1、數學教師的“三項基本功”鄭毓信（2012）簡介 1965年畢業于江蘇師范學院數學系；曾在中學長期任教；現為南京大學哲學系教授、博士生導師。1992年起享受政府特殊津貼。 主要研究領域：數學哲學；科學哲學；數學教育與科學教育。 已出版著作28部，發表論文300多篇。背景：課改十年的必要總結與反思 聚焦教學觀摩：“外行看熱鬧，內行看竅門。” 更為一般的結論：“立足專業成長，關注基本問題。”（2010） 進一步的思考：一線教師如何實現自己的專業成長？問題的細化 數學教師是否應當具有自己特殊的基本功？ 數學教師的三項基本功：（1）善于善于舉例； （2）善于善于提問；（3）善于善于比較與優化。一些具體工

2、作鄭毓信，“數學教師的三項基本功”，人民教育，2008年第18、19、20期連載，并已被收入“人民教育創刊60周年系列叢書”。鄭毓信，數學教師的三項基本功，江蘇教育出版社，2011 基本定位 “三項基本功”集中地反映了數學與數學教學（教育）的特殊性。 “三項基本功”并非單純的技能，而是專業能力的集中表現；特別是，就只有聯系深層次的教學思想和教育思想我們才能真正理解它們的內涵和意義。 我們并應依據自己的個性特征創造性地加以應用。 一、一、“善于舉例善于舉例”與數學教學與數學教學從“什么是數學”談起？一個基本論點：“數學：模式的科學”（mathematics：the science of patt

3、erns）數學所反映的不是某一特定事物或現象的量性特征，而是一類事物或現象在量的方面的共同性質。 進一步的分析 數學基本特性：抽象性。 “善于舉例”的兩個具體涵義：（1）如何能為抽象的數學概念舉出適當的實例？（2）如何能夠幫助學生由具體實例抽象出相應的數學概念？插入：學習心理學研究的相關結論 “概念定義”與“概念意象”的必要區分。概念意象的多元性：它“由所有的相關實例、反例、事實和關系組成。”（維納與赫什科威茲，1980）（1）什么是“適當的例子”？ 標準之一：相對于學生的可接受性； 標準之二：典型性，即是能為相應的數學抽象提供必要的基礎。 這方面的一個基本事實：舉例并非一件易事。例1 “范例

4、教學法”（R. Davis) 為了幫助學生掌握負數的概念，特別是有理數的運算（如4 - 10 = ?），教師采用了一個裝有豆子的口袋，再在桌上擺上一些豆子。 教師先在口袋中裝入4 棵豆子，同時在黑板上記下“4”這樣一個數字；然后從口袋中拿出10棵豆子，這時黑板上就出現了“4 - 10”這樣一個算式。 教師接著提問：（1） 現在口袋里的豆子與一開始相比是變多還是變少了？（2） 少了多少？ 相關的分析 這些實物和動作對于學生來說都是十分熟悉的。 好的“認知基礎”并應具有這樣的性質：它能“自動地”指明相關概念的基本性質或相關的運算法則。這就是指，借助于這一實例學生可以順利地作出相應的發現。如學生在此

5、顯然就可借助所說的實例順利地實行 4 - 10、5 8等運算，而無須依賴于對相應法則的機械記憶。例2 “植樹問題”的教學 如何看待“植樹問題”的教學？特別是，這一問題所發揮的究竟是案例的作用，還是其本身就體現了一些十分重要的規律？ 我們在教學中應當更加關注如何能以“植樹問題”為背景抽象出普遍的數學模式：“分隔問題”。 （2）如何幫助學生由實例抽象出相應的數學概念？ 關鍵之一：去情境； 教學辯證性與藝術性：范例的作用與必要的抽象； 相關理論：“變式理論”（“概念變式”）。 核心思想：如何通過適當的變化與比較幫助學生掌握概念的本質。“概念變式”的主要內容：（1）“標準變式”與“非標準變式”： 教學

