1、第四課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用能力提升【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)2,5根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)3,4函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用1,6,7基礎(chǔ)鞏固(時(shí)間:30分鐘)1.(2018 河北邢臺(tái)第二次月考)已知f(x)=e x-ax2.命題p: ? a> 1,y=f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；命題q: ? a C R,f(x) & 0恒成立.則下列命題為真命題的是 (B )(A)p A q (B)(» Aq)(C)p)Aq (D)p A'q)解析：對(duì)于命題p:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=e x-x2,在同一坐標(biāo)系中作出y=ex,y=x2的圖象(圖略)，由圖可知y=ex與y=x

2、2的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以f(x)=e x-x2有1個(gè)零點(diǎn),故命 題p為假命題，因?yàn)閒(0)=1,所以命題q顯然為假命題.故(p) A (q)為真.2.(2018 貴陽(yáng)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,4,部分對(duì)應(yīng)值如表：x-10234f(x)12020f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f ' (x)的圖象如圖所示-5 -當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(D )(A)1(B)2(C)3(D)4解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)y=f(x)的大致圖象如圖所示由于 f(0)=f(3)=2,1<a<2, 所以y=f(x)-a 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.ax-

3、a3.若函數(shù)f(x)=+1(a<0)沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為aex (ax - 口把* - ax - 2)(x)=/= ex (a<0).當(dāng) x<2 時(shí),f ' (x)<0;當(dāng) x>2 時(shí),f ' (x)>0,a所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值f(2)= d + 1,a若使函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(2)= C2+1>0, 解之得a>-e2,因此-e2<a<0.答案：(-e 2,0)x2-ax-2的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,10:).a4.(2018 河北武邑中學(xué)第二次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)= 6求函數(shù)f(x)的單

4、調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2m+3 有3個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍10解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 6x3-4x2-ax-2的圖象過(guò)點(diǎn) A(4, 3 ),32a10所以？ -4a-4a-2= 3 ,解得 a=2,出1即 f(x)= |x3- x2-2x-2,所以 f ' (x)=x 2-x-2.由 f ' (x)>0,得 x<-1 或 x>2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-8,-1),(2,+ OO).1 15(2)由(1)知 f(x)極大<=f(-1)=- 3-2+2-2=-4E 16 f(x) 極小值 =f(2)= 3-2-4-2=-

5、 3 , 由數(shù)形結(jié)合，可知要使函數(shù)g(x)=f(x)-2m+3有三個(gè)零點(diǎn)，16則-<2m-3<713解得-Mm<12.朝，m的取值范圍為(-,).能力提升(時(shí)間：15分鐘)5.已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=q*+x,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e = 2.718 28 .證明：函數(shù)h(x)=f(x)-g(x) 在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)；(2)求方程f(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.證明：由題意可得h(x)=f(x)-g(x)=e x-1- :.-: -x.所以 h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3- . >0,所以 h(1)h(2)<0,所以

6、函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn).(2)解：由(1)可知 h(x)=f(x)-g(x)=e x-1-M|-x.由 g(x)= y+x 知 xC 0,+ 8),而h(0)=0,則x=0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn).又h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)在0,+ 8)上至少有兩個(gè)零點(diǎn).1414XXh' (x)=e x-2-1,記 (x)=e x-2-1,X則(x)=e x+1.當(dāng) xC (0,+ oo)時(shí),'(x)>0,因此(x)在(0,+ 8)上單調(diào)遞增，易知 (x)在(0,+ 8)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則h(x)在0,+ 8)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)=g(x)的根

7、的個(gè)數(shù)為2.6 .已知函數(shù) f(x)=e x+ax-a(a C R且 aw。).若f(0)=2,求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在-2,1上的最小值(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)由 f(0)=1-a=2, 得 a=-1.易知f(x)在-2,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)在-2,1上取得最小值2.(2)f ' (x)=e x+a,由于 ex>0.當(dāng)a>0時(shí),f ' (x)>0,f(x) 是增函數(shù)，當(dāng) x>1 時(shí),f(x)=e x+a(x-1)>0.IlJ當(dāng)x<0時(shí),取x=-",

8、1 1貝U f(-)<1+a(- -1)=-a<0.所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),不滿(mǎn)足題意.當(dāng) a<0 時(shí),f ' (x)=e x+a,令 f ' (x)=0,得 x=ln(-a),在(-8,in(-a)上,f ' (x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在(ln(-a),+8)上,f，(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=ln(-a)時(shí),f(x)取得最小值.函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(-a)=e1n(a) +aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得-e2<a<0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-e 2,

9、0).7 .已知函數(shù)f(x)=ax+1n x, 其中a為常數(shù).當(dāng)a=-1時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；11(2)當(dāng)0<-=<e時(shí)，若f(x)在區(qū)間(0,e)上的最大值為-3,求a的值;1當(dāng)a=-1時(shí)，試推斷方程|f(x)|=+ +2是否有實(shí)數(shù)根解:(1)由已知可知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閤|x>0,當(dāng) a=-1 時(shí),f(x)=-x+1n x(x>0),1 -xf ' (x)=(x>0);當(dāng) 0<x<1 時(shí),f ' (x)>0;當(dāng) x>1 時(shí),f ' (x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).1(2)因

10、為 f ' (x尸a+ *(x>0),1令 f ' (x)=0,解得 x=- 口；1由 f ' (x)>0,解得 0<x<- 口；1由 f ' (x)<0,解得-U<x<e.1從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,- Q),1遞減區(qū)間為(-,e),所以 f(x) max=f(- ：)=-1+ln(-除)=-3,解得a=-e2.(3)由(1)知當(dāng) a=-1 時(shí),f(x) max=f(1)=-1, 所以 |f(x)|>1.Inx 11 -令 g(x)= + +2,則 g，(x)= 工,當(dāng) 0<x<e 時(shí),g ' (x)&