1、菁優網虛數數學組卷專題訓練一.解答題(共22小題)1 . (2011?上海)已知復數 zi滿足(zi - 2) (1+i) =1 - i (i為虛數單位)，復數z2的虛部為2,且zi?z2是實數，求Z2.2 . (2005?上海)在復數范圍內，求方程|z|2+ (z+z) i=1 - i (i為虛數單位)的解.3 .設虛數z滿足|2z+15尸/£+10.(1)計算憶|的值；(2)是否存在實數a,使工:2例？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.a z4 .已知 z2=3+4i,求 z36z+a的值.5 .當 x 取何值時，復數 z= (x2+x-2) i+ (x2+3x+2) i(

2、1)是實數？(2)是純虛數？(3)對應的點在第四象限？6 .已知復數 z= (2m2+3m-2) + (m2+m-2) i, (m CR)根據下列條件，求 m值.(1) z是實數；(2) z是虛數；(3) z是純虛數；(4) z=0.7 .已知z1, z2是實系數一元二次方程：x2+px+q=0的兩個虛根，且 z1, z2滿足方程：2z1+iz2=1-i,求p, q的值.8 .已知復數z滿足z J E R,又|z-1|+|z-3|=4,求復數z.9 .設復數 z=lg (m2-2m-2) + (m2+3m+2) i .(I )若z是純虛數，求實數 m的值；(n )若z是實數，求實數 m的值；(

3、出)若z對應的點位于復平面的第二象限，求實數 m的取值范圍.10 .已知復數z滿足|z-2i| -3|+|z-2i| -3=0,求z在復平面上對應的點組成圖形的面積.11 .已知復蓼z=1 - i.復數z的共軻復數為 工；(1)若sz+z=y,求實數x, y的值；(2)若(a+i) ?z是純虛數，求實數 a的值.12 .已知復數2-i是實系數一元二次方程x2+bx+c=0的一個根,(1)求b, c值；(2)若向量正(心七)入和t使得口加短用 (R2 -皿 2)+(宗也)1.日由用的力、日4擊點用13 . 已知復數 z= (mCR, i是虛數單位)是純虛數.Hi(1)求m的值；(2)若復數w ,

4、滿足|w-z|=1,求|w|的最大值.14 .已知復數Z=1+i(1)求 w=z2+34 - 4及1w|的值;(2)如果Z2+aZ+b於-2+1a, b.15 .設復數z滿足4z+2 z=3/3+i, w=sin 0- icos 0,求z的值和憶-co|的取值范圍.16 .已知復數 z=m2(1+i) - m (3+i) - 6i,(I)當實數m為何值時，z為純虛數？(n )當實數m為何值時，z對應點在第三象限？17 .課本在介紹 產=-1的幾何意義”中講到：將復平面上的向量乘以i就是沿逆時針方向旋轉 90。，那么乘以-是沿順時針方向旋轉 90。，做以下填空：已知復平面上的向量 屈、而分別對應

5、復數3-i、- 2+i,則向量而j對應的復數為 那么，以線段 MN為一邊作兩個正方形MNQP和MNQ , P,則點P、Q對應的復數分別為 點P、Q,對應的復數分別為18.設復數z=241,若 z2+az+b=1+i ,求實數 a,b的值.19.設五是虛數,(二工+ ；是實數,且-14五(1)求憶1|的值以及z1的實部的取值范圍；(2)若。=求證：3為純虛數.1+Z|20.已知復數z=m (m-1) + (m2+2m-3) i,當實數 m取什么值時，復數 z是: (1)零；(2)純虛數；(3) z=2+5i; (4)表示復數z對應的點在第四象限.21.實數m分別取什么數值時？復數 z= (m2+

6、5m+6) + (m2-2m-15) i(1)與復數12+16i互為共軻復數；(2)對應的點在x軸上方.22.已知復數z= (m2-2m - 3) + ( m2 - 3m - 4) i,求實數 m的值使z為純虛數.虛數數學組卷專題訓練參考答案與試題解析一.解答題(共22小題)1. (2011?上海)已知復數 zi滿足(zi-2) (1+i) =1 - i (i為虛數單位)，復數z2的虛部為2,且zi?z2是實數，求Z2.考點：復數代數形式的混合運算.專題：計算題.分析： 利用復數的除法運算法則求出Z1,設出復數Z2;利用復數的乘法運算法則求出Z1?Z2;利用當虛部為 0時復數為實數，求出Z2.

