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文檔簡介

1、此課件可編輯版,如對課件有異議或侵權(quán)的請及時聯(lián)系刪除!課件可編輯版,請放心使用! 7.3空間平面和空間直線空間平面和空間直線7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 7.3空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程 二、平面的方程二、平面的方程五、平面束方程五、平面束方程三、空間直線的方程三、空間直線的方程四、空間上點、直線、平面之間的位置關(guān)系四、空間上點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、曲曲面、曲線與方程面、曲線與方程一、曲面、曲線與方程曲面、曲線與方程在空間解析幾何中,在空間解析幾何中, 任何曲面或曲線

2、都可看成具有某種性質(zhì)任何曲面或曲線都可看成具有某種性質(zhì)的點的集合的點的集合. . 在選定空間直角坐標系后,在選定空間直角坐標系后,某一曲面或曲線上的點某一曲面或曲線上的點的共同性質(zhì)可以利用點的坐標的共同性質(zhì)可以利用點的坐標),(zyx滿足的關(guān)系式來表達滿足的關(guān)系式來表達. .如果曲面如果曲面 ( (或曲線或曲線 ) )與三元方程與三元方程( (或方程組或方程組) )( , , )0F x y z ( , , )0( , , )0 F x y zG x y z 或或有下述關(guān)系:有下述關(guān)系:(1 1) (1)(1)曲面曲面( (或曲線或曲線 ) )上任一點的坐標都滿足上任一點的坐標都滿足(1)(1

3、)中的方程中的方程( (2 2) )不在曲面不在曲面 ( (或曲線或曲線 ) )上點的坐標都不滿足上點的坐標都不滿足(1)(1)中的方程中的方程( (或方程組或方程組) );( (或方程組或方程組) ). .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何(1)(1)中的方程中的方程( (或方程組或方程組) )就稱為就稱為曲面曲面(或曲線或曲線 ) )的方程的方程,而曲面而曲面(或曲線或曲線 ) )則稱為則稱為(1)(1)中的方程中的方程( (或方程組或方程組) )的的圖形圖形. .2S 0),( zyxF0),( zy

4、xG1S空間解析幾何主要有空間解析幾何主要有兩個基本問題兩個基本問題: :(1)(1)已知一曲面或曲線作為點的幾何軌跡時已知一曲面或曲線作為點的幾何軌跡時, ,求曲面或曲線的方程求曲面或曲線的方程. .(2)(2)已知方程時已知方程時, ,研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀. .( ( 必要時需作圖必要時需作圖 ). ). 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 zyxo0),( zyxF那么那么, ,xyzo二、平面的方程二、平面的方程(1 1)平面的法向量的定義)平面的法向量的定義 凡是與平面垂直

5、的凡是與平面垂直的非零向量非零向量稱為該平面的稱為該平面的法向量法向量. .n(2 2)平面的點法式方程)平面的點法式方程 平面的法向量有無數(shù)多個,平面的法向量有無數(shù)多個,它們都垂直于平面內(nèi)的任一向量它們都垂直于平面內(nèi)的任一向量. .1、平面的點法式方程、平面的點法式方程7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何xyzozyxo0Mn),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向量且垂直于非零向量000()()()0A xxB yyC zzM稱稱式式為平面為平面 的的點法式方程點法式方程.

6、 .求該平面求該平面 的的方程方程. .),(000zzyyxx , ),(CBAn MM0,0nMM 則有則有 .00 nMM故故,),( zyxM任取點任取點 ,),( zyxM若若nMM0則則與與不垂直,不垂直, 此時點此時點M 的坐標的坐標不滿足方程不滿足方程. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.17.3.1110011 kji)1,1,1( .0)1()2()1( zyx于是可取平面于是可取平面 的法向量為:的法向量為:利用點法式得平面利用點法式得平面 的方程為:的方程為:nn312

