（n）（4）.牛頓一柯特斯求積公式的系數和k0 。填空題答案（1）3（ 2）1（ 3）7（ 4）1二、計算題1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多項式L2（x）計算sin 0.34的值。 插值節點和相應的函數值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40, 0.3894）。計算題1.答案(xXi

14、)(XX2)(XXo)(XX2)£ (xXo)(xxjL2(X) fo fl (XoXi)(XoX2)(XiXo)(XiX2)(X2Xo)(X2Xi)1) =0.33333632）. （15分）用二分法求方程f（x）x x 1 0在口.0,1®區間內的一個2根，誤差限 10。計算題2.答案N 6X1 1.25X2 1.375X3 1.31252) x41.34375 x51.328125 程 1.32031254x1 2x2 x311X1 4x2 2x3183) .( 15分)用高斯-塞德爾方法解方程組2x1 X2 5X3 22，取x(0) (0,0,0)T，迭代三次(要求

15、按五位有效數字計算).。計算題3.答案3）迭代公式x1k1)!(11 2x2k) x3k)4(k3x2k 1)1(18 x1k 1) 2x3k)41)k疔）000012.753.81252.537520.209383 17853.680530240432.5SS73.18394）.（ 15分）求系數A1，A2和民，使求積公式2的一切多項式都精確成立11f(x)dx Af( 1) A2f() A3f ()對于次數33計算題4.答案精彩文檔1111 2A1 A2A32A3A23A30 A9A3-9313A2A0A24)3x12X210X31510x14x2X355).(10分)對方程組2x110X

16、24X38試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題5.答案5)解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優10務 4x2 x352x110x2 4x383x1 2x2 10x315故對應的高斯一塞德爾迭代法收斂迭代格式為xj (4x2k) x3k)5)10x2k 1)1( 2x1k 1)4x3k)8)10x3k。丄(3才 “ 2x2k1)15)10取x(°)(0,0,0)T，經7步迭代可得：x*x(7) (0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T三、簡答題1)(5分)在你學過的線性方程組的解法中，你最喜歡那一種方法，為什么？2） （

17、5分）先敘述Gauss求積公式，再闡述為什么要引入它、填空題（20分）1.若a=2.42315是2.42247的近似值，貝U a有（）位有效數字.2. 2 3 lo（x）, li（x）, ,ln（x）是以o,1，,n為插值節點的Lagrange插值基函數，則nili（x）i 0（）.3.設f （x）可微，貝U求方程x f（x）的牛頓迭代格式是（）.（k 1）（k）4.迭代公式X BX f收斂的充要條件是 5.解線性方程組Ax=b （其中A非奇異，b不為0）的迭代格式x9x1 x28（k1） Bx（k）中的B稱為（）.給定方程組x1 5x24，解此方程組的雅可比迭代格式為（）。填空題答案Xn f

18、(xn)4.(B) 15.迭代矩陣,得 分評卷人k 1%1評x2k)k 1X215(4x1k)、判斷題（共10 分）1. 若 f(a)f(b)0，則 f(x) 0 在(a,b)內一定有根。()2. 區間a,b上的三次樣條函數是一個次數不超過三次的多項式。()3. 若方陣A的譜半徑(A) 1，則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。()n4. 若f (x)與g (x)都是n次多項式，且在n+1個互異點Xii 0上f (xj g(Xi)，貝y f (x) g(x)。()1 2x xx5.2 近似表示e產生舍入誤差判斷題答案1. x 2. x 3. x 4. V5. x得 分評卷人三、計算題(7

19、0分)1. (10分)已知f(0) = 1, f(3)= 2.4，f=5.2，求過這三點的二次插值基函數l1(X)=()，f0,3,4=(),插值多項式P2(x)=(計算題1.答案),用三點式求得f (4)().由插值公式可求得它們分別為:3x(x 勺,17x 7x(x 3),和 20315126(2)2x 3 3x 1.2,(x)(3x1.2) maxx (0,2)1(x)121.231, xn 13 3xn 1.2收斂f '(x)3x2 3,xn 1xn(3)x3 3x 1.23x； 31) 求方程的一個含正根的區間;2) 給出在有根區間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3) 給

20、出在有根區間的Newton迭代法公式。計算題2.答案.(1) f(°)1.20 , f(2)1.80又f (x)連續故在(0,2)內有一個正根13.( 15分)確定求積公式1f(x)dx Af( 0.5) Bf(x1)Cf(0.5)的待定參數, 使其代數精度盡量高，并確定其代數精度.計算題3.答案.假設公式對f (x)1,x,x2 ,x3精確成立則有0.5A Bx10.5C020.25ABx20.25C30.125ABx；0.125C0A Cif (x)dx求積公式為2f (0) 4f (0.5),當f (x) x4時,2 1 、左邊-右邊-左邊右邊 代數精度為356y 3x 2y

21、0 x 14. ( 15分)設初值問題y(°)1.(1) 寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式；(2) 寫出用改進的Euler法(梯形法)、步長h=0.2解上述初值問題數值解的公式，并求解，保留兩位小數。計算題4答案4.(1) yn 1yn 0.1(3xn2yn)0.3xn1.2yn0.2 yn 1 yn(3xn22yn)3(Xn0.2) 2yn 1=yn0.1(6Xn 2yn2yn10.6)333yn 1_ ynXn24403336333迭達得y11.575, y22.5852402404 0.2405.（ 15分）取節點X。0, Xl 0.5, X21，

22、求函數y e X在區間0，1上的二次插值多項式P2（x），并估計誤差。計算題5.答案0.5P2(x)0.51(x00)10.50.5/e e e 110.50.50(x 0)( x 0.5)1 00.5=1+2(e1)x2(e12e 0.5''Xye ,M3IImax y1©x 0,11)x(x0.5)p2(x) f ( ) x(x 0.5)(x1)3!0 x 竹寸 F P2(x)| lx(x 0.5)(x1)l、填空題（每題4分，共20分）1、數值計算中主要研究的誤差有 和2、設lj(x)(j 0,1,2L n)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數，則Ij(Xi)(

23、i, j0,1,2L n)；7lj(x)j 03、設lj(x)(j0,1,2L n)是區間a，b上的一組n次插值基函數。則插值型求積公式的代數精度為 ;插值型求積公式中求積系數 Aj ;且nAjj 04、辛普生求積公式具有次代數精度，其余項表達式 為。25、f(x) x 1,則 f1,2,3, f1,2,3,4填空題答案1.相對誤差絕對誤差1, ij,2. 0, ij3.至少是nbk(x)dxb-a4. 3b a (b180 (5. 10二、計算題1、已知函數y f(x)的相關數據201230123X =怎）13927>3 p 1由牛頓插值公式求三次插值多項式 p5（x），并計算3 P（2）的近似值計算題i答案4 3P3(x) N3(x)3x33P3(1) 4(1)323 22x22(2)28 彳x 1,38 1 ()123 2解：差商表IfMf【心鬲zlf 兀n 41)Aj+2 卞he .a01132229623327864口由牛頓插值公式:2、（ 10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長 h OH，yy x 1,x