1、6.1 引言信號(hào)表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似，信號(hào)表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似，信號(hào)用多維矢量描述便于對(duì)信號(hào)的性能、信號(hào)分析與處信號(hào)用多維矢量描述便于對(duì)信號(hào)的性能、信號(hào)分析與處理進(jìn)行更深入的研究。理進(jìn)行更深入的研究。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容利用矢量空間方法研究信號(hào)理論的基本概念；利用矢量空間方法研究信號(hào)理論的基本概念；信號(hào)的正交函數(shù)分解；信號(hào)的正交函數(shù)分解；相關(guān)函數(shù)；相關(guān)函數(shù)；能量譜和功率譜；能量譜和功率譜；相關(guān)、正交概念的應(yīng)用：相關(guān)、正交概念的應(yīng)用：匹配濾波器，碼分復(fù)用匹配濾波器，碼分復(fù)用技術(shù)。技術(shù)。線性空間線性空間 范數(shù)范數(shù) 內(nèi)積內(nèi)積 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等

2、式一線性空間定義：定義：是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實(shí)此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。數(shù)也可以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。例例:NNR 維維實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)空空間間NNC 維維復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)空空間間L 連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)間間信信號(hào)號(hào)空空間間l 離離散散時(shí)時(shí)間間信信號(hào)號(hào)空空間間二范數(shù) 表表示示，滿滿足足以以下下公公理理的的范范數(shù)數(shù)以以符符號(hào)號(hào)線線性性空空間間中中元元素素x x 。三角形不等式三角形不等式；有有量量正齊性對(duì)所有數(shù)正齊性對(duì)所有數(shù)；時(shí)時(shí)當(dāng)且僅

3、當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)正定性正定性yxyx3xx,20 x0 x, 0 x1 空空間間的的范范數(shù)數(shù)；與與NNC.R1 階范數(shù)定義為階范數(shù)定義為的的空間元素空間元素與與在在為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，令令pxxxxppNNN,CR,121 max 1 def111 pxpxxiNipNipip對(duì)于對(duì)于對(duì)于對(duì)于常用范數(shù) 11 , 1max 21121121 xxx )Euclidean(2范數(shù)或歐氏距。范數(shù)或歐氏距。也稱為歐氏也稱為歐氏矢量的長(zhǎng)度。矢量的長(zhǎng)度。理意義是理意義是空間中，二階范數(shù)的物空間中，二階范數(shù)的物在二維或三維實(shí)數(shù)矢量在二維或三維實(shí)數(shù)矢量x中中的的范范數(shù)數(shù)和和離離散散時(shí)時(shí)間間信信號(hào)號(hào)空空間間連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)間

4、間信信號(hào)號(hào)空空間間lL. 2 定定義義如如下下階階范范數(shù)數(shù)的的中中，元元素素連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)間間信信號(hào)號(hào)空空間間ppxLx1 sup1 dx1 ptxpttxppp sup 1 xp1 pnxpnxnpp這里這里sup表示信號(hào)的最小上界，對(duì)于定義在閉區(qū)間內(nèi)的表示信號(hào)的最小上界，對(duì)于定義在閉區(qū)間內(nèi)的信號(hào)，信號(hào)，sup表示其幅度值。表示其幅度值。 的的定定義義階階范范數(shù)數(shù)的的元元素素中中離離散散時(shí)時(shí)間間信信號(hào)號(hào)空空間間ppnxlx,2(3)(3)常用的范數(shù)常用的范數(shù) L dx1空空間間ttx 空間空間lnxn x1 可見，一階范數(shù)表示信號(hào)作用的強(qiáng)度。可見，一階范數(shù)表示信號(hào)作用的強(qiáng)度。一階范數(shù)一階范數(shù)