7、解答： 解：. -2二二 門l)- £11+i - (1+i) (1 -I)z1=2 - i 設 z2=a+2i (a CR)1. z1?z2= (2 i) (a+2i) = (2a+2) + (4a) i Z1?Z2是實數4 - a=0 解得 a=4所以 Z2=4+2i點評： 本題考查復數的除法、乘法運算法則、考查復數為實數的充要條件是虛部為0.2. (2005?上海)在復數范圍內，求方程|z|2+ (z+工)i=1 - i (i為虛數單位)的解.考點：復數的基本概念.專題：計算題.分析： 設出復數z=x+yi (x、yCR),代入|z|2+ (z+工)i=1 - i,利用復數相等

8、，求出 x, y的值即可.解答：解：原方程化簡為 憶2+ (z+t) i=1 -i,設 z=x+yi (x、y CR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1 - i,x2+y2=1 且 2x= - 1,解得 x=-1且 y= d-,22原方程的解是z=-=±'W.2 2點評：本題考查復數的基本概念，復數相等，考查計算能力，是基礎題.3. 設虛數 z 滿足 |2z+15|=/m+10.(1)計算憶|的值；(2)是否存在實數a,使三產CR?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.考點：復數求模.專題：計算題._分析：(1)設2=2+舊(a, b CR且b%)則代入條件|2z+1

9、5|=/E+10然后根據復數的運算法則和模的概念將上式化簡可得 打而F二5五即求出了總的值(2)對于此種題型可假設存在實數a使2CR根據復數的運算法則設(z=c+bi (c, bCR且b4)可得a z-= a zCR即上-或一=。再結合b加和(1)的結論即可求解.a cF解答： 解：(1)設 z=a+bi (a, bCR 且 b為). . |2z+15|=；|：.+ 10| (2a+15) +2bi|=V3| (a+10) bi|則 z=a- biV (2a+15) ?+ (2b) a2+b2=75J= i .(2)設z=c+bi (c, bCR且b為)假設存在實數則有Z . 3-一 = a

10、zb-)CRa 7一 a=a=i5A/3z=a+bi ( a, b 貝)則 |z|=J屋了!八計. 本題主要考查了求解復數的模.解題的關鍵是要熟記復數模的概念:4.已知 z2=3+4i,求 z36z+2的值.Z考點： 專題： 分析： 解答:復數代數形式的混合運算.計算題.設2=2+舊，則z2=a2 - b2+2abi=3+4i ,解方程求出a、b的值，可得z的值，代入要求的式子化簡求得結果 解：設 z=a+bi, a, bCR,貝U z2=a2-b2+2abi=3+4i , .a2-b2=3, 2ab=4.解得3=2b=la= - 2l ,即 z=2+i ,或 z= - 2 - i.又 z3-

11、 6z+.24 e4 - 6z2+24 1工24當 z=2+i 時，z3 - 6z+-IX (2-i) i) (2-i)= -|4i. b當 z= 一 2 i 時，z3 6z+-1 =1=(2-i)-2-i 2+i (2H) (2-i)點評:本題主要考查兩個復數代數形式的混合運算，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題.x 取何值時，復數 z= (x2+x-2) i+ (x2+3x+2) i(1)是實數？(2)是純虛數?(3)對應的點在第四象限?考點：復數的基本概念.專題：計算題.分析： (1)利用復數z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是實數時，復數的虛部等于0,求出x值.(2)

