1、“將軍飲馬問題”的探究與啟示【摘要】利用“將軍飲馬問題”中的軸對稱思想去解決線段和最小的問題，是較 多學生解題的“障礙”問題，現通過數學建模思想把這類問題化歸為“將軍飲馬 問題”，利用“兩點之間線段最短”加以證明，同時對數學教育工作者提出了啟 示。【關鍵詞】軸對稱最小值問題探究問題啟示【正文】一、問題再現基本問題：人教版八年級數學上冊P42有一道探究題，源于古希臘著名的“將軍飲馬問題”，大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題。課文原 題如下：如圖1,要在燃氣管道I上修建一個泵站，分別向 A, B兩鎮供氣，泵站 修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？課本給出了如下的作圖及證明方法

2、：C,點C就如圖2,作B關于直線丨的對稱點B',連結AB與直線丨交于點是所求的位置.證明：如圖3,在直線I上另取任一點C,連結A C, B C,B' C,因為直線I是點B, B'的對稱軸，點C, C在I上, CB=CB , CB= C B，, AC+CB AC+CB二AC+C =A B'.在A C B 中，t < A C + C B 即卩 AC+CB最小.A B在直線同側的問題轉反思：本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在A B'與I的交點上，即A

3、 C、B'三點共線）。本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值” 的問題的數學模型。二、問題探討1、在三角形（或四邊形）中的運用：已知正方形ABCD的邊長為8, M在DC上，且DM=2 N是AC上的一動點。貝y DN+M的最小值為多少？分析：要求DN+MI的最小值，聯想“將軍飲馬問題”， 作點M關于AC的對稱點E,且易知點E應該在線段BC上, 這樣MN二NE那么題目就轉化成求 DN+N啲最小值了，由于點N在AC上移動且D、N、E可能構成一個三角形，因為“兩點之間線段最短” ， 所以，當點N移動到DE與AC交點處，即點D、N E共線時，DN+NE=DE=10達到 最

4、小值。反思：若引導學生把題中的 D、M看著是基本問題中的 A B兩點，把AC看著 是基本問題中的燃氣管道 丨，本問題即為基本問題，學生可通過基本問題的聯想和 遷移解決本問題。2、在平面直角坐標系中的運用：(2009年濟南)已知：拋物線的對稱軸為 X= 1,與X軸交于A，B兩點，與y軸交于點C,其中A 3,0、(1) 求這條拋物線的函數表達式.(2) 已知在對稱軸上存在一點P,使得 PBC的周長最 小.請求出點P的坐標.(3) 若點D是線段OC上的一個動點(不與點 O點C重 合).過點D作DE / PC交X軸于點E.連接PD、PE .設CD 的長為m , PDE的面積為S .求S與m之間的函數關

5、系 式試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若 不存在，請說明理由。分析：(本題只對第2問作詳細分析)(1)拋物線的解析式為X-X 2.3(2)連結AC BC.因為BC的長度一定，要使 PBC周長最小，就是使 PC PB最疋,小。B點關于對稱軸的對稱點是 A點，通過A 3,0、C(0, -2)可求AC的解析式為y 2x 2.AC與對稱軸X 1的交點即為所求的點P3-。(3)當m 1時，S最大34反思：本題對第2問的解答是轉化為“求定直線X 1上一動點與直線外兩定點B、C的距離和的最小值”，它的原型就是“將軍飲馬問題”的基本問題，由于 和函數結合一起，增加了命題的想象空間，這里，蘊含了豐

6、富的“數”與“形” 相互轉化的數學思想。3、在代數式中的運用：已知a、b均為正數，且a+b=8 ,求代數式va2 4 Jb2 16的最小值。C分析：由a、b均為正數，且a+b=8，得Ja2 4 Jb2 16 = jJa2 4 7(8 a)2 16 ,構造合適圖形可將其轉化為求兩條線段和的最小值問題。如圖，取 AC=2 BD=4 AB=8,作C關于AB的對稱點C,連16。接 C D交 AB于 P,連接 Cp 設 PA=a 貝y PB=8-a, CP 4 , DP二J(8 a)2此時C、P、D三點共線，C D=CP+DP=8L62=1O為最小值。反思：正是由于a、b均為正數，可以把此題構造“將軍飲

7、馬問題”的基本圖 形，順利地求出 需廠 疔"9的最小值為13,想法新奇但又順理成章。三、問題推廣1、由“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”推廣到“求兩 定直線上各一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”問題：義務教育課程標準 實驗教科書八年級上冊 P47第9題，如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要 從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊給馬喝水，然后回到帳篷，請 你幫助他確定這一天的最短路線。bl,即可得出答案;bl=hl hk=bk aj二GJ,貝y四點G I、L、反思：根據對稱點推出 AI=GI ,在同一直線上（基本問題中三點共線的推廣），根據兩點之間線段最

8、短即可求出 答案。2、從用“三角形周長最短”證明推廣到用“一邊為定值的四邊形周長最短” 的證明：在平面直角坐標系中，矩形OACB勺頂點0在坐標原點，頂點 A B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3 OB=4 D為邊OB的中點.若E、F為邊OA上的 兩個動點，且EF=2,當四邊形CDEF的周長最小時，求點 E F的坐標.分析：由于DC EF的長為定值，如果四邊形 CDEF的周長最小，即DE+FC有最小 值.為此，作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=2 當點E在線段DG上時，四邊形CDEF的周長最小.反思：此題主要考查軸對稱一一最短路線問題（將軍飲馬問 題），它是在基本圖形證明

9、線段和（一邊為定值的三角形周長）最短的基礎上增加了平移的線段（GE和（兩邊為定值的四邊形周長）最短的問題，只要學生充分體會“將軍飲馬”的問題，通過對基本問題知識的類比與遷移， 可以解決此問題四、問題啟示 基于對“將軍飲馬問題”的探索，筆者認為對數學教育工作者有兩方面的啟 示：1、對習題設計者（試卷命題者）的啟示：對習題的變式題的設計要“從學生 發展的內在需要出發，從教學內容的發生、發展過程的角度出發” ，能融數學的教 與學為一體，重視知識的形成過程，重視知識的“內化” ；對試題的設計要立足于 教材，對例題或基本圖形進行深入的挖掘，以教材的例題或基本圖形為起點，結 合學生的生活經歷，難度視本題型在試卷所處的位置而定。2、對教師教學的啟示：從本文的解法反思中可以看出，即使是比較復雜的問 題，所用到的知識也是簡單的基礎問題，這就要求教師在日常的教學中，特別是 單元復習和中考復習時，不僅要從不同角度去分析問題，還原知識的發生、發展 及形成的過程，教給學生解題的方法，而且要與學生共同探究基本問題與解題的 聯系，使