6、中不應局限于平時經常用到的一些實例，而應有意識地引入一些“非標準變式”，從而就可防止學生將相關實例的一些非本質特性誤認為概念的本質特性。（2）“概念變式”與 “非概念變式”：“非概念變式”大致地就相當于“反例”，這也就是指，除去“正例”以外，我們在教學中還應給出若干“反例”，這樣通過對照就可幫助學生更好掌握概念的本質。例 “認識分數” 引入：“分蛋糕”。教師并通過簡短討論引出了這樣一個結論：“將一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2。” 問題：如何以“變式理論”（概念變式）為指導設計教學從而幫助學生較好掌握分數的本質？（1） 分割的對象顯然未必一定要是蛋糕，也可以是紙片或別的什么東西；對于分割

7、對象的外形我們也不應作任何限制：它們既可以是圓形，也可是方形或任何其它形狀。（2）對分割方法也可作出一定變化。如就長方形紙片的分割而言，可以橫著折，也可以豎著折，還可鈄著折；另外，除去各個“正例”以外，我們也應引入一定的“反例”，如按照中位線分割的梯形等 （3）作為進一步的抽象，我們又應由1/2逐步擴展到1/3，1/4，乃至2/3，3/4，。從而，如果仍然集中于“將一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2”這一論述，我們就可以說，除去分割的對象與方法以外，我們也應對“平均分成兩份”中的“兩份”以及所說的“每份”作出適當變化。（4）這事實上也可被看成“非標準變式”的一個實例，即分配的對象也可以是2

8、個蛋糕、3個蛋糕，而未必一定要是1個蛋糕容易看出，這一變化事實上也就意味著我們已經將分析的著眼點由“（平均）分配”這一實際活動轉移到了部分與整體之間的關系，后者并就意味著對于分數本質更為深入的認識。回顧：如何幫助學生由具體實例抽象出相應的數學概念？ 關鍵：通過適當的變化與比較幫助學生掌握相關概念的本質。新的重要發展：由“變式理論”到“多元表征理論” 傳統的研究：主要集中于如何幫助學生很好地掌握概念的本質（單一性）。 新的認識：更加強調概念內在表征（概念意象）的多元性，以及各方面的必要互補與思維的靈活性一些相關的提法 布魯納（1964）的三種意象形式：動作的、圖像的，和符號的； Lesh &am

9、p; Laudan（1983）的“五個維度”：實物操作，圖像，日常語言，符號語言、現實情景。 相應的結論 我們既應高度重視由實例向概念嚴格定義的必要過渡，又應適當地“淡化形式”，高度重視認識活動的復雜性（多元性）與整合性。具體的教學建議（1）形象化的描述與嚴格定義的必要互補。 除去實際操作與情境設置以外，教學中還應十分重視“概念的形象化（視覺化）”，如比喻和手勢的適當應用，適當的圖象表示，等等。 關于“方程”的三個比喻：天平，架橋，網。相關的論述 “教師用手勢說明自己的表征；或者使用空間表征，比如代數學習中的箭頭說明自己的表征；教師并有意識地促使學生建構和運用表征；教師要求學生以手臂、手指或身

10、體移動等展現表征的肌體運動；”（普雷斯梅杰，2006）（2）抽象思維與具體思維的必要互補 一個很好的經驗：“在做小研究時，學生一定要找到一個最根本、最具體、最直接的例子，然后把這個例子帶進課堂進行展示，大家交流、拓展。”（深圳市沙河小學關于“前置小研究”的經驗之一，人民教育，2012年第9期）（3）日常語言與數學語言的必日常語言與數學語言的必要互補要互補 教學中不應停留于嚴格的數學語言，而應注意應用日常語言對相關內容作出必要的解釋，并要求學生用自己的語言說出對數學概念的理解，甚至是感受。 關鍵：我們既應對學生的非正規解釋持接受與理解的態度，同時又應注意維護數學的正式意義。 例 正方形的認識 教

