1、初三數學圓的綜合的專項培優易錯試卷練習題附答案一、圓的綜合1 .已知？ABCD的周長為26, /ABC=120°, BD為一條對角線， 。內切于ABD, E, F, G 為切點，已知。的半徑為 J3.求？ABCD的面積.【答案】20 3【解析】【分析】首先利用三邊及。的半徑表示出平行四邊形的面積，再根據題意求出AB+AD=13,然后利用切線的性質求出 BD的長即可解答.【詳解】設。分別切4ABD的邊AD、AB、BD于點G、E、F;平行四邊形ABCD的面積為S;貝U S=2Sabd=2 J (AB OE+BDOF+ADOG)=V3 ( AB+AD+BD);2 平行四邊形 ABCD的周長

2、為26,.AB+AD=13,，S= , 3(13+BD)；連接 OA；由題意得：/ OAE=30 , .AG=AE=3;同理可證 DF=DG BF=BE . DF+BF=DG+BE=13 3-3=7,即 BD=7, .S=73 (13+7) =20 技即平行四邊形 ABCD的面積為20 J3.2.如圖，在直角坐標系中，已知點 A(-8, 0), B(0, 6),點M在線段AB上。(1)如圖1,如果點M是線段AB的中點，且OM的半徑等于4,試判斷直線 OB與。M的位置關系，并說明理由;(2)如圖2, OM與x軸，y軸都相切，切點分別為 E, F,試求出點 M的坐標;(3)如圖3, OM與x軸，y

3、軸，線段AB都相切，切點分別為 E, F, G,試求出點M的 坐標(直接寫出答案)【答案】(1) OB 與。M 相切；(2) M (今，24)； ( 3) M ( 2, 2)【解析】分析：(1)設線段OB的中點為D,連結MD,根據三角形的中位線求出 MD,根據直線和 圓的位置關系得出即可；(2)求出過點A、B的一次函數關系式是 y= x+6,設M (a, - a),把x=a, y=-a代4入y=3x+6得出關于a的方程，求出即可.4(3)連接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,設 ME=MF=MG=r,根據S；aabC=1 AO?ME+1BO?MF + 1AB?MG=1 AO?BO求得 r=

4、2,據此可得答案.2222詳解：(1)直線OB與。M相切.理由如下：設線段OB的中點為D,如圖1,連結MD,點M是線段AB的中點，所以 MD / AO, MD=4,，/AOB=/ MDB=90 ；，MD，OB,點 D 在。M 上.又.點D在直線 OB上，直線 OB與。M相切；(2)如圖2,連接ME, MF,8kb 0.A (8, 0) , B (0, 6),，設直線 AB 的解析式是 y=kx+b,，解b 6得：k= , b=6,即直線AB的函數關系式是 y= x+644OM與x軸、y軸都相切，點M到x軸、y軸的距離都相等，即 ME=MF,設M(a, a) ( 8vav0),把 x=a, y=

5、a 代入 y=- x+6,得：a=- a+6,得：a=-4424 24、7724，點M的坐標為(-7(3)如圖3,連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,OM 與 x 軸，y 軸，線段 AB 都相切，ME，A。MF±BO> MG LAB,設ME=MF=MG=r,貝U S；aabc=-AO?ME+- BO?MF+-AB?MG=-AO?BO. 2222. A (-8, 0) , B (0, 6) ,，AO=8、BO=6, AB= 7AQBO2 =10，-r?8+-r?6+工r?10=°X6內8解彳導:r=2,即 ME=MF=2, 點 M 的坐標為(2,2222點睛：本題考

6、查了圓的綜合問題，掌握直線和圓的位置關系，用待定系數法求一次函數的 解析式的應用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解答此題的關鍵，注意：直線和圓有 三種位置關系：已知 。的半徑為r,圓心O到直線l的距離是d,當d=r時，直線l和。O 相切.3.如圖，OM與菱形ABCD在平面直角坐標系中，點 M的坐標為（3, - 1）,點A的坐 標為（-2, J3）,點B的坐標為（-3, 0）,點C在x軸上，且點D在點A的左側.（1）求菱形ABCD的周長；（2）若。M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移，同時菱形 ABCD沿x軸向右以每 秒3個單位長度的速度平移，設菱形移動的時間為 t （秒），當。M與BC相

