1、1.用1, 2, 3三個數字組成一個四位數,規定這三個數必須全部使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有（）個個個個 答案 B利用樹狀圖考察四個數位上填充數字的情況，如2132132，共可確定8個四位數，但其中不符合要求的有 212133123個，所以所確定的四位數應有18個，故選B.2 .某學習小組男女生共 8人，現從男生中選2人，女生中選1人，分別去做3種不同的工作，共有90種不同的選法，則男，女生人數為（）,6 , 5 , 3 , 2答案 B解析 設男生人數為n,則女生人數為8-n,由題意可知C2cLnA3=90,即比01口=15,解得 n=3,所以男，女生人數為 3, 5,故選B.

2、3 .將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送方法有（）種 種 種種答案 A3 面入工解析 先將5個人分成二組，（3, 1, 1）或（1, 2, 2）,分組萬法有 C3+C2-=25（種），再將三組全排列有 A3=6（種），故總的方法數有 25X6= 150（種）.4 .從5位男教師和4位女教師中選出 3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班主任）， 要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）答案 B解析 因為要求3位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女. 若選出的3位教師是1男2女則共

3、有ddA3 = 180(種)不同的選派方法，若選出的3位教師是 2男1女則共有O2C4A3= 240(種)不同的選派方法，所以共有180+ 240= 420(種)不同的方案， 故選B.5 .若二項式(2x + a)7的展開式中工的系數是84,則實數a等于()xx答案 C解析 二項式(2x + 37 的通項公式為Tk+1 =Ck(2x)7"(Ox) k=C727kakx72k,令7-2k=- 3,得1k= 5.故展開式中二的系數是C72a =84,解得a=1. x6.( x 1) 44x( x 1)3+6x2(x 1)2-4x3(x- 1) +x4等于()A. - 1 C.(2 x-

4、1)4 D.(1 - 2x)5答案 B解析(x 1) 4 4x(x1)3+ 6x2( x1/4x3( x 1) + x4= (x1) x)4=1.7 .某班準備從甲、乙等七人中選派四人發言，要求甲乙中兩人至少有一人參加，那么不同的發言順序有()種 種 種種答案 C解析 A7 A4= 720(種).8 .如圖，花壇內有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數為()答案 D解析 若5個花池栽了 5種顏色的花卉，方法有A5種，若5個花池栽了 4種顏色的花卉，則2, 4兩個花池栽同一種顏色的花，或 3, 5兩個花池栽同一種顏色的花，方

5、法有2A4種；若5個花池栽了 3種顏色的花卉，方法有A3種，所以最多有 A5+26 + A3=420（種）.9 .（ x+1）5的各項系數和是1 024,則由曲線y = x，D y=xa圍成的封閉圖形的面積為.ax答案1522y=x解析 設x= 1 ,則各項系數和為（1 +-）5= 1 024 = 45,所以a =-,聯立 i 可得交a34y=x3點坐標分別為（0, 0）, （1,1）,所以曲線1y = x2和y=x,圍成的封閉圖形的面積為11(x* -023 4x)dx= -x3 43x301 5 =3 1210 .圓上有10個點，過每三個點畫一個圓內接三角形，則一共可以畫的三角形個數為 .

6、答案 120解析圓上任意三點都不共線，因此有三角形C30= 120（個）.11 .一排共有9個座位，現有3人就坐，若他們每兩人都不能相鄰，每人左右都有空座，而且至多有兩個空座，則不同坐法共有 種.答案 36解析 可先考慮3人已經就座，共有 A3=6（種），再考慮剩余的6個空位怎么排放，根據要 求可產生把6個空位分為1, 1, 2, 2,放置在由已經坐定的 3人產生的4個空中，共有C4 = 6,所以不同的坐法共有 6X6= 36（種）.12 .我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架艦載機（甲、乙、丙、丁、戊）準備著艦，如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同