12、利用復數z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是純虛數時，復數的虛部不等于0,且實部等于0,求出x值.(3)利用復數z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i對應的點在第四象限時，x2+x- 2>0,且x2+3x+2<0,求出x的取值范圍.解答： 解：(1)復數z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是實數時，復數的虛部等于 0,即 x2+3x+2=0 ,解得 x= - 1 或-2.(2)復數z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i是純虛數時，復數的虛部不等于 0,且實部等于0,1, x2+x - 2=0,且 x2+3x+2 O,解得 x=1

13、 .(3)復數z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i對應的點在第四象限時，x2+x - 2>0,且 x2+3x+2v0,解得 xC?,故不存在實數 x,使復數z= (x2+x-2) + (x2+3x+2) i對應的點在第四象限.點評：本題考查復數的實部、虛部的定義，復數與復平面內對應點之間的關系，以及第四象限內的點的坐標的特點.6.已知復數 z= (2m2+3m-2) + (m2+m-2) i, (m CR)根據下列條件，求 m值.(1) z是實數；(2) z是虛數；(3) z是純虛數；(4) z=0.考點：復數的基本概念；復數相等的充要條件.專題：計算題.分析：(1)當復數

14、的虛部等于零時，復數為實數，由此求得 m的值.(2)當復數的虛部不等于零時，復數為虛數，由此求得 m的值.(3)當復數的實部等于零，且虛部不等于零時，復數為純虛數，由此求得m的值.(4)當復數的實部等于零，且虛部也等于零時，復數等于零，由此求得m的值.解答： 解：(1)當m2+m - 2=0 ,即m= 2或m=1時，z為實數；(2)當m2+m 2為，即mw 2且m用時，z為虛數；r2m2+3ni- 2=0H(3)當，辦，解得m=,小?+需-2盧02即m=工時，z為純虛數.2A 2m2+3i一 2=0_ 一(4)令,解得 m= - 2,即 m= 2 時，z=0 .聲出-2=0點評： 本題主要考查

15、復數的基本概念，兩個復數相等的充要條件，屬于基礎題.7 .已知z1, z2是實系數一元二次方程：x2+px+q=0的兩個虛根，且 z1, z2滿足方程：2z1+iz2=1-i,求p, q的值.考點：復數的基本概念.專題：計算題.分析： 設z1=a+bi,則z2=a-bi, (a, bCR),根據兩個復數相等的充要條件求出z1=1 - i, z2=1+i,再由根與系數的關系求得p, q的值.解答： 解：設 z1=a+bi,貝U z2=a- bi, (a, bCR)由已知得：2 (a+bi) +i (a- bi) =1 - i,(2a+b) + (a+2b) i=1 - i,. fa-1+ 2b

16、=- 1(_zi=1 - i, z2=1+i,由根與系數的關系，得 p= (zi+z2) = - 2, q=zi?z2=2.點評：本題考查復數的基本概念，兩個復數相等的充要條件，屬于基礎題.8 .已知復數z滿足七J七艮 又憶-1|+|z-3|=4,求復數z.考點： 分析：解答:7.復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念；復數求模.因為eJEr所以上J,得至工/六/，進一步化得：(衛一為 (1-4=)二。，從而zCR (z4) 工工 Z：3： WZZ或憶|2=7.下面進行分類求帙_ (1)當zCR (z%)時；(2)當憶|2=7時，分別求得復數 z即可.解：因為£+"&quo

17、t; E r,所以，貝u且+=工二工T.工 工£ 工所以王一 w J 一 1二0，即(？一£) (1 一 ) =0,工 工zz所以：Z- Z二。或者|G=T,即zCR (z加)或憶|2=7.(1)當 z 貝(z 加)時，|z- 1|+|z- 3|=4,所以 z=4 或者 z=0 (舍去)；(2)當 |z|2=7 時，設 z=x+yi (x, yCR),貝U x2+y2=7，又憶1|+|z3|=4,由題意可知22-4二1 一根據，可得共2,產士行，所以工二2±/；綜上所述，之二2士 “i或者z=4.點評:本小題主要考查復數的基本概念、復數代數形式的乘除運算、復數求模