7、切，且切點為 BC的中點時，連接 BD,求：t的值；ZMBD的度數；BD所在的直線的距離為 1時，求t的值.【答案】(1)8; ( 2)7 ;105° ; ( 3)t=6 -航或6+叵 3【解析】分析：（1）根據勾股定理求菱形的邊長為（2）如圖2,先根據坐標求 EF的長, 的值； 先求 / EBA=60 °,則 / FBA=120 °,再得 / MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ；（3）分兩種情況討論：作出距離MN和2,由所以可得周長為 8;EE - FE=EF=7,歹U式得：3t -2t=7,可得 tZMBF=45°,相加可

8、得:ME,第一種情況：如圖 5由距離為1可知：BD為。M的切線，由BC是。M的切線，得/MBE=30°,列式為3t+J3=2t+6,解出即可;第二種情況：如圖 6,同理可得t的值.詳解：（1）如圖1,過A作AE± BC于E.點 A 的坐標為(-2, J3),點 B 的坐標為(-3, 0) , .AE=J3, BE=3-2=1, AB= QE-BE2 = J( 73)2 12 =2.四邊形 ABCD是菱形，.-.AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周長=2 X 4=8(2) 如圖2, OM與x軸的切點為F, BC的中點為E. , M (3, T) , F (3, 0)

9、. . BC=2,且 E 為 BC的中點，E ( -4, 0), . EF=7,即 EE FE=EF, .-.3t-2t=7, t=7;由(1)可知：BE=1 , AE=V3,AE 3-tanZ EBA=73 ,，/ EBA=60 ,如圖 4, . / FBA=120 .BE 11 ,1 ,.四邊形 ABCD是菱形， . / FBD=/ FBA= 120 =60 .2 2BC是 O M 的切線，MF ± BC.F是BC的中點，.-.BF=MF=1,4BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ；°(3)連接BM,

10、過M作MN± BD,垂足為N,作MEXBCT E,分兩種情況： 第一種情況：如圖5./CBD=60 ：Z NBE=60 °.MN=1,，BD 為。M 的切線./DBC=60； ./NBE=120。.MN=1,，BD 為。M 的切線.四邊形ABCD是菱形，ZABC=120 °,點M與BD所在的直線白距離為 1,BC是 O M 的切線，/ MBE=30 °.ME=1,EB=73 ,3t+T3 =2t+6,第二種情況：如圖 6.四邊形ABCD是菱形，ZABC=120 °,點M與BD所在的直線白距離為 1, BC是 O M 的切線，/ MBE=60 &

11、#176;. ME=MN=1, .RtBEM 中,MEtan60 =,BEEB=-1 =3 ,tan 603.-3t=2t+6+,3t=6+;3M與BD所在的直線的距離為1 時，t=6 - V3 或 6+3綜上所述：當點0點睛：本題是四邊形和圓的綜合題，考查了菱形的性質、圓的切線的性質和判定、特殊的 三角函數值、等腰直角三角形的性質、動點運動問題，此類問題比較復雜，弄清動點運動 方向、速度、時間和路程的關系，并與方程相結合，找等量關系，求出時間t的值.4.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧Ab .1用直尺和圓規作出 Ab所在圓的圓心o；（要求保留作圖痕跡，不寫作法 ）2若AB的中點C到弦AB的距

12、離為20m, AB 80m ,求AB所在圓的半徑.【答案】（1）見解析；（2） 50m【解析】分析：1連結AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,根據垂徑定理的推論，由 C為AB的中點得1 一到 OC AB , AD BD 2AB 40 ,則 CD 20,設 e O 的半徑為 r,在 RtVOAD 中利用勾股定理得到r2 （r 20）2 402,然后解方程即可.詳解：1如圖1,點O為所求；2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,QC為AB的中點，OC AB ,1AD BD -AB 40,2設e O的半徑

13、為r,則OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2, 2_ _ 2_ 2r (r 20)40 ,解得 r 50,即Ab所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，在利用數學知識解決實際問題時，要善于把實際問題與數學中的理論知識聯系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題.5.如圖所示，以 RtABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點 D, E為BC邊上的中 點，連接DE.(1)求證：DE是。的切線；(2) -連接OE, AE,當/CAB為何值時，四邊形 AOED是平行四邊形？并在此條件下求 sin/CAE 的值.【答案】 見解析；

14、（2） _10.10【解析】分析：（1）要證 DE是。的切線，必須證 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90（2）要證AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點，又BD± AC,所以 ABC為等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.詳解：（1）證明：連接O、D與B、D兩點，.BDC是RtA ,且E為BC中點，/ EDB=Z EBD. （ 2 分）又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 , / EDB+Z ODB=90 : .DE是。O的切線.（2）解： / EDO=Z B=90°,若要四邊形AOED是平行四邊形，則 D