5、dx dx L2222122ttxttx 即即空間空間 x x 2222122 nnnxnxl即即空間空間物理意義：二階范數(shù)的平方表示信號(hào)的能量。物理意義：二階范數(shù)的平方表示信號(hào)的能量。二階范數(shù)二階范數(shù) sup x Ltx 空空間間 supx nxl 空空間間 ,號(hào)的幅度。號(hào)的幅度。可測(cè)得的峰值，也即信可測(cè)得的峰值，也即信表示信號(hào)表示信號(hào)閉區(qū)間上的閉區(qū)間上的物理意義：對(duì)于定義在物理意義：對(duì)于定義在 xtx三內(nèi)積 21222211cosyx yxyx內(nèi)積（點(diǎn)積）運(yùn)算內(nèi)積（點(diǎn)積）運(yùn)算對(duì)應(yīng)于二維矢量空間的對(duì)應(yīng)于二維矢量空間的2211yxyx 1 2 1x2x1y2yxy 21222121222122

6、1121cosyyxxyxyx 直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩矢量相對(duì)位置關(guān)系直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩矢量相對(duì)位置關(guān)系利用范數(shù)符號(hào)，將矢量長(zhǎng)度分別寫作利用范數(shù)符號(hào)，將矢量長(zhǎng)度分別寫作 21222122122212yxyyxx 于是于是上式表明：給定的矢量長(zhǎng)度，標(biāo)量乘積式反映了兩矢量上式表明：給定的矢量長(zhǎng)度，標(biāo)量乘積式反映了兩矢量之間相對(duì)位置的之間相對(duì)位置的“校準(zhǔn)校準(zhǔn)”情況。即情況。即 標(biāo)量乘積為零標(biāo)量乘積為零兩矢量之夾角為兩矢量之夾角為,90, 0cos21 標(biāo)量乘積取最大值標(biāo)量乘積取最大值兩矢量夾角為兩矢量夾角為 ,0, 1cos21 21222211cosyx yxyx332211yxyxyx 多維多維維實(shí)線性

7、空間維實(shí)線性空間NyxiNii y, x1 維復(fù)線性空間維復(fù)線性空間NyxiNii y, x1 三維三維推廣推廣信號(hào)空間信號(hào)空間 dyx,連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)ttytx yx,Z離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào) nnynx對(duì)于對(duì)于L空間或空間或l空間，信號(hào)空間，信號(hào)x與其自身的內(nèi)積運(yùn)算為與其自身的內(nèi)積運(yùn)算為 xdxx,222連續(xù)連續(xù) ttx xxx,222離散離散 Znnx內(nèi)的兩連續(xù)信號(hào)的內(nèi)積內(nèi)的兩連續(xù)信號(hào)的內(nèi)積Ly, yx, xy, x2 四柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式6.3 信號(hào)的正交函數(shù)分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函數(shù)正交函數(shù)正交函數(shù)集正交函數(shù)集復(fù)變函數(shù)

8、的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性將任意信號(hào)分解為單元信號(hào)之和，從而考查信號(hào)將任意信號(hào)分解為單元信號(hào)之和，從而考查信號(hào)的特性。的特性。簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析與運(yùn)算，簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析與運(yùn)算， 總響應(yīng)總響應(yīng)=單元響應(yīng)之和。單元響應(yīng)之和。信號(hào)分解的目的 niitete0 teiH tri niiniitrteHteHtr002VVe eVVcV 2121誤差矢量誤差矢量 )cos(211212VVVVc 2221222121221112)cos()cos(VVVVVVVVVVVVVVc 系數(shù)系數(shù)021 VV兩矢量正交兩矢量正交怎樣分解，能得到最小的誤差分量？怎樣分解，能得到最小的誤差分量？0 12 c即即1V2V21V

9、c1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：方式不是惟一的：表示，表示，用用21VV1211eVVcV 一矢量的正交分解eVVc 212222eVVc 正交分解空間空間中任一矢量可分解為中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面平面中任一矢量可分解為中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。二方向矢量。一個(gè)三維空間矢量一個(gè)三維空間矢量 ，必須用三個(gè)正交，必須用三個(gè)正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會(huì)出現(xiàn)誤差：的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會(huì)出現(xiàn)誤差：hzj yi xV 0 , hzVj yi xVe二正交函數(shù) 表示，即表示，即用用內(nèi)，信號(hào)內(nèi)，信號(hào)在區(qū)間在區(qū)間tftft

