1、實驗-FFT頻譜分析作者: 日期:實驗4 FFT頻譜分析一、實驗目的FFT分析離散和應用離散傅里葉變換的快速算法FFT分析信號的頻譜。深刻理解應用連續信號的原理，掌握分析過程中出現的現象及解決方法。二、實驗原理1.離散周期信號頻譜的分析11周期為N的離散信號(序列)x(k)的頻譜函數X(m)定義為:X(m)N 1x(k)ek 0jLmkNN 1x(k)WNkmk 0m為離散的頻率變量；2m/N是次諧波的式中：N是序列的周期；k為離散的時間變量; 數字頻率。離散周期信號的頻譜X (m)也是周期為N的離散譜，譜線間隔為2 /N。利用MATLAB提供的fft函數可以計算離散周期信號的頻譜。對于離散周

2、期序列，只需對周期序列上一個周期內的數值 x(k)進行N點的FFT運算，就可準確地得到其頻譜在一個周期上的N個數值X(m)，且有X(m) X(m)，m 0, N 1。其分析步驟如下。(1)確定離散周期序列 x(k)的基本周期為N 。利用fft函數對序列x(k) 一個周期內進行 N點FFT計算，得到X(m)。X(m) X(m)。2.離散非周期信號頻譜的分析離散非周期信號x(k)的頻譜函數X(ej )為：X(ej ) x(k)e jk 。k利用MATLAB提供的fft函數可以計算離散非周期信號的頻譜。當序列長度有限時, 可以求得準確的序列頻譜 X(ej )的樣點值。若序列很長或無限長時，則由于截短

3、產生泄漏誤差，計算的結果只能是序列頻譜X(ej )樣點值的近似。分析步驟如下。(1)確定序列x(k)的長度M及窗函數的類型。當序列為無限長時，需要根據能量分布,利用窗函數進行截短。(2)確定做FFT的點數N。根據頻域采樣定理，為使時域波形不產生混疊， 必須取NMo使用fft函數做N點FFT以計算X(m)。3.連續周期信號頻譜的分析周期為To的連續時間信號x(t)的頻譜函數X(n 0)定義為:X(n 0)T01：ox(t)e jn otdt式中：T0是信號的周期；022 f0稱為信號的基頻(基波);n 0稱為信號的諧頻。To連續周期信號的頻譜 X(no)是非周期離散譜，譜線間隔為0。連續周期信號

4、的 DFT分析方法增加了時域采樣的環節。 連續周期信號的分析步驟如下。如果不滿足采樣定理的約束條件，將會出現頻譜混疊現象。(1)確定周期信號的基本周期T0 °(2)計算一個周期內的采樣點數N。(3)對連續周期信號以采樣間隔T進行采樣，T N ° 使用fft函數對x(k)作N點FFT用以計算X(m)o1(5)最后求得連續周期信號的頻譜X(n o-X(m)，其中利用了下面的轉換關N系: t KT , To NT , dt T , G°0 k 0若能夠按照滿足采樣定理的采樣間隔采樣，并選取整周期為信號允許長度，則利用DFT計算得到的離散頻譜值等于原連續周期信號離散頻譜X

5、(n o)的準確值。4.連續非周期信號頻譜的分析連續時間非周期信號 x(t)的頻譜函數X(j )是連續譜，其定義如下:X(j ) x(t)e j tdt連續非周期信號的分析步驟如下:(1)根據時域采樣定理，確定時域采樣間隔T,得到離散序列x(k) °確定信號截短的長M及窗函數的類型，得到有限長M點離散序列XM(k)x(k)w(k) °確定頻域采樣點數 N,要求NM°使用fft函數做N點FFT計算得到N點的X(m) °2 Tx(m), nNT由X(m)可得到連續信號的頻譜 X(j )采樣點的近似值 X(j其中利用了轉換關系：t KT，dt T，三、實驗內容

6、與方法1.離散周期信號頻譜的分析【例4-1】已知一個周期序列 x(k)sin(k -) 0.5cos( k)，用fft函數計算其頻16 6 16譜。MATLAB 程序如下：N=32; k=0:N-1;x=si n(p i*k/16+pi/6)+0.5*cos(7* pi *k/16);xk=fft(x,N);sub plot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(xk);axis(-16,16,0,20);xlabel(瀕譜特性');ylabel('幅度'); set(gca,'XTickMode','ma nu al&#

7、39;,'XTick',-16,-7,-1,0,1,7,16); sub plot(2,1,2);stem(k-N/2,a ngle(fftshift(xk);axis(-16,16,-4,4);xlabel(瀕譜特性');ylabel('相位'); set(gca,'XTickMode','ma nu al','XTick',-16,-7,-1,0,1,7,16); set(gcf,'color','w');程序運行結果如圖4.1所示。2015100-16-7-1 0 1頻