7、的著 艦方法有 種.答案 24解析 先把甲、乙捆綁在一起有 A2種情況，然后對甲、乙整體和戊進行排列，有A2種情況，這樣產生了三個空位，插入丙、丁，有A2種情況，所以著艦方法共有 A2AAi=2X2X6= 24（種）. 13.實驗員進行一項實驗，先后要實施 5個程序（A, B, C, D, E）,其中程序A只能出現在第 一步或最后一步，程序 C或D在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有 種.答案 24解析 依題意，當A在第一步時，共有A2A3=12（種）；當A在最后一步時，共有A2A3=12（種）.所以實驗的編排方法共有24種.14.用1, 2, 3, 4, 5, 6組成數字不重復的六位數

8、，滿足 1不在左右兩端，2, 4, 6三個偶 數中有且只有兩個偶數相鄰，則這樣的六位數的個數為 .答案 288解析 從2, 4, 6三個偶數中任意選出 2個看作一個“整體”，方法有A2 = 6（種），先排3個奇數，有A3=6（種），形成了 4個空，將“整體”和另一個偶數插在3個奇數形成的4個空中，方法有A4= 12（種）.根據分步乘法計數原理求得此時滿足條件的六位數共有6X6X12= 432（種）.若1排在兩端，1的排法有A2A2=4（種），形成了 3個空，將“整體”和另一個偶 數插在3個奇數形成的3個空中，方法有 A3 = 6（種），根據分步乘法計數原理求得此時滿足 條件的六位數共有 6X4

9、X6= 144（種），故滿足1不在左右兩端，2, 4, 6三個偶數中有且只 有兩個偶數相鄰，則這樣的六位數的個數為432 144= 288（種）.分類加法計數原理與分步乘法計數原理典例精析題型一分類加法計數原理的應用【例1】 在1到20這20個整數中，任取兩個數相加，使其和大于20,共有 種取法.【解析】當一個加數是 1時，另一個加數只能是 20,有1種取法；當一個加數是2時，另一個加數可以是 19,20,有2種取法；當一個加數是3時，另一個加數可以是 18,19,20 ,有3種取法；當一個加數是10時，另一個加數可以是11,12 ,，19,20 ,有 10 種取法;當一個加數是11時，另一個

10、加數可以是12,13 ,，19,20 ,有9種取法;當一個加數是19時，另一個加數只能是20,有1種取法.由分類加法計數原理可得共有1+2+ 3+ 10+9+8+ 1=100種取法.【點撥】采用列舉法分類，先確定一個加數，再利用“和大于20”確定另一個加數【變式訓練1】（2010濟南市模擬）從集合1,2,3 ,，10中任意選出三個不同的數,使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為【解析】當公比為 2時，等比數列可為1,2,4或2,4,8 ;當公比為3時，等比數列可為1,3,9 ;當公比為3時，等比數列可為4,6,9.同理，公比為1、1、1時，也有4個.故選D. 22 3 3題型二分步乘法計

11、數原理的應用【例2】 從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個旅游景點游覽，要 求每個旅游景點只有一人游覽，每人只游覽一個旅游景點，且6個人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則不同的選擇方案共有 種.【解析】能去張家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計數原理得不同的選擇方案有4X5X4X3= 240種.【點撥】根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復也不能遺漏【變式訓練2】（2010湘潭市調研）要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現有 5 人，每人可以值多天班或不值班， 但相鄰兩天不準由同

12、一人值班， 問此值班表共有 種不 同的排法.【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成 .第一天有5人可選有5種方法，第二天 不能用第一天的人有 4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有 4種方法，由分步乘法 計數原理共有 5X4X4X4X4= 1 280種方法.題型三分類和分步計數原理綜合應用【例3】（2011長郡中學）如圖，用4種不同的顏色對圖中 5個區域涂色（4種顏色 全部使用），要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色 種數有.【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個區域涂相同的顏色，分為 4類：1與5 同；2與5同；3與5同；1與3同.對于每一類有 A4種涂法，