18、等基礎知識，考查運算求解能力, 考查與轉化思想.屬于基礎題.9.設復數 z=lg (m2-2m-2) + (m2+3m+2) i .(I )若z是純虛數，求實數 m的值；(n )若z是實數，求實數 m的值；(出)若z對應的點位于復平面的第二象限，求實數 m的取值范圍.考點：復數的代數表示法及其幾何意義；復數的基本概念.專題：計算題.分析：(I )若z是純虛數，通過虛部不為 0,實部為0,即可求實數 m的值；(n )若z是實數，復數的虛部為 0,即可求實數 m的值；(出)若z對應的點位于復平面的第二象限，虛部大于0,實部小于0,即可求實數 m的取值范圍.解答：屈曰"以 %-2) R一日

19、解：(I)是純虛數， J=iif3Lir2+3nH-20(n ) z 是實數，m2+3m+2=0 ? m= - 1 或 m= - 2.(m) ,z對應的點位于復平面的第二象限，,1：心2-2m-2) <-13 或“反.IH)+3舟2>0點評：本題考查復數的基本概念，復數的分類，考查復數的代數表示以及幾何意義，考查計算能力.10.已知復數z滿足|z-2i| -3|+|z-2i| -3=0,求z在復平面上對應的點組成圖形的面積. 考點：復數的代數表示法及其幾何意義.專題：數系的擴充和復數.分析： 由|z-2i|-3|+|z-2i|-3=0,變形為|z- 2i| - 3|二3-憶-2i|

20、,可得憶-2i|<3.上式表示復平面內點 z至U 2i的距 離小于等于3的圓面.再利用圓的面積計算公式即可得出.解答： 解：|z- 2i|-3|+|z-2i|-3=0,變形為 |z 2i|- 3|=3-|z-2i|,.|z2i| 是實數，|z- 2i|<3.上式表示復平面內點 z到2i的距離小于等于3的圓面.因此此圓的面積為兀32=9兀.故z在復平面上對應的點組成圖形的面積為9兀.點評： 本題考查了復數的幾何意義、圓的復數形式及其面積計算公式，屬于基礎題.11.已知空儀z=1 - i.復數z的共軻復數為 工；(1)若x z+z=y,求實數x, y的值；(2)若(a+i) ?z是純虛

21、數，求實數 a的值.考點：復數的基本概念；復數的代數表示法及其幾何意義.專題：計算題.分析：(1)把z=1 - i代入£ z+z=y ,整理后利用復數相等的條件列式求解；(2)把z=1 - i代入(a+i) ?z,整理后由實部等于 0且虛部不等于0列式求a的值.解答：解：(1)二,三二1+i.由富工+z二"，得：x (1+i) +1 - i=y? (x+1) + (x 1) i=y由復數相等定義=產"了 二N=1,產2；(2)因為(a+i) ?z=a+1+ (1 - a) i 是純虛數，+J a+l=O _ r故 . =3=一1.11 - a 聲。點評： 本應考查

22、了復數的基本概念，考查了復數相等的條件，是基礎題.12 .已知復數2-i是實系數一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，(1)求b, c值；(2)若向量后=(卜，七)、1,求實數入和t使得m二1三考點：復數的基本概念；相等向量與相反向量.專題：計算題.分析：(1)、2-i的共軻復數2+i是實系數一元二次方程 x2+bx+c=0的一個根，利用一元二次方程的根與系數的 關系求b, c.(2)、根據共線向量知對應橫縱坐標相等建立方程解之.解答：解：(1)、因為2-i是實系數一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，所以2+i也是實系數一兀二次方程x2+bx+c=0的一個根，所以：b=- (2-i) +

23、 (2+i) = - 4, c= (2-i) (2+i) =5.(2)、(B, c)二17, 5),、=(& 1),因為即(4, 5)=入(8, t),點評:以 題所本入5=,解得：人=i, t= - 10.2次方程的根與系數的關系，共線向量等知識點.13 .已知復數 z (卬一皿一 2)十(皿)")(mCR, i是虛數單位)是純虛數.Hi(1)求m的值；(2)若復數w ,滿足|w-z|=1,求|w|的最大值.考點：復數求模；復數的基本概念.專題：計算題.分析：(1)利用復數的運算法則把 z化為(m2-1) + (m+1) i,再利用純虛數的定義即可得出m.(2)利用復數模的