15、E/ AB, D為AC中點，又 ; BD± AC, .ABC為等腰直角三角形./ CAB=45 :過E作EHI±AC于H,設 BC=2k,則 EH=（k, AE=/5k,EH 10 sin / CAE .AE 10點睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心 和這點（即為半徑），再證垂直即可.6.某居民小區的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截 面的半徑.如圖，若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm,水最深的地方的高度為4cm,求這個圓形截面的半徑.【答案】10cm【解析】分析：先過圓心 O作半徑COL A

16、B,交AB于點D設半彳仝為r,得出AD、OD的長，在 RtA AOD中，根據勾股定理求出這個圓形截面的半徑.詳解：解：過點 。作OC，AB于D,交。于C,連接OB,.OCX AB .BD=-AB=- X 16=8cm22由題意可知，CD=4cm二設半徑為 xcm,則 OD= (x-4) cm在 RtA BOD 中,由勾股定理得：OD2+BD2=OB2(x4) 2+82=x2解得：x=10.答：這個圓形截面的半徑為 10cm.C點睛：此題考查了垂經定理和勾股定理，關鍵是根據題意畫出圖形，再根據勾股定理進行 求解.7 .問題發現.(1)如圖,RtABC中，ZC=90°, AC= 3, B

17、C= 4,點D是AB邊上任意一點，則 CD的 最小值為.(2)如圖，矩形 ABCD中，AB=3, BC= 4,點 M、點N分別在BD、BC上，求 CM+MN的 最小值.(3)如圖，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,點E是AB邊上一點，且 AE= 2,點F是BC邊 上的任意一點，把 4BEF沿EF翻折，點B的對應點為 G,連接AG、CG,四邊形AGCD的 面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時BF的長度.若不存在，請說明理由.B盟312【答案】(1) CD 一;(2) CM 5MN的最小值為.(3) 一252【解析】試題分析：(1)根據兩種不同方法求面積公式求解；(2)作C關于BD

18、的對稱點C ,過C作BC的垂線，垂足為 N ,求C N的長即可；(3)連接AC ,則Szgagcd Svadc Svacg, GB EB AB AE 3 2 1,則點 G 的軌跡為以 E 為圓心，1為半徑的一段弧.過 E作AC的垂線，與O E交于點G ,垂足為M ,由VAEM sVACB求得GM的值，再由S四邊形AGCDSVACDSVACG求解即可.試題解析：(1)從C到AB距離最小即為過 C作AB的垂線，垂足為 D ,cCD AB AC BCSVABC ，4 12,55DN NAC BC 3CD AB(2)作C關于BD的對稱點C，過C作BC的垂線，垂足為 N ,且與BD交于M ,則CM MN

19、的最小值為C N的長，設CC與BD交于H ,則CH BD ,12 VBMCsVBCD，且 CH , 5一24CCB BDC , CC5VC NCsVBCD ,CNCC BCBD2P96 ,25一一. 96即CM MN的最小值為25(3)連接 AC ,則 %AGCDSVADCSVACG ,GB EB AB AE 3 2 1 , 點G的軌跡為以E為圓心，1為半徑的一段弧.過E作AC的垂線，與。E交于點G ,垂足為M , VAEM sVACB ,EM AE 一，BC ACAE BC 248 EM 一,AC55-83GMEM EG-1一，55S四邊形 AGCD SVACD SVACG ,1 133 4

20、-5一,2 2515一.2【點睛】本題考查圓的綜合題、最短問題、勾股定理、面積法、兩點之間線段最短等知 識，解題的關鍵是利用軸對稱解決最值問題，靈活運用兩點之間線段最短解決問題.8.已知：BD為。的直徑，O為圓心，點A為圓上一點，過點 B作。的切線交DA的延 長線于點F,點C為。上一點，且 AB= AC,連接BC交AD于點E,連接AC.(1)如圖 1,求證：/ABF=/ABC；(2)如圖2,點H為。內部一點，連接 OH, CH若/ OHC=/HCA= 90°時，求證：CH=1DA;2在(2)的條件下，若 OH=6,。的半徑為10,求CE的長.21見解析；（2）見解析；（3）5【解析】