11、師：“什么是正方形？” 學生：“方方正正就是正方形。” 教師：“什么是方方正正？” 學生：“就是四邊相等。” 教師在黑板上畫出菱形，問：“這個圖形是否是正方形？” 學生：“不是，因為它不正。” 教師又在黑板上畫一個矩形，問：“這是否正方形？” 學生：“不是！因為這個圖形不方。” 教師將學生回答得正確的結論寫在黑板上，回答不正確的不寫，最后加以補充總結，抽象出正方形的定義。（4）操作性認識與結構性認識的必要互補 當前應當加強的環節：活動的內化；由操作性認識向結構性認識的必要過渡。 相關的論述：“對概念教學，課改以后更為強調概念的生成，這是正確的。但不能忽視對概念本身的分析，這可是基本功。”（陳永

12、明，2008）更為一般的分析 概念教學的不同環節：（概念的）生成、分析與組織。 相關的論述：“為了理解一個概念，一般說，一是正反舉例；二是扣住定義的關鍵詞語；三是注意特殊情況；四是與有關概念進行比較，找出概念的區別和聯系。” （陳永明，2008）一個相關的問題：什么是“數學活動”？數學活動的兩個基本形式：（1）概念的生成、分析與組織；（2）問題的提出與解決。舉例與“問題解決” “解決問題時，必須通過提供相關案例向學習者提供他們不具備的經驗通過在學習環境中展示相關案例，向學習者提供了一系列的經驗和他們可能已經建構的與這些經驗有關的知識，以便與當前的問題進行對比。”（喬納森 ）相關的經驗 “我提倡

13、一題一課，一課多題一節數學課做一道題目，以一道題為例子講解、變化、延伸、拓展，通過師生互動、探討、嘗試、修正，最后真正學到的是很多題的知識。”（李成良，2010）更為一般的主張 “雙基教學”的必要發展：基本技能，不應求全，而應求變；基礎知識，不應求全，而應求聯。例 回到“植樹問題” 問題：教學中是否應當特別重視“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”這樣三種情況的區分，并要求學生牢牢地記住相應的計算法則（“加一”、“不加不減”、“減一”），從而在面對新的類似問題時就能不假思索地直接應用？有益的思考 就“植樹問題”而言，在現實中是否真的只有“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”這樣三種情況

14、？ 對于其它的可能情況我們是否也應要求學生總結出相關類型，并牢牢記住相應的“規律”（“加二”、“減二”、“乘二”、“除二”）？ 不同的結論 所謂的“加一”、“減一”等法則都是針對具體情況作出的變化從而，在此所需要的就不是“規律的應用”；而是思維的靈活性，也即如何能夠通過基本模式的適當變化適應變化了的情況。 回顧：基本法則的學習，不應求全，而應求變！ 插入：一個“反例” 教學中的“病態現象”（施銀燕，小學教學，2011年第4期）：“小明踢球，從3時踢到5時，他踢了幾小時？”我的孩子有得3小時的，通過數數就能檢驗出是錯誤的，他們卻深信不疑：我們學過植樹問題，5-3+1=3。”小結 “善于舉例”有利

15、于實現“理解學習”。 相關研究不應局限于如何能夠針對具體內容選擇出適當的“例子”，也應十分重視如何很好地去處理數學的形式方面與非形式方面之間的關系。 基本技能的學習，不應求全，而應求變。二、“善于提問善于提問”與數學教學與數學教學1 . “問題”對于數學和數學教學的特殊重要性。（1）數學發展的基本模式：問題問題解決新的研究問題 這就是指，“問題”可以被看成數學研究的實際出發點。一個相關的現象 每個數學分支都具有自己特殊的基本問題，相應的理論正是圍繞這些問題得到建立的。（2）從教學教學的角度看 教學活動實現”雙中心”的關鍵。 中國數學教學的一項優秀傳統：“教師試圖獲得一種平衡，教學也就變得既以學

16、生為中心又以教師為中心。”（ 馬飛龍， “什么是好的教學？”，人民教育，2009年第8期） 國際上的相關研究 “那些自詡為絕對真理的建議，無論認為教學應當完全以學生為中心，還是認為教學應當完全由教師主導，都得不到研究的支持，因此不應當遵循。采取何種教學方法應當根據具體情況來決定。”（美國數學咨詢委員會最終報告）進一步的思考 在教學中如何才能真正做到既尊重學生在學習活動中的主體作用，同時又能充分發揮教師的主導作用？相關的經驗 “河南省濮陽市第四中學教學改革紀實” （人民教育，2009年第6期） ：“老師和學生都應以問題為中心進行雙向的互動，實現雙主體的雙互動。” “遼寧省調兵山市教育內涵發展紀實