24、計算公式即可得出a2+ (b-2) 2=1,進而由a2=1 - (b-2) 2可求出b的取值范圍，即可得出|w|的最大值.=(m2 - 1) + (m+1) i 是純虛數.'('口，解得 m=1 .nr+1 盧 0m的值是1.(2)由(1)可知：z=2i.設 w=a+bi (a, b R). |w-2i|=1, .一+ (七-2 )- a2+ (b-2) 2=1, (*)I |w|=7a2-l-b?=Vl- (b-2 ) 2-Fb2=-j'4b-3 -由(*)可知：(b-2)2q 1 巾4)如-3，百二3.|w|的最大值為3.點評：熟練掌握復數的運算法則、純虛數的定義、

25、復數模的計算公式、圓的標準方程等是解題的關鍵.14.已知復數Z=1+i(1)求 2淤+五-4及|w|的值;(2)如果,求實數a, b.考點：復數代數形式的混合運算；復數求模.專題：計算題.分析:(1)利用Z=1+i將后Z.3彳-4化簡為 'T i，利用其求模公式即可;解答:點評:(2)將Z *+aZ+b z2 - Zfl解：(1)Z=1+i , 3一化簡為a+2- (a+b) i,利用兩復數相等的充要條件即可求得實數a, b.= Z2 + 3Z - 4=2i+3 (1-i) - 4=T-i-4'“、.鏘Gb_2i 4a Cl+iD 住 2 7,z2 - z+l 2i - Cl+

26、iD +1=a+2 ( a+b) i=1 i 9',fa+2=la+b=1 fa= - 112Lb=2本題考查復數代數形式的混合運算，關鍵在于掌握復數的概念與運算性質，掌握兩復數相等的充要條件, 屬于基礎題.15.設復數z滿足4z+2 z=3>/3+i, w=sin 0- icos 0,求z的值和憶-co|的取值范圍.考點：復數求模.專題： 分析：解答:計算題.設出復數z,利用復數相等的條件列出方程組，求出復數通過正弦函數的值域，求出復數模的范圍即可.解：設 z=a+bi, (a, b CR),則舊=abi.代入 4z+2 z=3-/3+i,得 4 (a+bi) +2 (a- b

27、i)=3、巧+i,Z,然后通過復數的模利用兩角和與差的三角函數,即 6a+2bi=3-/3+i.=.-i, H - 一H + _ TV2 - V3sin9 +ccs 6=2 - 2sin (。-微) 1 Win ( e一石)司， 022sin ( e一百)0 耳z 3曰.點評： 本題考查復數的相等的條件的應用，復數的模以及兩角和與差的三角函數，正弦函數的值域的應用，考查 計算能力.16.已知復數 z=m2(1+i) - m (3+i) - 6i,(I)當實數m為何值時，z為純虛數？(n )當實數m為何值時，z對應點在第三象限?考點：復數的基本概念.專題：計算題.分析：(I)復數是純虛數，則實部

28、為 0,虛部不為0,求出m的值即可.(n )對應的點在第三象限.就是實部和虛部都是小于0,求出m的范圍即可.解答： 解：復數 z=m2 (1+i) - m (3+i) - 6i= (m2 3m) + ( m2 m 6) i尸 2(I ).皿3吁°解得m=0,復數是純虛數.產之一 m- 6Ho(n )若z所對應點在第三象限則 ，口,解得0vmv3.點評： 本題是基礎題，考查復數的基本概念，復數的分類，常考題型，送分題.17.課本在介紹i2=-1的幾何意義”中講到：將復平面上的向量乘以i就是沿逆時針方向旋轉90。，那么乘以-i就是沿順時針方向旋轉 90。，做以下填空：已知復平面上的向量。