7、1MMMM 解解: : 平面平面 的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量,的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量,的平面的平面 的方程的方程. . )2 ,1,1(),1 ,3,2(),1,2 ,1(321MMM求過三點求過三點 )0,1,1( )1,1,0( ,1 M又又1M2M3M7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.17.3.1110011 kji)1,1,1( .0)1()2()1( zyx于是可取平面于是可取平面 的法向量為:的法向量為:利用點法式得平面利用點法式得平面 的方程為:的方程為:nn3121M

8、MMM 解解: : 平面平面 的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量,的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量,的平面的平面 的方程的方程. . )2 ,1,1(),1 ,3,2(),1,2 ,1(321MMM求過三點求過三點 )0,1,1( )1,1,0( ,1 M又又1M2M3M7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何求過三點求過三點2143460231xyz0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1M2M3M 為平面為平面 上任一點,上任一點,),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平

9、面的平面 的方程的方程. . 11213,M M M MM Muuuuu uuuuuu uuuuuu向量共面,解法二解法二: :M則則于是于是從而得從而得設(shè)設(shè) ),(zyxM0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : :過三點過三點)3,2,1(),( kzyxMkkkk的平面方程為的平面方程為平面的三點式方程平面的三點式方程2 2、平面的一般方程、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程 方程方程稱為稱為平面的一般方程平面的一般方程. .則方程則方程可化為可化為)*(0)0()0()( zCyBADxA由此可知,由此可知,0AxByCzD

10、)0(222 CBA),(CBAn 而而 不妨設(shè)不妨設(shè),0 A方程方程( (* *) )表示過點表示過點且法向量為且法向量為)0, 0,(0ADM ),(CBAn 的平面的平面.任一三元一次方程任一三元一次方程的圖形總是一個平面的圖形總是一個平面. . 為該平面的為該平面的一個一個法向量法向量.7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何特殊情形特殊情形表示過原點表示過原點的平面的平面; ;同理,同理,表示平行于表示平行于y 軸軸的平面的平面; ;表示平行于表示平行于x 軸軸的平面的平面; ;表示平行于表示平行于 z

11、ox 面的平面面的平面. .0,n k ( (書上書上P21)P21) 當當 0 D時,時, 方程為方程為0 CzByAx 當當 CBA,中有一個為零,中有一個為零, 時,時, 如如 0 C方程為方程為,0 DByAx(,0),nA B 其法向量為其法向量為 該平面平行該平面平行z 軸;軸; 方程方程0 DCzAx方程方程0 DCzBy 當當 CBA,有兩個為零,有兩個為零, 時,時, 如如 0 BA方程為方程為,0 DCz方程方程0 DBy表示平行于表示平行于 yoz 面面 的平面;的平面;同理,同理, 方程方程0 DAx它表示平行于它表示平行于 xoy 面的平面面的平面; ;所以所以 與與

12、 z 軸垂直,軸垂直, n 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何設(shè)平面的方程為設(shè)平面的方程為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解:解:例例7.3.27.3.2(0,0, )RcPozyxRQ分析:分析: 可用可用平面的一般方程平面的一般方程做做 或或平面的點法式方程平面的點法式方程做做.xyz、 、( ,0,0),(0, ,0),P aQb設(shè)一平面與設(shè)一平面與軸的交點分別為軸的交點分別為000)abc ,(其中(其中求該平

13、面的方程求該平面的方程.7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1czbyax此式稱為平面的此式稱為平面的截距式方程截距式方程.x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距( (見書上見書上P21)P21)7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何求過不在同一直線上三點求過不在同一直線上三點)3,2,1(),( kzyxMkkkk的平面的方程的平面的方程. .例例

14、. .解解: : 為所求平面上任一點,為所求平面上任一點,設(shè)設(shè) ),(zyxM1M2M3MM則則11213,M M M MM Muuuuu uuuuuu uuuuuuuuuuu uuuuuu uuuuuu向量向量共面,共面,于是有于是有112130 ,M M M MM M uuuuu uuuuuu uuuuuuuuuuu uuuuuu uuuuuu即即.0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx此式為平面的此式為平面的三點式方程三點式方程0.AxCz 40,AC 4,AC 40.xz 例例7.3.37.3.3解:解:0(12 4)M , ,求過求過y軸和點軸和點的平