17、”，人民教育，2011年第20期）：“2003年教育局提出以問題為中心設計課堂教學， 經過8年摸索和實踐，形成教學模式，2011年正式命名為問題引導教學法。”結論：數學教學中的“問題導引” 教師在教學中應當善于提出既有一定挑戰性、同時又與學生的認知水平相適應的問題，從而很好調動學生的好奇心，并能積極地去進行學習，包括深入地進行思考和探究。應當注意的問題（1）這里所說的“問題”并不只是指源自實際生活的問題，也包括其它方面的問題，以及源自數學本身的問題。相對于簡單地去提出問題而言，我們在教學中更應注意“問題情境”的創設。相關的論述 “問題情境在下述的意義上是與傳統的問題很不相同的：一個問題情境既不

18、能被等同于問題本身，也不能被等同于如何在教室中對所說的問題作出說明，它還包括了教師關于在課堂上如何去組織這一問題的求解以及如何對相關解答進行驗證的構思。從而，這就可看成問題與教學情境的一個組合”；“問題情境的目的在于促進學生對于新的知識的建構。”（安提卡）（2）以“大問題”為導向的數學教學 中國數學教學的現實：中國的數學教師往往特別重視課堂提問，但現實中又普遍存在“問題”多而不精的弊病。新的努力方向 與“問題”多而不精的情況相對照，教學中應當突出主要問題、關鍵問題。 一項有意義的研究：“以大問題為導向的數學教學”（黃愛華）教學中的關鍵 我們在教學中如何能夠很好地去處理教學的“預設性”與“生成性

19、”之間的關系，也即使得所說的主要問題真正成為學生自己的問題，包括針對學生的具體情況作出必要的調整？例1 “異分母分數加減法”的教學（吳正憲） 教師出示了這樣3道題：1/4 + 7/12=？ 1/4 + 5/6=？ 1/4 1/7=？請同學們試做。 學生做完訂正后，老師又提了這樣幾個問題：問題1：這3道題同學們都把異分母轉化為同分母分數，轉化時要注意什么？問題2：轉化的目的是什么？問題3：通過計算，你認為異分母分數加減法的計算方法是什么？問題4：在計算時要注意什么問題？例2 “百分數的意義”的教學（黃愛華） 教學中教師首先要求學生自由地提出各種與百分數直接相關的問題；但與“放任自流”不同，教師通

20、過對學生提出的問題進行梳理歸納出了以下幾個問題：問題1：什么是百分數的意義？問題2：百分數有什么好處？問題3：在什么情況下用百分數？問題4：百分數與分數比較有什么不同？分析與思考 當前的常見做法：首先要求學生自由地提出問題，然后再由教師進行歸納梳理，從而引導學生集中到主要問題之上。 關鍵：我們究竟應當如何去理解“使問題真正成為學生自己的問題”？2.“善于提問”與幫助學生學會數學地思維 改進數學教學的一個重要方向。 當前應當特別強調的一個環節：數學教學的重點并不在于教會學生如何去做，而應更加重視如何去想！ 數學思維的具體表現：一些定型的問題與策略（“數學啟發法”）。必要的學習（聚焦“問題解決”）

21、 走近波利亞：“問題解決”現代研究的主要奠基者。 主要工作：“數學啟發法” （解題策略）的研究 代表性著作：怎樣解題；數學的發現；數學與猜想。 實質：“一些定型的問題和建議”。數學思維學習的關鍵 數學思維的學習，不應求全，而應求用。 這也正是幫助學生學會數學地思維的關鍵所在：身傳言教。相關的論述 “教師的工作是通過向學生問他們應當自己問自己的問題來對學習和問題解決進行指導。這是參與性的，不是指示性的；其基礎不是要尋找正確答案，而是針對專業的問題解決者當時會向自己提出的那些問題。”（巴拉布與達菲）例 “找次品問題”的教學問題：如果243個產品（螺絲釘）中有一個次品（較輕），用天平至少稱幾次能保證