29、脹QN分別對應復數3-i、- 2+i,則向量MN對應的復數為 5+2i: 那么，以線段 MN為一邊作兩個正方形 MNQP和MNQ , P,則點P、Q對應的復數分別為 5+4i 、 6i 點P、Q,對應的復數分別為1 6i 、; 4 4i .考點：復數的基本概念；復數的代數表示法及其幾何意義.專題：計算題.求出向量MN對應的復數，設點 P (a, b), Q (s, r),當HP可以看成把 MN順時針旋轉90得到的時,MP對應的復數為(-5+2i) (- i) =2+5i ,可得a-3=2, b+1=5,解得a、b的值，即得點P對應的復數.根 據LQ對應的復數和MP對應的復數相等，求得 Q對應的

30、復數.解答:當MP可以看成把 MN逆時針旋轉90得到的時，同理可求.解：向量對應的復數為(-2+i) - (3-i) = - 5+2i,設點P (a, b), Q (s,則HP可以看成把 MN逆時針旋轉90。，或把MN順時針旋轉90。得到的,當HP可以看成把順時針旋轉90得到的時，對應的復數為(-5+2i) ( - i) =2+5i , a- 3=2, b+1=5, .1. a=5, b=4,，P(5, 4).由正方形的性質可得而 對應的復數和 而 對應的復數相等，為2+5i, .-.s+2=2, r- 1=5,. .s=0, r=6, Q (0, 6),故點P, Q,對應的復數分別為：5+4

31、i和 6i.當MP可以看成把AN逆時針旋轉90得到的時，MP對應的復數為(-5+2i) i=-2-5i,2- 5i, .-.s+2=-2, r- 1=- 5,.a- 3=-2, b+1=- 5, .-.a=1, b=-6,，P(1, -6).由正方形的性質可得MQ對應的復數和MP對應的復數相等，為- .s=-4, r= -4,，Q( 4, -4),故點 P, Q,對應的復數分別為： 1 6i 和4 4i .故答案：5+2i; 5+4i; 6i;1 6i;4 4i.點評： 本題考查復數的基本概念，復數與復平面內對應點之間的關系，兩個復數代數形式的乘法，體現了分類討論的數學思想，求出 MP對應的復

32、數，是解題的難點.18.設復數z二2+1,若z2+az+b=1+i ,求實數a, b的值.考點： 專題： 分析：復數代數形式的混合運算；復數的基本概念.計算題.先將z按照復數代數形式的運算法則，化為代數形式，代入 于a, b的方程組，并解即可.z2+az+b=1+i ,再根據復數相等的概念，列出關解答:解:=1 - iz2+az+b= (1-i) 2+a (1-i) +b=a+b - ( a+2) i=1+iar+2= - 1解得點評:19.z 1 + ,是實數且-工2 ( 11町2(1)求憶1|的值以及zi的實部的取值范圍;(2),求證：3為純虛數.考點： 專題： 分析：解答:復數代數形式的

33、混合運算.計算題.(1)設出復數，根據兩個復數之間的關系，寫出Z2的表示式，根據這是一個實數，得到這個復數，根據條件中所給的取值范圍，得到要求的a的取值.(2)根據上一問設出的復數，表示出 03,進行復數除法的運算，分子和分母同乘以分母的共軻復數，整理 變化，得到最簡形式，得到這是一個純虛數.解：(1)設 z1=a+bi (a, bCR,且 b0),貝 U .一1 - 1 ' 一一.,E1勺 升bL 屋十b?a2+b. z2是實數，b0,有 a2+b2=1,即憶1|=1,，可得 z2=2a,由-1及2司，得-1磴a司,即Z1的實部的取值范圍是 一，,. uiu(2)1 -勺 1 - a - bi 1 - a2 - b2 -2bi1+工 1+a+bi(1 + a)，匕*_L,sr+l 1本題考查了復數代數形式的混合運算，復數相等的概念，屬于基礎題.aC 工，lb, b為，2 2J3為純虛數.點評：本題考查復數的加減乘除運算