21、【分析】1由BD為e O的直徑，得到 DABD 90o，根據切線的性質得到C ABC ,等量代換即可得到ACOCOH ,根據等腰三角形ACBOCB ,根據相似三角形FBA ABD 90°,根據等腰三角形的性質得到 結論；2如圖2,連接OC,根據平行線的判定和性質得到 的性質得到OBC OCB , ABC CBO的性質即可得到結論；3根據相似三角形的性質得到膽膽2,根據勾股定理得到OH OCAD JBD2 AB2 16，根據全等三角形的性質得到 BF BE，AF AE，根據射影122 -定理得到AF 9 ,根據相交弦定理即可得到結論.161 Q BD為e O的直徑，BAD 900，D

22、ABD 90°，Q FB是e O的切線，FBD 900,FBA ABD 90°，FBA D ,Q AB AC ,C ABC ,Q C D ,ABF ABC；2如圖2,連接OC,丈Q OHC HCA 900,AC/OH ,ACO COH ,QOB OC ,OBC OCB,ABC CBO ACB OCB, 即 ABD ACO,ABC COH , Q H BAD 900,VABD sVHOC ,AD BD 八 2,CH OC-1CH - DA ；23 由 2 知，VABCs VHOC ,AB BD c 2, OH OCQOH 6, e O的半徑為10,AB 2OH 12, BD

23、20,AD .BD2 AB2 16, 在VABF與VABE中，ABF ABEAB AB , BAF BAE 90oVABF VABE ,BF BE, AF AE,Q FBD BAD 900, AB2 AF AD )AFAEDE12216AF9 ,9,7, be Jab2 ae215,Q AD ， BC交于 E,AE DE BE CE ,“ AE DE 9 7 21CE BE 155本題考查了切線的性質，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性 質，平行線的性質，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.9.如圖，AB是。的直徑，弦BC= OB,點D是ACi一動

24、點，點E是CD中點，連接BD 分別交OC, OE于點F, G.(1)求/ DGE的度數；/C、什CF 1+BF鉆/古(2)右=，求的值；OF 2 GFCFS1(3)記CFB, 4DGO的面積分別為S2,若 一=k，求二 的值.(用含k的式子表OFS2示)_7 S k2 k 1【答案】(1)/DGE= 60 ; (2)一; (3)=-_k-1 . 2S2k 1【解析】【分析】(1)根據等邊三角形的性質，同弧所對的圓心角和圓周角的關系，可以求得 /DGE的度數；(2)過點F作FHI±AB于點H設CF= 1,則OF=2, OC= OB= 3,根據勾股定理求出 BF的 BF.長度，再證得 F

25、G8 4FCB進而求得 的值；GF(3)根據題意，作出合適的輔助線，然后根據三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表不出的值.S2解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；，1 / CDB= ZCOB= 30 ,2. OC= OD,點E為CD中點, OEXCD),/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ；(2)過點F作FHAB于點H 設 CF= 1 ,貝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 ° OH= 1OF=1,2 .HF=OH=百，HB= OB- OH=2, 在 RtA BHF 中，BF JhB2HF2 百， 由 OC= OB, /COB= 60&#

26、176;得：/OCB= 60°, 又 ZOGB= / DGE= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB, .,.FGOAFCB,.OF GFBF CF '2GF=yy，BF 7, -一GF 2過點F作FHAB于點H,設 OF= 1,則 CF= k, OB= OC= k+1, / COB= 60 ;-11 OH = OF=一,22 .HF= ，30H3 , HB=OB-OH=k+1 ,在 RtBHF 中，BF= VHb"_HF7 Jk2 k 1， 由(2)得：AFGOAFCB.GO OF_GO 1一，即 2/ 2)CB BF k 1 k

27、 k 1.GO過點C作CP，BD于點P / CDB= 30 °一1 PC= CD, 2 點E是CD中點，一 1 一 "DE= - CD2PC= DE, .DEXOE,_SL _ BFk2 k 1【點睛】S2 - GO圓的綜合題，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形相似和 勾股定理、數形結合的思想解答.10.如圖，4ABC內接于OO, /BAC的平分線交。于點D,交BC于點E ( BE> EQ , 且BD=28.過點D作DF/ BC,交AB的延長線于點F.(1)求證：DF為。的切線；(2)若/BAC= 60。，DE=",求圖中陰影部分的