22、將把它找出來？ 求解這一問題的關鍵：特殊化方法的適當應用。 問題的具體化 我們在此究竟應當如何通過n的適當選擇來逐步解決這一問題？ 前提：問題的適用變形：“如果n個產品（螺絲釘）中有一個次品（較輕），用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？”）一些相關的問題 應當如何去進行稱重？是兩個一組地去稱重、還是三個一組地去稱重，？ 我們是否應當逐一地去進行研究，也即依次地研究n=5、n=6、n=7、n=8等情況？ 就各種新的情況而言，我們又應如何去利用已有的經驗或知識？相關的策略思想 策略一：“三分”的合理性。（“不稱”有時也是一種“稱”。） 策略二：問題的適當歸類。（有時產品多一個、少一個并不會影響到最

23、終的答案。 策略三：應當充分利用已獲得的成果由簡到到繁地去開展研究。 策略四：思維的條理性。應當幫助學生跳出各個具體步驟并從整體上把握全部的解題過程。 相關的教學設計鄭毓信，“找次品問題與數學思維“，小學教學，2011年第7期鄭毓信，數學教師的三項基本功，江蘇教育出版社，第四章由實踐到理論特殊化方法的應用 （梅森） 由隨意的特殊化去了解問題； 由系統的特殊化為一般化提供基礎； 由巧妙的特殊化對一般性結論進行檢驗。教學的重點與難點 我們不應滿足于教師自身能夠通過數學思維的恰當運用成功解決這一問題，也應通過教學幫助學生真正理解相應過程的合理性，從而切實起到“幫助學生初步地學會數學思維”的作用。 小

24、結：“善于提問”的又一重要涵義 教師在教學中應當善于針對當時的情況提出具有啟發性的問題。 “啟發性”的基本涵義：既有一定的啟示意義，即是對于學生思維的發展具有一定的導向與促進作用；但又并非硬性的規范，而是有一定的開放性或自由度，從而就能給學生的獨立思考留下充分的空間。例 韋達定理的教學 兩種不同的提問方式和教學設計：（1）先列表讓學生填充，然后問：你認為根與系數有什么關系？ 方程 X1X2X1 +X2X1 X2X2X -12 = 0X2 6X +5 = 0X2 2X -35 = 0另一種提問方式（2）什么是一元二次方程的主要成分？在一元二次方程的根與系數可能存在什么樣的關系？如何去作出發現？又

25、應如何去證明？插入：谷超豪先生詩一首（1991） 人言數無味，我道味無窮。 良師多啟發，珍本富精蘊。 解題豈一法，尋思求百通。 幸得桑梓教，終生為動容。 3. 數學教育的更高追求：努力提高學生提出問題的能力 能否提出恰當的問題正是創造能力的一個重要表現。 現實情況：中國學生較為薄弱的一環。 結論：數學教學應當努力提高學生提出問題的能力。 兩個基本認識（1）“兩個能力”并重：應當同樣重視學生解決問題能力與提出問題能力的提高。（2）正如“解題策略”的學習，學生提出問題能力的提高也有一個后天學習的過程，我們并應深入地去研究相應的“提問策略”。例 “提問與“從眾”（祝家林） 相關信息：故事書每套12元

26、，連環畫每套15元，科學書每套18元。 原題：買5套故事書和2套連環畫，一共要付多少錢？ 解答：125+152=60+30=90（元） 教師：誰還能再提一個問題？（1）買3套故事書和5套連環畫，一共要付多少錢？ （2）買4套故事書和3套連環畫，一共要付多少錢？（3）買2套故事書和6套連環畫，一共要付多少錢？現實中的問題：（1）滿足于“簡單模仿”；（2）將“創新”等同于“標新立異”。回顧（2）正如“解題策略”的學習，學生提出問題能力的提高也有一個后天學習的過程，我們并應深入地去研究相應的“提問策略”。關鍵 教師在這方面應當發揮重要的指導作用，特別是，即應善于通過對于學生所提出的各種問題的及時評價