13、共有4A4=96種方法.方法二：第一步：涂區域 1,有4種方法；第二步：涂區域 2,有3種方法；第三步： 涂區域4,有2種方法（此前三步已經用去三種顏色）；第四步：涂區域3,分兩類：第一類, 3與1同色，則區域5涂第四種顏色；第二類，區域 3與1不同色，則涂第四種顏色，此時 區域5就可以涂區域1或區域2或區域3中的任意一種顏色，有 3種方法.所以，不同的涂 色種數有 4X3X2X（1 X1 + 1X3）= 96 種.【點撥】染色問題是排列組合中的一類難題.本題能運用兩個基本原理求解，要注意的是分類中有分步，分步后有分類 .【變式訓練3】（2009深圳市調研）用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1

14、,2 ,，9的9個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）小正方形所涂顏色都不相同，且1,5,9號小正方形涂相同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C3種涂法；第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有 6種涂法.由分步乘法原理知共有 3X6X6= 108種涂法.分類加法計數原理和分步乘法計數原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數的問題，其區別在于：分類加法計數原理是完成一件事要分若干類，類與類之間要互斥， 用任何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件

15、事；分步乘法計數原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨立，各個步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當各個步驟都完成之后， 才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類還是分步， 是正確使用這兩個基本計數原理的基礎.排列與組合典例精析題型一排列數與組合數的計算8! + A6_ 3_3_3【例 1】 計算：（1） a2_a40 ; （2） C 3+C3+-+ C30.原式=57 6 5 4 356 X ( 89)87654321654328X710X9X8X75 130623(2)原式=C4+C4+C5+ C10= C5+C5+ C30=C6+c6+ C30=C11 = 3

16、30. en! 【點撥】在使用排列數公式4=赤丁進行計算時,要注意公式成立的條件：m nC N+, me n.另外，應注意組合數的性質的靈活運用【變式訓練1】解不等式AX>6AcX 2.9!9!【解析】原不等式即>6X(9 x)!(11 x) !也就是/C ； > 6，(9一x)!(11 x)?(10 x)?9 x)!化簡得 x2- 21x+ 104>0,*解得xv 8或x> 13,又因為2W x< 9,且xC N ,所以原不等式的解集為2,3,4,5,6,7.題型二有限制條件的排列問題【例2】3男3女共6個同學排成一行.(1)女生都排在一起，有多少種排法(

17、2)女生與男生相間，有多少種排法(3)任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法(4)3名男生不排在一起，有多少種排法(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個元素的全排列，有A4種排法.又3名女生內 部可有A3種排法，所以共有 a4 a3= 144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時有2種插法)，所以女生與男生相間共有2A3 , A 3= 72種排法.(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個空隙，任取其中 3個安插男生即可，因而任何兩個男生都不相鄰的排法共有A3 - A 3= 144種.(4)直

18、接分類較復雜，可用間接法.即從6個人的排列總數中，減去3名男生排在一起的 排法種數，得3名男生不排在一起的排法種數為A6 A3A4= 576種.(5)先將2個女生排在男生甲、乙之間，有 A3種排法.又甲、乙之間還有 A2種排法.這樣 就有A3 A 2種排法.然后把他們4人看成一個元素(相當于一個男生)，這一元素及另1名男 生排在首尾，有 A2種排法.最后將余下的女生排在其間，有 1種排法.故總排法為A3A2A2= 24 種.【點撥】排列問題的本質就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”. 對于這類問題，

19、在分析時，主要按照“優先”原則，即優先安排特殊元素或優先滿足特殊位.對于直接考子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法” 慮較困難的問題，可以采用間接法【變式訓練2】把1,2,3,4,5 這五個數字組成無重復數字的五位數，并把它們按由小到 大的順序排列構成一個數列.(1)43 251是這個數列的第幾項(2)這個數列的第97項是多少【解析】(1)不大于43 251的五位數A5(A4 + A3+A2) = 88個，即為此數列的第 88項.(2)此數列共有120項，而以5開頭的五位數恰好有 A4=24個，所以以5開頭的五位數 中最小的一個就是該數列的第97項，即51 234