8、譜特性16圖4.1周期序列的幅度譜和相位譜2.離散非周期信號頻譜的分析【例4-2】利用fft函數分析序列x(k) 0.7ku(k)的頻譜。經過分析，可以得知信號為無限長，因此需要對其進行截短。該序列單調遞減, 當k >32時，序列已幾乎衰減為0,因此只取序列在0,32上的數值進行分析。MATLAB 程序如下：k=0：32；x=0.8.Ak;sub plot(2,1,1);stem(k,x);titleC時域波形');sub pl ot(2,1,2);w=k-15;p lot(w,abs(fftshift(fft(x); xlabel(瀕譜特性');ylabel('

9、幅度值'); set(gcf,'color','w');程序運行結果如圖4.2所示。時域波形0.8 0.6 0.40.2101520253035值度幅0 -15-10-505頻譜特性101520圖4.2非周期信號的時域波形及其幅度頻譜2sin(0.2 t) 5cos(5 t)。m 5 rad / s，因此采樣周期必須小于原始數據3.連續周期信號頻譜的分析【例4-3】利用fft函數求解周期信號x(t)經過分析可以得知，信號的最高頻率是/ m 0.2，則任選 T=0.02s, N=50。 MATLAB 程序如下：T=0.02;N1=50; n1=1:N1;D

10、1=2* pi/(N1*T);%頻率分辨率x1=2*si n(0.2* pi*n 1*T)-5*cos(5* pi*n 1*T); X1=T*fftshift(fft(x1);%求x的FFT，移到對稱位置 k1=floor(-(N1-1)/2:(N1-1)/2);N2=1000; n2=1:N2; % 原始數據D2=2* pi/(N2*T);% 頻率分辨率x2=2*si n(0.2* pi* n2*T)-5*cos(5* pi* n2*T); X2=T*fftshift(fft(x2);%求x的FFT，移到對稱位置 k2=floor(-(N2-1)/2:(N2-1)/2);sub plot(2

11、,1,1); plot(k1*D1,abs(X1);xlabel('Omega');ylabel('|X(Omega)|');title('(a)N=50'); axis(-200,200,0,2);sub plot(2,1,2); plot(k2*D2,abs(X2);xlabel('Omega');ylabel('|X(Omega)|');title('(b)N=1000'); axis(-20,20,0,60);set(gcf,'color','w');程序運行

12、結果如圖 4.3所示。從圖中可以看出，當N=50時分辨率太小，只看到3個尖 峰；當N=1000時，分辨率加大，則顯示出有 4個尖峰。同時可以看出，當把 N加倍時，其 高度也大體上加倍。(a)N=501.50.50-200-150-100-5050100150200圖4.3正余弦周期信號的頻譜4.連續非周期信號頻譜的分析【例4-4】利用fft函數分析x(t)0.05tu(t)的頻譜。MATLAB程序如下：各次計算擬采用的 各次計算擬采用的 循環計算4次 根據計算順序選用T,編成向量 TOL,編成向量 L0T0=2,1,0.1,0.1;%L0=10,10,20,40; % for r=1:4%T=

13、T0(r);N=L0(r)/T0(r);%D=2* pi/(N*T);%頻率分辨率n=0:N-1;x=ex p(-0.05* n*T); %給出樣本序列X=T*fftshift(fft(x); % 求 x 的 FFT，移到對稱位置 k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);% 奈奎斯特頻率下標r,X(1)% 顯示奈奎斯特邊界處的頻譜 Xsubplot(2,2,r),plot(k*D,abs(X)% 在位置 r 處繪圖set(gca,'Xtick',卜 pi/T,-0.5* pi/T,0.5* pi/T, pi /T),grid on set(gcf,'colo

14、r','w') %置圖形背景色為白色 xlabel('Omega'),ylabel('|X(Omega)|') switch r% 用switch語句寫子圖標題case 1, title('T=2,N=5') case 2, title('T=1,N=1O') case 3, title('T=0.1,N=200') case 4, title('T=O.1,N=4OO') otherwiseendaxis(-3,3,0,20)%統一坐標，以便比較endset(gcf,'color','w');程序運行結果如圖 4.4所示。20T=1,N=10120-151h1I1*11-J111L|X 101- 111 "11r-11111 '1151L'0二T=0.1,N=200T=0.1,N=400151050圖4.4取不同采樣周期 T和數據長度L=T *N對頻譜計算的影響四、程序設計實驗編寫程序，進一步驗證如何利用fft函數來分析x(t) e 2tu(t)的頻譜。五、實驗預習要求(1)預習實驗原理。熟悉實驗程序。思考程序設計實驗部分程序的編寫。六、實驗報告要求(1) 中。MATLAB 中輸入程序，驗證實驗結果，并