15、面的方程的平面的方程. .因平面過因平面過y軸,軸, 可設(shè)所求平面的方程為可設(shè)所求平面的方程為0(12 4),M , ,又平面過點又平面過點即即故故(0),C C 代入所設(shè)方程并消去代入所設(shè)方程并消去得所求的平面方程為得所求的平面方程為7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何三、空間直線的方程三、空間直線的方程1.1.空間直線的點向式方程與參數(shù)方程空間直線的點向式方程與參數(shù)方程xyzo(1) 直線的方向向量的定義直線的方向向量的定義sL與直線平行的與直線平行的非零向量非零向量,稱為這條直線的一個稱為這條直線的一個

16、方向向量方向向量直線的方向向量有無數(shù)多個直線的方向向量有無數(shù)多個. .直線的任一方向向量直線的任一方向向量s的坐標的坐標m, n, p叫做這一直線的一組叫做這一直線的一組s而而的方向余弦叫做這一直線的的方向余弦叫做這一直線的方向余弦方向余弦. .方向數(shù)方向數(shù),7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何(2)(2)空間直線的點向式方程和參數(shù)方程空間直線的點向式方程和參數(shù)方程),(0000zyxM故有故有說明說明: :則則),(zyxMpzz0 此式稱為直線的此式稱為直線的點向式方程點向式方程( (也稱為也稱為對稱式方

17、程對稱式方程或或標準方程標準方程) )su u 設(shè)直線上的動點為設(shè)直線上的動點為 , ),(zyxM已知直線上一點已知直線上一點),(0000zyxM和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms ,/0sMMxyzo某些分母為零時某些分母為零時, , 其分子也理解為零其分子也理解為零. .mxx0 nyy0 求該直線的方程求該直線的方程. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何則則,0tmxx ,0tnyy ,0tpzz .,00yyxx直線方程為直線方程為此式稱為空間直線的此式稱為空間直線的參數(shù)方程參數(shù)

18、方程. .例如例如, , 當當0, 0 pnm時,時, 設(shè)設(shè),000tpzznyymxx 直線方程為直線方程為當當0, 0, 0 pnm時,時, .,0000pzznyyxx7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何xyzo2 L因此其一般方程為因此其一般方程為2.2.空間直線的一般方程空間直線的一般方程 空間直線可視為兩個不平行平面交線,空間直線可視為兩個不平行平面交線,( (不唯一不唯一) )此式稱為空間直線的此式稱為空間直線的一般方程一般方程. .1 11110A xB yC zD22220A xB yC z

19、D12111222(,) (,).snnA B CA B C u uu u u uu u 這條直線的一個方向向量這條直線的一個方向向量為:為:7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.47.3.4從而所求直線的方程為:從而所求直線的方程為:故所求直線的一個方向向量可取為:故所求直線的一個方向向量可取為: 解解: :求過兩點求過兩點的方程的方程. . 與與),(1111zyxM),(2222zyxM在直線上,在直線上,因向量因向量12M Mu uu uu uu uu uu u 12M Mu uu uu u

20、u uu uu u 212121(,),xx yy zz 111212121.xxyyzzxxyyzz 1M2M此式稱為直線的此式稱為直線的兩點式方程兩點式方程.7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何的直線的直線直線的三種方程間的相互轉(zhuǎn)化:直線的三種方程間的相互轉(zhuǎn)化:(1 1)直線的)直線的點向式方程點向式方程和和參數(shù)方程參數(shù)方程相互間易轉(zhuǎn)換;相互間易轉(zhuǎn)換;(2 2)要把)要把點向式方程點向式方程轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成一般方程一般方程也很方便,也很方便,0000 xxyymnyyzznp 便是直線的一般方程便是直線的一般