10、tt2121 )()(2121tfctf 誤差誤差 21d)(1)(22121222ttettfctftttf求得求得必需使必需使最小的最小的為求使為求使, 0dd , 122122 cc tftftftfttfttftfctttt(),(),(d)(d)()(22212221122121 稱稱為為正正交交函函數(shù)數(shù)，滿滿足足則則，若若)(),(02112tftfc 0d)()(2121 ttftftt系數(shù)系數(shù)三正交函數(shù)集任意信號(hào)任意信號(hào)f(t)可表示為可表示為n維正交函數(shù)之和：維正交函數(shù)之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原函數(shù)原函數(shù)近似

11、函數(shù)近似函數(shù) )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jiKjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函數(shù)基底函數(shù) 正正交交函函數(shù)數(shù)集集tgtgtgr21,分解原則是誤差函數(shù)方均值最小 d)()(1)(21122122誤差信號(hào)功率誤差信號(hào)功率誤差信號(hào)能量誤差信號(hào)能量ettnrrrefttgctftttf 表達(dá)式表達(dá)式可得可得令令rnrcCCCC0, 0, 0, 0 222212 理解rttrttrttrrKttgtfttgttg

12、tfc 212121d)()(d)(d)()(2正交函數(shù)集規(guī)定：正交函數(shù)集規(guī)定： 所有函數(shù)應(yīng)所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交兩兩正交。 不能因一個(gè)函數(shù)集中某幾個(gè)函數(shù)相互正交就說該不能因一個(gè)函數(shù)集中某幾個(gè)函數(shù)相互正交就說該函數(shù)集是正交函數(shù)。函數(shù)集是正交函數(shù)。 是是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的，互不影響，計(jì)算時(shí)先抽取的，互不影響，計(jì)算時(shí)先抽取哪一個(gè)都可以，非正交函數(shù)就無(wú)此特性。哪一個(gè)都可以，非正交函數(shù)就無(wú)此特性。 nccc,21此公式是個(gè)通式，適合于此公式是個(gè)通式，適合于任何正交任何正交函數(shù)集。函數(shù)集。兩周期信號(hào)在兩周期信號(hào)在同一周期內(nèi)同一周期內(nèi)(同區(qū)間內(nèi)同區(qū)間內(nèi))正交的條件是正交的條件是c12=0，即：，即： 總結(jié) 0

13、d)()(21 Tttftf 兩個(gè)信號(hào)不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一兩個(gè)信號(hào)不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一信號(hào)。信號(hào)。對(duì)一般信號(hào)在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定對(duì)一般信號(hào)在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定滿滿足正交。足正交。四.復(fù)變函數(shù)的正交特性jitgtgttgtgjittji 0)(),(d)()(21*iiittiiKtgtgttgtg )(),(d)()(21* 求系數(shù)求系數(shù)表示表示用用),(),2 , 1 , 0( ,)(tfnrtgr 的共軛的共軛為為)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 則此復(fù)變函數(shù)集為則此復(fù)變函數(shù)

14、集為正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 0d)()(d)()(21211221 ttttttftfttftf 滿足關(guān)系滿足關(guān)系內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集若在區(qū)間若在區(qū)間nrtgttr, 2 , 1,21 內(nèi)相互正交的條件是內(nèi)相互正交的條件是兩復(fù)變函數(shù)在區(qū)間兩復(fù)變函數(shù)在區(qū)間21,tt6.4 6.4 完備正交函數(shù)集、完備正交函數(shù)集、帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理定義定義1 1： 定義定義2 2： 一完備正交函數(shù)集 nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()( 為完備的正交函數(shù)集。為完備的正交函數(shù)集。，此時(shí)，此時(shí)，則，則下降