28、面積.【答案】(1)詳見解析；(2) 96-2兀.【解析】【分析】(1)連結OD,根據垂徑定理得到 OD，BC,根據平行線的性質得到 ODLDF,根據切線的 判定定理證明；(2)連結OB,連結OD交BC于P,作BHLDF于H,證明OBD為等邊三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2J3,根據勾股定理求出 PE,證明AABEAAFD,根據相似三角形 的性質求出AE,根據陰影部分的面積 =4BDF的面積-弓形BD的面積計算.【詳解】證明：(1)連結OD, AD 平分 / BAC交。于 D,Z BAD=Z CAD,bd = Cd ,ODXBC,1. BC/ DF, ODXDF, .DF為。O

29、的切線；(2)連結 OB,連結 OD交BC于P,作BHXDFT H, / BAC=60 ,° AD 平分 / BAC/ BAD=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 ,° .OBD為等邊三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=2a/3 ,/ BDF=30 ；1. BC/ DF,/ DBP=30 ；1在 RtDBP中，PD=- BD=73 , PB=V3PD=3,在 RtDEP 中，PD=y3 , DE=77, .PE=(/7)2 ( ；3)2 =2, .OPXBC,BP=CP=3.CE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEC, .BD&

30、;MCE.AE: BE=CE DE,即 AE: 5=1 :4，.-.AE=5Z7. BE/ DF,5DF5.7 不12 5，7.ABEAAFD),BE AE，即DF AD解得DF=12,在 RtBDH 中，BH=1BD=V3,，陰影部分的面積二 BDF的面積-弓形 BD的面積=4BDF的面積-(扇形 BOD的面積- BOD的面積) =1 12&60(2扃 昱(2場2 =9百-2兀23604【點睛】考查的是切線的判定，扇形面積計算，相似三角形的判定和性質，圓周角定理的應用，等邊三角形的判定和性質，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關鍵.11.如圖1,是用量角器一個角的操作示意圖，量

31、角器的讀數從M點開始(即M點的讀數為0),如圖2,把這個量角器與一塊 30° (/CAB= 30°)角的三角板拼在一起，三角板的 斜邊AB與量角器所在圓的直徑 MN重合，現有射線 C繞點C從CA開始沿順時針方向以每 秒2°的速度旋轉到與 CB,在旋轉過程中，射線 CP與量角器的半圓弧交于 E.連接BE.(1)當射線CP經過AB的中點時，點E處的讀數是 ,此時4BCE的形狀是； (2)設旋轉x秒后，點E處的讀數為V,求y與x的函數關系式；(3)當CP旋轉多少秒時，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0<x&l

32、t;45 ； ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根據圓周角定理即可解決問題；ZAOE= 2 / ACE(2)如圖2-2中，由題意ZACE2x, Z AOE y,根據圓周角定理可知 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分兩種情形分別討論求解即可；【詳解】解：(1)如圖2- 1中，. /ACB= 90 °, OA= OB, ,-.OA=OB= OC,/ OCA= / OAC= 30 °,/ AOE= 60 ；，點E處的讀數是60 : / E= / BAC= 30 °, OE= OB, / OBE= ZE= 30 ；/ EBC= / OBE

33、+ZABC= 90 °,.EBC是直角三角形；故答案為60。，直角三角形；(2)如圖2 2中， . /ACE= 2x, /AOE= y, / AOE= 2/ACE, . y= 4x (0蟲w 45 .(3)如圖2-3中，當EB= EC時，EO垂直平分線段 BC,- . AC± BC,. EO/ AC,/ AOE= ZBAC= 30 ;1 。- ./ ECA= /AOE= 15 :2.x=7.5.若2 4中，當BE= BC時,易知 / BEC= / BAC= / BCE= 30°,/ OBE= / OBC= 60 ；- .OE= OB,- .OBE是等邊三角形，/

34、BOE= 60 °,/ AOB= 120 ；-1 / ACE= - ZACB= 60 ,.x=30,綜上所述，當CP旋轉7.5秒或30秒時，4BCE是等腰三角形；【點睛】本題考查幾何變換綜合題、創新題目、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.12.如圖，四邊形 ABCD內接于。O, /BAD=90°, AD、BC的延長線交于點 F,點E在CF 上，且/ DEG=Z BAC.(1)求證：DE是。的切線；【解析】 【分析】(1)先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出 BD± DE,即可得出結論；(2)