21、方程. .只要把點向式方程的連等式寫成方程組形式:只要把點向式方程的連等式寫成方程組形式:000 xxyyzzmnp 0000()()0,()()0n xxm yyp yyn zz 例如:例如:(3 3)怎樣把)怎樣把一般方程一般方程轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成點向式方程點向式方程?法法1 1:先找直線上一點先找直線上一點; ; 再找直線的方向向量再找直線的方向向量. .法法2 2: 先找直線上兩點先找直線上兩點A, B; ;ABu uu uu u 就是直線的方向向量就是直線的方向向量. .由由得得即即7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)

22、與空間解析幾何例例7.3.57.3.5解解: :用點向式方程及參數(shù)方程表示直線用點向式方程及參數(shù)方程表示直線 .0123,01 zyxzyx ,012,010000zyzy,1,000 zy解得解得再求直線的方向向量再求直線的方向向量.s分析:分析:先找直線上一點先找直線上一點; ; 再找直線的方向向量再找直線的方向向量. . )1,2,1( 21nns 123111 kji可取可取先在直線上找一點先在直線上找一點. ),(0000zyxM代入原方程組得代入原方程組得令令 ,00 x是直線上一點是直線上一點 . .)1,0,0(0 M即即 因兩平面的交線與兩平面的法向量因兩平面的交線與兩平面的

23、法向量12,n n 都垂直,都垂直,7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何故所給直線的點向式方程為故所給直線的點向式方程為得直線的參數(shù)方程為得直線的參數(shù)方程為 ,1, 2 ,tztytxt.1121 zyx,1121tzyx 令令其中其中t為參數(shù)為參數(shù).7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何四、四、空間上點、直線、平面之間的位置關(guān)系空間上點、直線、平面之間的位置關(guān)系1、空間兩平面的位置關(guān)系、空間兩平面的位置關(guān)系兩平面法向量的夾角

24、兩平面法向量的夾角( (通常指銳角通常指銳角) )稱為稱為兩平面的夾角兩平面的夾角. .設(shè)有平面設(shè)有平面0:1111 zCyBxA 與與,0:2222 zCyBxA 2222(,) ,nABC uu uu 它們的法向量分別為它們的法向量分別為和和1111(,)nA B C uu uu 122n1n1nu則則平面平面1 與與2 的夾角的夾角 可由下式確定:可由下式確定:1212nnnn uu uu uu uu uu uu uu uu 12coscos(,)n n uu uu uu uu 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與

25、空間解析幾何 cos 即即 212121CCBBAA 212121CBA 222222CBA 空間兩平面的位置關(guān)系只有三種:空間兩平面的位置關(guān)系只有三種:上述平面上述平面1 與與2 的位置關(guān)系的判別如下:的位置關(guān)系的判別如下:1 與與2 相交相交111222:;A B CABC 特別地,特別地,21 ;0212121 CCBBAA21nn 21/ 且不重合且不重合;21212121DDCCBBAA 1 與與2 重合重合.21212121DDCCBBAA 相交、平行或重合相交、平行或重合. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量

26、代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.6 7.3.6 ,0)1()1()1(2 zyx設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,n1M2M求它的方程求它的方程. .解法解法1:1:1(1,1,1)M一平面通過兩點一平面通過兩點2( 0,1,1)M 和和且垂直于平面且垂直于平面 ,0 zyx已知平面的法向量為已知平面的法向量為1,nu uu u 由于兩平面垂直,由于兩平面垂直,,1nn 所以所以故可取故可取121nMMn , )1,1,2( 111201 kji則所求平面的方程為則所求平面的方程為.02 zyx即即)2, 0 , 1(21 MM在所求平面上,在所求平面上,又又,21MMn 有有7.3 空

27、間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.6 7.3.6 代入代入(1)(1)式式且垂直于平面且垂直于平面 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020 CBA即即.2CA ,0 CBACCAB )()0(0)1()1()1(2 CzCyCxC(1)(1)(1)0(1)A xB yC z1(1,1,1)M則所求平面方程為則所求平面方程為故故,),(CBAn 的法向量的法向量 n21MMn 1M2M求它的方程求它的方程 . .一平面通過兩點一平面通過兩點解法解法2:2:2( 0,1,1)M 和和,0 zyx得得