15、，若下降，若增加時(shí)，增加時(shí)，當(dāng)當(dāng)tgtgtgtgnnnr2122,0 不完備。不完備。數(shù)集數(shù)集于此正交函數(shù)集，原函于此正交函數(shù)集，原函必屬必屬，則，則有有如果存在函數(shù)如果存在函數(shù)tgtgtgtgtxttxtgtxnrttr21,0d)()(,21 二帕塞瓦爾定理物理意義物理意義： 一個(gè)信號(hào)所含有的能量（功率）恒等于此信號(hào)在一個(gè)信號(hào)所含有的能量（功率）恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率）之和。完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率）之和。 121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgCttgCttf信號(hào)的信號(hào)的能量能量基底信號(hào)的基底信號(hào)的能量能量各信號(hào)分量的各信號(hào)分量的

16、能量能量數(shù)學(xué)本質(zhì)：數(shù)學(xué)本質(zhì)：矢量空間信號(hào)正交變換的范數(shù)不變性。矢量空間信號(hào)正交變換的范數(shù)不變性。能量信號(hào)與功率信號(hào)能量信號(hào)與功率信號(hào)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)相關(guān)與卷積的比較相關(guān)與卷積的比較相關(guān)定理相關(guān)定理 6.6Rtitp)()(2 在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，R消耗的能量消耗的能量 222220000d)(d)(TTTTttiRttpE 22200d)(1TTttvRE或或平均功率可表示為平均功率可表示為 222000d)(1TTttiRTP 222000d)(11TTttvRTP或或設(shè)設(shè)i(t)為流過電阻為流過電阻R的電流，的電流，v(t)為為R 上的電壓上的電壓 R)(ti

17、)(tv瞬時(shí)功率為瞬時(shí)功率為一能量信號(hào)和功率信號(hào)定義討論上述兩個(gè)式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：討論上述兩個(gè)式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 滿足滿足式的稱為能量信號(hào)，滿足式的稱為能量信號(hào)，滿足式稱功率信號(hào)式稱功率信號(hào)。 E00 P P0 E定義：定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，則在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)，實(shí)信號(hào)，則在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)，實(shí)信號(hào)f(t)的的 2220000d)(1limTTTttfTP平均功率平均功率 222000d)(limTTTttfE能量能量一般規(guī)律一般周期信號(hào)為功率信號(hào)。

18、一般周期信號(hào)為功率信號(hào)。非周期信號(hào)，在有限區(qū)間有值，為能量信號(hào)。非周期信號(hào)，在有限區(qū)間有值，為能量信號(hào)。還有一些非周期信號(hào)，也是非能量信號(hào)。還有一些非周期信號(hào)，也是非能量信號(hào)。如如u(t)是功率信號(hào)；是功率信號(hào)；而而tu(t)為非功率非能量信號(hào)為非功率非能量信號(hào); ;(t)是無(wú)定義的非功率非能量信號(hào)。是無(wú)定義的非功率非能量信號(hào)。數(shù)學(xué)本質(zhì)數(shù)學(xué)本質(zhì): 相關(guān)系數(shù)是信號(hào)矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的相關(guān)系數(shù)是信號(hào)矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的具體表現(xiàn)。具體表現(xiàn)。 物理本質(zhì)物理本質(zhì): 相關(guān)與信號(hào)能量特征有著密切聯(lián)系。相關(guān)與信號(hào)能量特征有著密切聯(lián)系。 21)(),()(),()(),(22112112tftftftf

19、tftf 222121)()()(),(tftftftf 1相關(guān)系數(shù)12 由兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積所決定：由兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積所決定：二相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)由柯西施瓦爾茨不等式，得由柯西施瓦爾茨不等式，得 21ddd222121 ttfttfttftf所以所以112 等于零等于零此時(shí)此時(shí)完全一樣完全一樣與與若若21221, 1, tftf 最大最大此時(shí)此時(shí)為正交函數(shù)為正交函數(shù)與與若若21221, 0, tftf ,2112運(yùn)算給出了定量說明。運(yùn)算給出了定量說明。利用矢量空間的的內(nèi)積利用矢量空間的的內(nèi)積的相關(guān)特性的相關(guān)特性與與描述了信號(hào)描述了信號(hào)從信號(hào)能量誤差的角度從信號(hào)能量誤差的角度相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)tftf