20、.題型三有限制條件的組合問題【例3】 要從12人中選出5人去參加一項活動.(1) A, B, C三人必須入選有多少種不同選法(2) A, B, C三人都不能入選有多少種不同選法(3) A, B, C三人只有一人入選有多少種不同選法(4) A, B, C三人至少一人入選有多少種不同選法(5) A, B, C三人至多二人入選有多少種不同選法【解析】(1)只須從A, B, C之外的9人中選擇2人，C9=36種不同選法.(2)由A, B, C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有C9=C9= 126種選法.(3)可分兩步，先從 A B, C三人中選出1人，有C3種選法，再從余下的9人中選4人,

21、有C4種選法，所以共有C3 - C 9= 378種選法.(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有 應種，再減去 A, B, C三人都不入選的情況 C9,共有C52 C5 = 666種選法.(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C12種，再減去A, B, C三人都入選的情況 法種, 所以共有C52 C9= 756種選法.【點撥】遇到至多、至少的有關計數問題，可以用間接法求解.對于有限制條件的問題， 一般要根據特殊元素分類.【變式訓練3】四面體的頂點和各棱中點共有10個點.(1)在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法(2)在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法【解析】(1)四個點共面的

22、取法可分三類.第一類：在同一個面上取，共有4c6種；第二類：在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點，共有 6種；第三類：在六條棱的六個中 點中取，取兩對對棱的 4個中點，共有C2=3種.故有69種.(2)用間接法.共C4069= 141種.解有條件限制的排列與組合問題的思路：(1)正確選擇原理，確定分類或分步計數;(2)特殊元素、特殊位置優先考慮；(3)再考慮其余元素或其余位置 .12.3 二項式定理典例精析題型一二項展開式的通項公式及應用【例1】已知(& U)n的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列24 x(1)求證：展開式中沒有常數項；(2)求展開式中所有的有理項.【解析】

23、由題意得 2C11 , = 1 + C2 , ( )2, 22即 n29n+8=0,所以 n = 8, n= 1(舍去).所以 Tr + 1= C； ( 6) 8 r ( -I-)'16 3r=(-1)r 畢 x(0< r<8, r e Z).16-3r(1)若Tr + 1是常數項，則 4=0,即16 3r = 0,因為rCZ,這不可能，所以展開式中沒有常數項.(2)若Tr + 1是有理項，當且僅當 %如為整數，又 0WW8, rCZ,所以 r = 0,4,8 ,即展開式中有三項有理項，分別是T1 = x4, 丁5=乎x, T9=x-2.8256.除通項公式外,【點撥】(1

24、)把握住二項展開式的通項公式，是掌握二項式定理的關鍵 還應熟練掌握二項式的指數、項數、展開式的系數間的關系、性質；(2)應用通項公式求二項展開式的特定項，如求某一項，含 x某次哥的項，常數項，有理項，系數最大的項等，一般是應用通項公式根據題意列方程，在求得 n或后，再求所需 的項(要注意n和r的數值范圍及大小關系)；(3)注意區分展開式“第r + 1項的二項式系數”與“第r + 1項的系數”.【變式訓練1】若(xX+A)n的展開式的前3項系數和為129,則這個展開式中是否含有常數項，一次項如果有，求出該項，如果沒有，請說明理由 【解析】由題知 C0+Cn - 2+ C2 - 22= 129,所

25、以n=8,所以通項為 T+1= C8(x4X) 8-r (故 r =6 時，T7=26c8x= 1 792 x,所以不存在常數項，而存在一次項，為 1 792 x.題型二運用賦值法求值【例 2】(1)已知(1 +x) + (1 +x)2+ (1 +x) n=a0+ax+ a2x2+ anxn,且a2+ an1=29 n,則 n=；(2)已知(1 x)n = ao+ax+a2x2+ + anxn, 若 5a1 + 2a2=0,則 a。一a1+a2a3+十 ( 1) an =.【解析】(1)易知an= 1,令x = 0得ao= n,所以ao+ a + an = 30.又令 x= 1,有 2+22+ 2n = aO+a1 + an= 30,即 2n+1 2 =30,所以 n= 4.(2)由二項式定理得，12 n(n1)a1 = G=n, a2=G=,'2'代入已知得一5n+n(n1) = 0,所以n=6,令 x = 1 得(1 +1) =a° a + a2 a3+a4一a + as,即 a0 a1 + a2 a3+ a4