28、,0)1()1()1(2 zyx即即.02 zyx7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何2L1L2. 2. 空間兩直線的位置關(guān)系空間兩直線的位置關(guān)系則則兩直線的夾角兩直線的夾角 滿足滿足 兩直線的方向向量的夾角兩直線的方向向量的夾角( (通常取通常取銳角銳角) )稱為稱為兩直線的夾角兩直線的夾角. .21, LL設(shè)直線設(shè)直線的方向向量分別為的方向向量分別為121212m mn np p212121pnm , ),(, ),(22221111pnmspnms 1212ssss u uu uu uuu uu1s2s

29、12cos( ,)s s u uu ucos 222222pnm 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何21, LL于是上述的直線于是上述的直線的位置關(guān)系的判別如下:的位置關(guān)系的判別如下:設(shè)設(shè)分別是直線分別是直線),(1111zyxM),(2222zyxM與與1L2L與與上的點,上的點, 則則1L與與2L異面異面;0222111121212 pnmpnmzzyyxx1L與與2L相交相交0222111121212 pnmpnmzzyyxx111222:;mnpmnp 且且空間兩直線的位置關(guān)系只有四種:空間兩直線的

30、位置關(guān)系只有四種:異面、相交、平行或重合異面、相交、平行或重合. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何特別地,特別地,21LL 21ss .212121ppnnmm 1L與與2L重合重合21/ LL或或21/ ss1212120.m mn np p7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.77.3.7 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角 ,13411:1 zyxL直線直線的方向向量為的方向向量為1L直線直線的方向向

31、量為的方向向量為2L, )1,4,1(1 s解解: :則兩直線夾角則兩直線夾角 的余弦為的余弦為cos 1212ssss u uu uuuuuuu|1 8 2|189 ,22 .4 12cos( ,)s s u uu u.2221:2 zyxL, )2,2,1(2 s所以直線所以直線與與1L2L的夾角為的夾角為7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何3.3.空間直線與平面的位置關(guān)系空間直線與平面的位置關(guān)系當當直線與平面垂直直線與平面垂直時時, ,L當當直線與平面不垂直直線與平面不垂直時時, ,設(shè)直線設(shè)直線 L 的

32、方向向量為的方向向量為 平面平面 的法向量為的法向量為直線和它在平面上的投影直線的直線和它在平面上的投影直線的, ),(pnms , ),(CBAn sn 2),(ns ,2),( ns 夾角夾角 稱為稱為直線與平面的夾角直線與平面的夾角. .)20( 則則或或.2 規(guī)定其夾角為規(guī)定其夾角為7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何則則直線與平面的夾角直線與平面的夾角 滿足滿足222222CBApnmpCnBmA sincos(,)sn snsn L與與 相交相交特別地,特別地, L.0 CpBnAmns/;pCn

33、BmA ;0 CpnBmA /L或或L 在平面在平面上上ns L與平面與平面 的位置關(guān)系的判別如下:的位置關(guān)系的判別如下:上述空間直線上述空間直線空間直線與平面的位置關(guān)系只有三種:空間直線與平面的位置關(guān)系只有三種: 相交、平行相交、平行或或直線在平面上直線在平面上. .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何解:解:)1 , 1 , 1(PA的直線的方程的直線的方程. .例例7.3.87.3.8,PAs u uu uu u 1,4 ,3,xtytzt 000(1, 4 , 3)Attt ,又兩直線垂直,又兩直線垂

34、直,所以所以從而從而00014 (41) 1 (4)0,ttt 00,t (0,1,4),PA u uu uu u 111.014xyz 直線直線L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為它的一個方向向量它的一個方向向量, )1 , 4, 1( s所求直線與直線所求直線與直線L的交點可設(shè)為的交點可設(shè)為000=( ,41,4)PAttt u uu uu u 則則就是所求直線的一個方向向量就是所求直線的一個方向向量. .即有即有0,PA s u uu uu u 解得解得于是于是故所求的直線的方程為:故所求的直線的方程為:求過點求過點13411: zyxL且與直線且與直線)1 , 1 , 1(P垂直相交垂直相交L7