20、 2相關(guān)函數(shù)f1(t)與與f2(t)是能量有限信號(hào)是能量有限信號(hào)f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)f1(t)與與f2(t)是功率有限信號(hào)是功率有限信號(hào)f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)分如下幾種情況討論：分如下幾種情況討論：(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào) f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù): 相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)函數(shù)定義: ttftfRd)()()(2112 ttftfd)()(21 ttftfRd)()()(2121 ttftfd)()(21 可以證明：可以證明： )()(2112 RR

21、時(shí)時(shí)，自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)為為當(dāng)當(dāng))()()(21tftftf ttftfRd)()()( ttftfd)()( )()( RR的偶函數(shù)的偶函數(shù)相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)： ttftfRd)()()(*2112 ttftfd)()(*21 ttftfRd)()()(2*121 ttftfd)()(2*1 ttftfRd)()()(* ttftfd)()(* 同時(shí)具有性質(zhì)：同時(shí)具有性質(zhì)： )()(*2112 RR)()(* RR(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào) f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù): 相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)： 222112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221

22、d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號(hào) f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù): 相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)： 22*2112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221*221d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)： 22*d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號(hào) f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù): 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系 )(*)()(2112tftftR 即即 )(1tf)(2tf與與 為

23、實(shí)偶函數(shù)，則其卷積與相關(guān)完全相同。為實(shí)偶函數(shù)，則其卷積與相關(guān)完全相同。 )(2tf反褶與反褶與 )(1tf之卷積即得之卷積即得 )(1tf)(2tf與與 的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù) )(12tR 三相關(guān)與卷積的比較 )(1tf)(2tf與與 卷積表達(dá)式：卷積表達(dá)式： d)()()(*)(2121 tfftftf)(1tf)(2tf與與 相關(guān)函數(shù)表達(dá)式：相關(guān)函數(shù)表達(dá)式： ttftftRd)()()(2112 說明 最大。最大。相關(guān)性最強(qiáng)相關(guān)性最強(qiáng)時(shí)時(shí)自相關(guān)在自相關(guān)在0,0Rt 。則則卷卷積積與與相相關(guān)關(guān)完完全全相相同同為為實(shí)實(shí)偶偶函函數(shù)數(shù)與與若若,21tftf相關(guān)與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個(gè)

24、步相關(guān)與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個(gè)步驟，差別在于卷積運(yùn)算需要反褶，而相關(guān)不需要反褶。驟，差別在于卷積運(yùn)算需要反褶，而相關(guān)不需要反褶。 四相關(guān)定理 若已知若已知 )()(11 Ftf F )()(22 Ftf F則則 )()()(*2112 FFR F若若),()()(21tftftf )()( Ftf F則自相關(guān)函數(shù)為則自相關(guān)函數(shù)為 2)()( FR F說明1.相關(guān)定理表明：兩信號(hào)互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于相關(guān)定理表明：兩信號(hào)互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中第一個(gè)信號(hào)的變換與第二個(gè)信號(hào)變換取共軛兩者之其中第一個(gè)信號(hào)的變換與第二個(gè)信號(hào)變換取共軛兩者之積。積。2.自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于

25、原信號(hào)幅度譜的平方。自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號(hào)幅度譜的平方。 定理具有相同的結(jié)果。定理具有相同的結(jié)果。此時(shí)相關(guān)定理與卷積此時(shí)相關(guān)定理與卷積此時(shí)此時(shí)若是實(shí)偶函數(shù)若是實(shí)偶函數(shù),. 32*2 FF 6.7能量譜與功率譜1.能量譜 由相關(guān)定理知由相關(guān)定理知 2)()( FR F de)(21)(j2 FR所以所以 d)(21)0(2 FR又能量有限信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是又能量有限信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是 ttftfRd)()()(* ttfRd)()0(2有下列關(guān)系有下列關(guān)系 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 若若 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù),上式可寫成上式可寫成 )(tf ttfRd)()0(2