35、根據余角的性質和等腰三角形的性質得到ZF=Z EDF,根據等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根據勾股定理得到 CD JDE Z BAF=Z BDE=90°,Z F+Z ABC=Z FDEZ ADB=90°.AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FDE, ，DE=EF=3.,. CE=2, /BCD=90； Z DCE=90 ； . . CD JdE2CE2 R / BDE=90 ； CD± BE,/ DCE=Z BDE=90 CE2 后證明CD上DBE,根據相似三 角形的性質即可得到結論.【詳解】(1)如圖，連接BD. ./BAD

36、=90；，點 O 必在 BD 上，即：BD 是直徑，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / DEC=Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90.乙 BDE=90 :即：BD± DE.點D在。O上，DE是。的切線； CD BD5 3 3 5，一 / DEG/BED, .CD&DBE . ,/. BD N. .OO 的半CE DE22徑3_54本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質，切線的判定，勾股定理， 求出DE=EF是解答本題的關鍵.13.如圖，在RtABC中,/ ACB=60°

37、;,。是4ABC的外接圓，BC是。O的直徑，過點B作。O 的切線BD,與CA的延長線交于點 D,與半徑AO的延長線交于點 E過點A作。O的切線AF, 與直徑BC的延長線交于點 F.連接EF,求證:EF是。O的切線；(2)在圓上是否存在一點 P,使點P與點A,B,F構成一個菱形 有存在，請說明理由.【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析【解析】【分析】(1)過。作OMLEF于M,根據SAS證明OAFOBE,從而得到 OE=OF再證明EO平分 /BEF,從而得到結論；(2)存在，先證明 OAC為等邊三角形，從而得出 /OAC=/AOC=60°再得到AB=AF,再證 明AB=AF=F

38、P=BP從而得至IJ結論.【詳解】證明:如圖，過。作OMLEF于M,. OA=OB,Z OAF=Z OBE=90，/ BOE=Z AOF, .,.OAFAOB.OE=OF,EOF=Z AOB=120 ;:/ OEM=/ OFM=30 :/ OEB=Z OEM=30 :即 EO平分 / BEF又/ OBE=Z OME=90°,：OM=OB,：EF為。O的切線.(2)存在.BC為。O的直徑，:/ BAC=90 ;/ ACB=60 :/ ABC=30 :又 / ACB=60°,OA=OC: OAC為等邊三角形，即/ OAC=Z AOC=60 ;.AF為。O的切線，:/ OAF=9

39、0 :/ CAF=Z AFC=30 ；：/ ABC=Z AFC：AB=AF.當點P在(1)中的點M位置時，此時/OPF=90°,:/ OAF=Z OPF=90 ,又OA=OPQF為公共邊,.-.OAFAOPF,：AF=PF/ BFE=Z AFC=30 :1又歹/ FOP=Z OBP=Z OPB=30°,：BP=FP：AB=AF=FP=BP:四邊形AFPB是菱形.【點睛】考查了切線的判定定理和菱形的判定，經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線, 直即可.已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂14.如圖，已知ABC,為圓心，AD為半徑

40、畫圓,AB=y2，bc 3,與邊 AC交于點E,/B=45,點D在邊BC上，聯結 AD,以點A點F在圓A上，且AF± AD.(1)設BD為x,點D、F之間的距離為V,求y關于x的函數解析式，并寫出定義域;(2)如果E是DF的中點，求BD:CD的值；聯結CF,如果四邊形 ADCF是梯形，求BD的長.8/、_二_ "(3)45BD的長是1或1+-5 .2(1)過點 A作AHBC,垂足為點 H.【答案】(1) y= J4- 4x+ 2x2 (0 wxW3);【解析】 【分析】(1)過點A作AHLBC,垂足為點H.構造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長度.聯結 DF

41、,點D、F之間的距離y即為DF的長度，在RtADF中，利用銳角 三角形函數的定義求得 DF的長度，易得函數關系式.(2)由勾股定理求得： AC=JA甲市三.設DF與AE相交于點Q,通過解RDCQ和DQ 1RtA AHC推知-.故設DQ=k, CQ=2k, AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DCCQ 2的長度，結合圖形求得線段BD的長度，易得答案.(3)如果四邊形 ADCF是梯形，則需要分類討論：當AF/ DC 當AD/ FC.根據相似三角形的判定與性質，結合圖形解答.【詳解】/ B=45 ； AB=V2, . BH AH AB cosB 1. BD 為 x, ，DH在RtAADH 中，AHD 90，ad Jah2dh2 J2 2x x2 - 聯結DF,點D> F之間的距離y即為DF的長度.點 F在圓 A上，且 AF±AD,AD AF , ADF在 Rt ADF