27、作出必要的引導；另外，教師在教學中也應切實起到“身傳言教”的作用。提出問題的具體策略 一般化。 求變（加大難度）。 反向思維（focus backward）例 回到“找次品問題” 原先的問題：如果243個螺絲釘中有一個次品較輕，用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？ 一般化：如果n個螺絲釘中有一個次品較輕，用天平至少稱幾次能保證將把它找出來？求變（1） 如果事先只知道“次品重量不一樣”，而不是“次品較輕”，結果有什么不同？（2）如果事先知道有兩個次品，而不是只有一個次品較輕，結果有什么不同？例 “反向思維”的應用 相關信息：故事書每套12元，連環畫每套15元，科學書每套18元。 原題：買5套故事

28、書和2套連環畫，一共要付多少錢？ 新的問題：一個學生帶了90元錢來買書，如果要求將90元錢全部花完，他應當如何購買？更多的變化 如果要求將90元錢全部花完，能否全部買故事書？能否全部買連環畫或科學書？ 如果要求將90元錢全部花完，如何搭配可以買最多的書；如何搭配買的書最少？小結 “善于提問”的基本意義之一即是有利于學生學會數學地思維。 這并直接關系到了教學中如何能夠很好調動學生的學習積極性，真正實現教學活動的“雙中心”。“問題導引”的三個境界 教學工作的創造性：教學內容的“問題化”； 教學工作的藝術性：如何能使相關的問題真正成為學生自己的問題？ 更高的水準：學生所關注的已不只是原來的問題，所尋

29、求的也不再是單純意義上的解答。”（M. Lampert，1990） 三、“善于優化善于優化”與數學教學與數學教學 1. “優化”對于數學學習的特殊重要性。例1 單位數加法的三個不同水平第一 ，從頭數起（count all）；第二， “簡化的計數程序”：如從第一個加數“繼續往后數”。（count on）； 第三，已知事實的應用。例如，9+7=（9+1）+6=10+6=16 例2 算術方法到代數方法的比較 “四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛可是你要一引進代數方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做， 用不著天才人物想出許多招來

30、才能做，而且他可以騰飛。（吳文俊）例3 語言的必要改進 現代的符號語言： w2/5 - z3/3 + x2y4/27 中國的傳統方法： 五 三 二七 元二 人三 天二地四 從數學思維的角度看 數學家們總是不滿足于某些具體結果或結論的獲得，而是希望能夠獲得更為深入的理解，后者不僅導致了對于嚴格的邏輯證明的尋求，也促使數學家積極地去從事進一步的研究，如在這些看上去并無聯系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某個統一的數學結構等等；數學家們也總是希望能達到更大的簡單性和精致性，如是否存在更為簡單的證明？能否對相應的表述方式（包括符號等）作出改進？等等。 結論 應當明確肯定“優化”對

31、于數學學習的特殊重要性，反對放任自流。 “優化”的具體涵義：（1）顯性層面：方法的改進；結論的推廣；更好的表述方法的引入；（2）隱性層面，觀念的更新，新的品格的養成；更為深入的思考 什么是學生數學思維發展過程的主要形式，是“同化”還是“順應”？ 相關的論述：數學思維的發展同時包括“水平方向”上的發展與“垂直方向”上的發展。數學教學所應特別關注的一個問題 “數學的學習不是一個連續過程，它必須重新組織、重新認識，有時甚至要與以前的知識和思考模式真正決裂。” （M. Artique，2004）相關的歷史事實 從發現負數到把負數當作數來使用，其間差不多經過了整整500年； 從發現虛數到得到一般承認，中