26、 d)(212 FffFd)(2 帕塞瓦爾方程帕塞瓦爾方程定義定義能量譜密度（能譜）能量譜密度（能譜） 2)()( F 所以有所以有 )()( RF )()(1 FR所以能譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。所以能譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 是功率有限信號(hào)是功率有限信號(hào) )(tf 2 0 2 )()( TTtTttftf令令 )()(TT Ftf F則則 )(tf的的平均功率平均功率為：為： d)(lim21d)(1lim2T222TFttfTPTTTT 定義定義 TFST2T)(lim)( f(t)的功率密度函數(shù)的功率密度

27、函數(shù)(功率譜）功率譜） 2功率譜利用相關(guān)定理有：利用相關(guān)定理有： de)(21)(j2 FR de)(21)(j2 FR并取并取 兩端乘以兩端乘以 T1 T可以得到：可以得到： de )(21)(j SR de )()(j RS即即 )()()()(1 pRRS FF功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。是一對(duì)傅里葉變換。 能量譜和功率譜分析能量譜和功率譜分析信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù) 6.8前面，從前面，從 域域頻域頻域時(shí)域時(shí)域s中研究了中研究了 系系統(tǒng)統(tǒng)響響應(yīng)應(yīng)激激勵(lì)勵(lì)現(xiàn)在，從激勵(lì)和響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，能量譜，功率

28、譜現(xiàn)在，從激勵(lì)和響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，能量譜，功率譜所發(fā)生的變化來研究線性系統(tǒng)所表現(xiàn)的傳輸特性。所發(fā)生的變化來研究線性系統(tǒng)所表現(xiàn)的傳輸特性。三者的關(guān)系三者的關(guān)系一能量譜和功率譜分析 jH th te tr jE jH時(shí)域時(shí)域 tethtr* 頻域頻域 jjjEHR re 的能量譜密度為的能量譜密度為，的能量譜密度為的能量譜密度為是能量有限信號(hào)，是能量有限信號(hào)，假定假定trtete 2ej E 2rj R e2rjSHS 物理意義：響應(yīng)的功率譜等于激勵(lì)的功率譜與物理意義：響應(yīng)的功率譜等于激勵(lì)的功率譜與 2j H的乘積。的乘積。同樣，對(duì)功率信號(hào)有同樣，對(duì)功率信號(hào)有物理意義：響應(yīng)的能譜等于激勵(lì)的能譜與物

29、理意義：響應(yīng)的能譜等于激勵(lì)的能譜與 2j H的乘積。的乘積。所以所以 e2rjH 顯然顯然 222jjj EHR eS je r 2j H rS二二信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)由由 e2rjH e2rjSHS 得得 e*rjjHH e*rjjSHHS 因?yàn)橐驗(yàn)?jHth F j*Hth F所以所以 he*erRRththRR 其中其中 ththR *h 為系統(tǒng)沖激響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)。為系統(tǒng)沖激響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)。 eR hR rR 6.9一定義匹配濾波器：匹配濾波器：指濾波器的性能與信號(hào)的特性取得某種一致，使指濾波器的性能與信號(hào)的特性取得某種一致，使濾波器輸出端的信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率的濾波器輸

