1、利用數學實驗提高競賽數學的趣味性1 .問題的提出競賽數學，俗稱奧數，是我國數學教育的傳統強項，無論是普及程度還是競賽水平都位居世界前列，我國選在歷屆參賽的國際數學奧林匹克競賽（IMO）中，都有優異的表現。但是，近年來受功利主義的驅動， “奧數”出現了泛化的趨勢，連小學數學競賽都被冠以“奧數”的頭銜，出現了“全民奧數”的不正?，F象， 引起許多人對奧數的批判和反思。批評者認為：奧數并不教給學生科學研究的方法，而只是一味追求偏、難、怪的解題技巧，舍棄了數學最核心，也是最有用的數學思想方法；還有人對我國獲得IMO 獎牌的選手進行了追蹤調查，發現 “這些公認的數學尖子基本上沒有在數學研究上做出突出成就的

2、， 甚至鮮有喜歡數學的”，由此認為奧數一無是處，更有甚者宣稱“奧數已成公害，對學生危害堪比黃、賭、毒”。與我國相比，國外的奧數則顯得非常冷清。比如日本，雖然奧數教育也很成功， 但日本只有6%作用的中小學生有過奧數學習的經歷，或者正在學習奧數。美國也類似，中小學生對數學感興趣的不多，但對數學感興趣的人，則會非常投入。這些學生由于興趣支撐，發展后勁很大。對于這一點，我國奧數教育家熊斌老師在談對國內外IMO 選手的對比時也感慨的說： “相對國內的 IMO 選手而言，國外選手盡管也有相當強的競爭意識，但在日常積累的過程中操練的成分更少一些。而且，相對而言，他們將數學抽象思維與生活場景結合的能力更強。”

3、其實奧數的教育價值早已經被世界各國教育界肯定，所謂 IMO 獎牌獲得者后來的成就普遍不大，在世界范圍內根本就不成立。之所以出現前面所述的種種弊端， 主要是因為我們大多用一種急功近利的心態去對待奧數，教師都大多采用“超前學習知識， 枯燥題海訓練”的應試教育模式進行教學，使學生對奧數甚至數學產生了恐懼和厭煩，即使少數同學能堅持學下去，也多數是為了獲得升學加分或保送的獎勵。這也正是國內的IMO 獲獎選手一旦升入大學就很少選擇數學專業的主要原因。丘成桐先生一針見血的指出： “國外奧數考得好的學生，往往能夠成才，而我們的學生不一定能成才，因為國內是機械性的學數學，不是出于興趣。 ”基于以上分析，我們非常

4、有必要探討如何提高奧數學習的趣味性，使其真正成為“較高層次的基礎教育、開發智力的素質教育、生動活潑的業余教育、現代數學的普及教育”。 同時，為了與已被泛化的“奧數”一詞相區別，下文將在相應的地方使用 “競賽數學”， 同時將其限定在中學，尤其是高中范圍內進行討論。2 競賽數學的基本特點數學競賽的是以解題為核心的比賽，因此競賽數學的教學主要是圍繞著解題而展開的。就內容而言，它在廣度和深度上都對中學數學進行了大幅度加深，涉及代數、幾何、初等數論、和組合等領域，數學的抽象、嚴謹等特點在競賽數學中表現的尤為突出。同時， 由于競賽的需要，競賽數學的問題往往具有深厚的高等數學背景，并呈現非模式化的特點，靈活

5、性很強。學習者除了要有扎實的數學基本功，還要有更強的抽象思維能力和數學直覺。由于競賽數學內容表現出很強的抽象性，且大多遠離實際生活背景(與大學基礎數學專業的研究有很多相似之處)， 同時， 競賽數學教學主要占用課余時間，教學時間緊、任務重， 因此多數教師都是采用講授法進行教學，幾乎沒有人使用數學實驗、數學史等教學方法。筆者認為，競賽數學雖然有其特殊性，但仍然應當遵循數學教育的一般規律。如前所述，競賽數學同高等數學具有許多的相似之處，高等院校數學教學改革(如開展數學建模、數學實驗等活動)表明，我們應該，也完全可以改變以往那種一味“題海戰術”的教學方式。3提高競賽數學趣味性的基本途徑3.1 數學史融

6、入競賽數學教學數學競賽，尤其是IMO 的試題大多具有深厚的數學史背景，甚至直接來自某些著名的定理或歷史名題。例如第一屆數學奧林匹克國家集訓隊就提供了這樣一道訓練題：試題1設f(x)為實多項式，且對任何a R, f(a) 0 (即f(x)是正定的)求證：存在多項式 g(x),h(x),使 f(x) g2(x) h2(x)說明：本題其實有著深厚的歷史背景。在1900 年，德國數學家希爾伯特(Hilbert)在巴黎國際數學家大會上提出了23個數學問題，即著名的Hilbert問題， 引導著整個20 世紀世界數學研究的潮流。此題就來源于其中的第17 個問題：關于xi,K xn的實系數正定有理函數是否一定