35、.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何4.4.平面平面( (或直線或直線) )外一點到平面外一點到平面( (或直線或直線) )的距離公式的距離公式(1) (1) 平面外一點到平面的距離公式平面外一點到平面的距離公式因平面因平面法向量為法向量為, ),(CBAn 如圖,如圖,( (書上書上P27)P27)外一點外一點, , 0000(,)P xyz:0A xB yC zD 設(shè)設(shè)是平面是平面0P到平面到平面的距離的距離. .求點求點0Pnd1P0P向平面向平面引垂線,引垂線,從點從點設(shè)垂足為設(shè)垂足為, ),(1111

36、zyxP0P到平面到平面的距離為的距離為則點則點,01PPd ,/01nPP所以所以n01PP與與的夾角為的夾角為0 0 或或 .7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 000222AxB yC zDdABC 0111 DzCyBxA01PPd nnPP 01此式為此式為點到平面的距離公式點到平面的距離公式nPP 01,01nPP 于是于是0P到平面到平面的距離為:的距離為:則點則點7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學

37、 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何(2 2)直線外一點到直線的距離公式)直線外一點到直線的距離公式的距離為:的距離為:d10| s |M Msd uuuuuuuuuuuu ),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML( (書上書上P28-29)P28-29)01|s|M Ms u uu uu uu uu uu u 1111(,),Mxy z在直線在直線 L 上任取一點上任取一點S 0000(,)Mxy z111 :xxyyzzLmnp直線直線 L 外一點外一點到直線到直線事實上,事實上,s d 過點過點 M1作直線作直線 L的方向向量的方向向量.s 10M Ms

38、u uu uu uu uu uu u s 10M Mu uu uu uu uu uu u 則以則以與與為鄰邊的平行為鄰邊的平行四邊形的面積為:四邊形的面積為:10.| |M Msds u uu uu uu uu uu u (M1為為L上任一點上任一點)7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.97.3.9直線直線 L的方向向量的方向向量解解: :求點求點212211: zyxL的距離的距離.到直線到直線)2 , 1 , 0(0M, )2, 2 , 1( s點點)1, 2 , 1(1 M為直線為直線 L上

39、一點,上一點, 則則01MMs , )1,1,4( 311221 kji所以點所以點M0到到直線直線 L的距離為:的距離為:10| |M Msds u uu uu uu uu uu u 222222)2(211)1(4 .2323 7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何五、平面束方程五、平面束方程111122220,(1)0(2)A xB yC zDA xB yC zD 過定直線的所有平面的全體稱為過定直線的所有平面的全體稱為平面束平面束. .設(shè)直線設(shè)直線 L的方程為:的方程為: 過直線過直線 L的平面束方程為

40、的平面束方程為:11112222()0(3)A xB yC zDA xB yC zD ( (為為任意實數(shù)任意實數(shù)) )它表示它表示( (除平面除平面(2)(2)外的外的) )所有過直線所有過直線 L的平面的平面. .易知易知(3)(3)式中式中x, y, z的系數(shù)不全為零,的系數(shù)不全為零,方程方程(3)(3)就表示過直線就表示過直線 L的不同平面的不同平面. .從而它從而它表示平面表示平面. .事實上,事實上,直線直線 L上上的點都滿足方程的點都滿足方程(3)(3), 于是當于是當 不同不同時,時,7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何過直線過直線 L的所有平面的平面束方程為的所有平面的平面束方程為:注注:11112222()()0A xB yC zDA xB yC zD ( (, ,是不全為零的任意實數(shù)是不全為零的任意實數(shù)) )7.3 空間平面與空間直線及其方程空間平面與空間直線及其方程高等數(shù)學高等數(shù)學 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何例例7.3.107.3.10解法解法1 1:(21)(1)0,xyzxyz (2)( 1)(1)( 1)0 (1)xyz 分析:分析

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