30、出端的信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率的比值最大。即當(dāng)信號(hào)與噪聲同時(shí)進(jìn)入濾波器時(shí)，比值最大。即當(dāng)信號(hào)與噪聲同時(shí)進(jìn)入濾波器時(shí)，它使信號(hào)成分在某一瞬間出現(xiàn)尖峰值，而噪聲成它使信號(hào)成分在某一瞬間出現(xiàn)尖峰值，而噪聲成分受到抑制。分受到抑制。 H j tnts tntsoo 二匹配濾波器的約束關(guān)系依據(jù)：濾波器使信號(hào)平方與噪聲功率之比達(dá)到最大值。依據(jù)：濾波器使信號(hào)平方與噪聲功率之比達(dá)到最大值。匹配濾波器的約束關(guān)系匹配濾波器的約束關(guān)系 mjejj kSH其沖激響應(yīng)為其沖激響應(yīng)為 ttksHFth m1j s(t)為輸入為輸入信號(hào)信號(hào) 。右移右移對(duì)垂直軸鏡像并向?qū)Υ怪陛S鏡像并向是所需信號(hào)是所需信號(hào)匹配濾波器的沖激響

31、應(yīng)匹配濾波器的沖激響應(yīng)Tts時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)一一般般取取1,m kTt tTsth )(tsOtTT Ot)( ts (a)(b)mtTt mtO)(thTt m(e)如圖如圖(b)(c)(d) (e)分別示出分別示出 的三種情況，的三種情況，及及ttsts mmtT mtt)(thTt mO(c)Tt m)(thmttO(d) 說明 進(jìn)行自相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)行自相關(guān)運(yùn)算，于對(duì)于對(duì)匹配濾波器的功能相當(dāng)匹配濾波器的功能相當(dāng)ts tTRtTststhtsts SSo 的波形無(wú)關(guān)的波形無(wú)關(guān)與與的能量的能量等于信號(hào)等于信號(hào)其大小其大小時(shí)刻時(shí)刻最大值出現(xiàn)在最大值出現(xiàn)在匹配濾波器輸出信號(hào)的匹配濾波器輸出信號(hào)的tsE

32、tsTt, 時(shí)，輸出信號(hào)峰值為時(shí)，輸出信號(hào)峰值為當(dāng)當(dāng)Ttt m dj212omoSTsts 明顯抑制。明顯抑制。算相對(duì)于有用信號(hào)受到算相對(duì)于有用信號(hào)受到波器所完成的互相關(guān)運(yùn)波器所完成的互相關(guān)運(yùn)而噪聲通過濾而噪聲通過濾的峰值的峰值時(shí)刻，取得自相關(guān)函數(shù)時(shí)刻，取得自相關(guān)函數(shù)在在,SStRTt tTRts SSo ttsTsd2o ESttsTs dj21d22o由于由于得得所以所以時(shí)，輸出信號(hào)峰值為時(shí)，輸出信號(hào)峰值為當(dāng)當(dāng)Ttt m dj212omoSTsts 6.11一定義碼分：碼分：利用一組正交碼序列來區(qū)分各路信號(hào)。利用一組正交碼序列來區(qū)分各路信號(hào)。碼分復(fù)用：碼分復(fù)用：利用自相關(guān)函數(shù)抑制互相關(guān)函數(shù)

33、的特性來選利用自相關(guān)函數(shù)抑制互相關(guān)函數(shù)的特性來選取正交信號(hào)碼組中的所需信號(hào)，因此也稱為正交復(fù)用。取正交信號(hào)碼組中的所需信號(hào)，因此也稱為正交復(fù)用。二碼分復(fù)用的理論依據(jù)三碼分復(fù)用的原理相乘相乘 相乘相乘低通低通 t0cos t0sin t0cos t0sin tg1 tg2 tg1 tg2（發(fā)送端）（接收端）解調(diào)乘器之輸出信號(hào)為乘器之輸出信號(hào)為相應(yīng)的一路解調(diào)系統(tǒng)相相應(yīng)的一路解調(diào)系統(tǒng)相與與)cos(0t ttgttgtttgttg020100012sin212cos121cossincos2 信號(hào)。信號(hào)。下下附近的高頻信號(hào)，只留附近的高頻信號(hào)，只留低通濾波器后濾除低通濾波器后濾除tg102 相乘相乘 相乘相乘低通低通 t0cos t0sin t0cos t0sin t