7、可表成有限個關于xi,K xn的實系數有理函數的平方和在教學中，將往屆試題的這種背景展示給學生， 可以很好的激發學生的學習 熱情，使他們以研究的角度看待競賽數學學習，而不是單純的為了應試而學。3.2 實際應用融入競賽數學教學從表面上看，競賽數學研究的對象大多遠離實際應用，以至于許多把數學競 賽看作是純粹的智力挑戰。其實，與實際應用沒有任何關聯的數學是不存在的。 即使以往被視為“最純潔”的數論，今天也已經廣泛運用在了密碼等多個領域。 再者，人畢竟不能“不食人間煙火”，還是希望能學到“有用”的數學，因此如 果將競賽數學與實際應用聯系起來，能夠極大的激發學生的學習興趣。例如，1978 年北京市數學競

8、賽就以著名的 Butchart-Moster定理的一個推論(定理1)為基礎， 設計了一個與實際應用密切相關的競賽題， 不過遺憾的是這類競賽試題出現的還 較少。定理 1 設 a La。，1,L n Q，則函數 f(x) i|x a1 | L在唯一的極小值.試題2:圖一是一個化工廠的地圖，一條公路(粗線)通過這個地區，七個工廠 Ai,4,L A7分布在公路兩側，由一些小路(細線)與公路相連?，F在要在公路上設一個長途汽車站，車站到個工廠(沿公路、小路走)的距離總和越小越好，問：(1)這個車站設在什么地方最好？(2)證明你所做的結論；(3)如果在P的地方又建立了一個工廠，并且沿著圖上的虛線修了一條小路

9、, 那么這時車站設在什么地方好？分析：A。i 7)與P到距離之和是定值，記為S d(AB) d(A2C) d(A3D) d(A4D) d(A5E) d(A6F) d(A7F)可將公路拉直，則 R G D E、F的位置關系不變，且它們的距離之和 不變，即這個拉直變換既保序又保距，可以將該直線視為數軸.設長途汽車站設在 x處，則問題變為求f (x)S | xa1| | xa2| 2 | x831| x a4| 2 | x851, 其中ai,a2,a3,a4,a5分別表示B、C、D E、F到原點的距離（第三問與之類似）這樣就轉化成了定理1 的形式，可以求得f （x） 的最小值點。2.3 數學實驗融入

10、競賽數學教學奧數學習與其它的學習一樣，是一個由直觀到抽象，由簡單到復雜的過程。數學實驗可以給學生提供豐富的數學學習體驗，成為其學習抽象程度更高的數學知識的必要基礎。相對常規數學，競賽數學復雜且抽象，要進行數學實驗一般要借助計算機才能完成。一般來說，我們可以將競賽數學中的數學實驗分為兩大類：基于算法思想的驗證歸納模式和基于圖形變化的模擬演示模式，下面進行簡單介紹。2.3.1 驗證歸納模式在數學問題解決中，一般要首先從特殊情況入手進行歸納，然后提出猜想，并檢驗猜想，最后才是嚴格的推理與證明，這在競賽數學中表現的尤為突出。這主要是因為，應試教育中借助“題海戰術”使學生在解題時“一帆風順”的策略在數學

11、競賽中是不可能成功的，競賽數學的問題解決者更像一個研究者，要完整的經歷數學發現的各個階段。由于競賽數學的問題一般涉及“無限”或大數字（如數論） ，手工計算進行驗證、 歸納往往難度較大，使用計算機可以將學生從繁瑣的機械計算中解放出來，將精力集中在算法的設計和尋找證明的等更富創造性的活動上。本類型的數學的關鍵是設計相應的算法，并使用高級程序設計語言實現之。試題3： 確定是否存在滿足下列條件的正整數n ， 使得 n 恰好能被2000 個互補相同的質數整除，且2n 1能夠被n整除.（2000年第41屆IMO）2.3.2 模擬演示模式平面幾何是競賽數學的一個基本模塊，此外許多代數問題也需要借助數形結合思

12、想從 “形” 的角度進行研究。本類型的數學實驗主要是借助幾何畫板、Matlab等專業軟件，直觀演示相關量的運動變化過程，揭示其規律，進而解決問題。試題4:給定凸四邊形ABCD , BC=AD ,且BC不平行于AD.設點E和F分別在 邊BC和AD內部，滿足BE=DF。直線AC和BD相交于P,直線BD和EF相 交于Q,直線EF和AC相交于Ro求證：當E、F變動時，PQR的外接圓除經過P外還過另一個定點.分析：在幾何畫中根據題設構建相應模型，如圖三所示，線段a為標記量，改變其長度，則E、F也會相應的在 BC和AD上移動。在此過程中，觀察PQR的外接圓，可以發現它除一定過P外，還總過 PDC內一點，由此大膽猜想： 該定點為完全四邊形 APBGDC的Moqueil點。在幾 何畫板中構造該點，并重復前述變化過程，可發現 猜想成立，證明略.3.結束語筆者堅信，作為基礎數學教育的一個分支，競賽數學必須要遵循數學教學 的一般規律。在目前數學改革的背景下，競賽數學教學也應當與時俱進的進行教 學方法的改革，決不能再使用那種“超前學習，題海訓練”的填鴨式教學方法。 同時，競賽數學的教材也應當進行相應的改革， 盡量增加教材的趣味性，便于教 和學。當然，凡事過猶不及。首先，競賽數學的一個目標是培養學生更強的（相 對非奧數學習者）抽象思維能力和空間想象能力，過度強調增加數學史、數學實