32、間實際經歷了250年； 相應的思考 “學生主動探究”作為一種教學方法是否有其一定的局限性或適用范圍？ 我們又應如何看待“先學后教”這樣一種教學模式的普遍意義？一般性的結論 數學學習主要是一個文化繼承的過程，我們更應清楚地看到數學思維與相應的“情感、態度與價值”的后天獲得性，教師并應在這一過程中發揮重要的作用。 應當更為全面和深入地認識數學中“優化”的具體涵義。例 學生的“規律性錯誤” 有理數乘除法教學中經常可以看到的一個現象：盡管兩個問題具有完全相同的數學結構，學生卻采用了不同的運算去進行求解：（1）某種奶酪的售價為每公斤28元，5公斤這樣的奶酪售價是多少？（2）某種奶酪的售價為每公斤27.5

33、元，0.92公斤這樣的奶酪售價是多少？ 分析 大多數學生正是通過先前的學習逐漸形成了關于乘除運算的一些觀念，特別是，由于學生在開始學習乘除法時所接觸到的都是自然數，因此就很容易形成以下的觀念：“乘法總是使數變大，除法則總是使數變小。” 相關的結論 這正是數學教學中所說的“優化”的一個重要涵義：我們應當幫助學生及時糾正各種不恰當或錯誤的觀念，包括對知識與認知結構等作出必要的調整與發展。 2. 教學中如何實現“優化”？ 關鍵：如何能夠使得“優化”真正成為學生的自覺行為，而不是外部的強制規范。例1 “問題解決”的教學（解題策略：畫圖）問題：動物車展，第一天賣了65輛車，第二天銷量增加了1/5，問：第

34、二天賣了多少？教學重點：畫圖策略教學中的常態 首先要求各個學生相對獨立地通過畫圖去求解問題 其次，為了實現學生間的積極互動，教師通常又會要求一些學生向全班展示自己的畫圖方法。 問題：我們在課堂上是否應當讓盡可能多的學生向其它學生展示自己的畫法，如直接畫65個小圈，畫5個圈去代表65輛車，等等？教學中的常態 上來展示的學生越多，效果似乎就越差：大多數學生對于其它學生所采取的方法往往視而不見，根本不予關心，更不用說與自己的方法進行比較。 例2 用2-6的乘法口訣求商 教師出示問題：12個桃子，每只小猴分3個，可以分給幾只小猴？ 幾種不同的解決方法：（1）實物操作；（2）用乘法口訣求商；（3）采用“

35、連減”的方法；（4）采用“連加”的方法。教學實錄（片段四） 師：請小朋友看黑黑板，現在有這么多種方法來算123，你最喜歡哪種方法？生：我喜歡減法，因為它最特殊。師：不覺得它很麻煩嗎？生：不麻煩！師：誰再來說說，你最喜歡哪種方法？生：我最喜歡加法。師：為什么？生：因為我喜歡做加法，不喜歡做乘法。 師：（無奈地指著用乘法口訣求商的方法）有沒有喜歡用這種方法的？ 有少部分學生響應。 師：其實，用乘法口訣求商是最簡便的方法。以后我們做除法時，就用這種方法來做。回顧：教學中如何實現“優化”？ 關鍵：如何能夠使得“優化”真正成為學生的自覺行為，而不是外部的強制規范。 一些特別重要的環節：（1）多元化；（2

36、）比較；（3）反思。 進一步的分析 多元化應當被看成優化、特別是比較的必要前提。從而，我們在教學中就不應為了“多元化”而多元化，更不是越多越好！ 比較的主要功能：誘發反思與總結，從而就能自覺地實現優化。 教學中的關鍵 第一，加強比較； 第二，努力促進學生的反思與總結，從而使得優化真正成為學生的自覺行為。例1 “估算教學實錄”（吳正憲） 引入（1）：“青青和媽媽一起到超市購物，一共買了五種商品，媽媽帶了200元錢，不知夠不夠？”。 引入（2）：“曹沖稱象：六次稱石頭所得出的重量分別為328、346、307、377、398和352斤。大象大概重多少？”教學實錄 教師以實例為背景并通過實際估算和交流總結清楚地展示了估算方法的多樣性。 幾種不同的估算方法：生1采取了所謂的“小估”、即是往小里估的方法3006=1800；生2采取了大估、也即往大里估的方法： 4006=2400：也有學生（生3）堅持認為精確計算要比估算好。 教學實錄 師：“我們繼續研究，精確值是