1、考點26空間向量求空間角【思維導圖】線線用角的花閨 (0° ,90° 空間向量求空間角線面角角的范圍(0° ,90° /為平百。的針線.；為/的方向向量.7為平面。的汰向量 6為/與。所成的角.則"n=|coK；，G| 二角的范國十面。的法向量為/(平面。的法向量為%，%, %)= 8 ,設二面篇大小為。，財。廣1。8。產1 土U*I q II 叫 I根據圖便判斷二面角是挽角還是鈍角設洋面亙線。、。所成的畫為e,則co§®=晶 其中£花分別是亙線。、。的方向向量RH向的法法量求(1)設出斗面的汰向量二(-V, y,

2、 C)(2)找出平面內兩步兵線的已知向量入謁生標J 加0 = 0<3>建a關于X、V、Z的方我如，二£ 二 0(4)解方把加【常見考法】考法一線線角1.在正方體ABCO-A/iG。】中,E為棱CG上一點且CE = 2EQ ,則異面直線A石與48所成角的余弦值為()4411A Vhr E4422【答案】B 【解析】以。為原點，DA為X軸，OC為y軸，。1為Z軸，建立空間直角坐標系, 設AB = 3,則A(3,0,0), £(0,3,2), A(3,0,3), B(3,3,O), aE = (3,3,2), A總=(。,3,3),設異而直線AEqA 8所成角為e,則

3、界面直線AE 0 AB所成角的余弦值為:河.利 3 而COS i7 = -!-=- =明利后.加22 -故選：B.2 .如圖，直三棱柱A8C - 4&C'的側棱長為3, ABVBC. AB = BC = 3,點、E,尸分別是棱A8, BC上的動點，且AE = BF,當三棱錐8'石"的體積取得最大值時，則異面直線4尸與AC所成的角力( )【答案】C 【解析】設AE =斯=*則 £M='x/xax(3 a)x3If-"-)/> /-«/ 3 2、，83即。=一時等號成2即當三棱錐"一£»尸的

4、體積取得最大值時，點E,可分別是棱A3, 8c的中點,方法一：連接AE, Ab,則AE = C占，AF = '卮 4E = jM+A尸=匕 EF = -AC = 22222因為EF AC,所以N4莊即為異面直線4E 5 AC所成的角,81 9_45由余弦定理得COSZAfFE = A卜 丁；:產二=< 23=,2A'FEF 203 22 2方法二：以5為坐標原點，以8C、BA. B3'分別為x軸、）'軸、z軸建立空間了辦匕士、3則 A(0,3,0), C(3,0,0), A(0,3,3), F 二,0,0 < 2A戶=(；,3,3), AC = (3

5、,3,0),71所以異面直線AF與AC所成的角為一.故選：C 4,則異而直線A片與8G3 .三棱柱ABC A與G中，底而邊長和側棱長都相等，NZMA=NC4A = 所成角的余弦值為（）A.在B.叵C.正364【答案】B1解析】設棱長為1，AAi=c AB = a AC = b-1 r 11由題意得：a-b =-. be =，ci c=- 222/ AB) =a+c BC = Be + BB =h-d+c ：.ABlBCl=(a + c)(h-a + c) = ab-a2+ac+b-c-ac+c2=- + 又麗卜西+7 = >Ja2 +2a-c+c2 =43ICj =-« +c)

6、 = yjb1 +(i2 + c1 2d - b + 2b - c 2d- c - & ABBCX 1 娓cos < ABi, BCi >= , . =河 Hg| 76 6即異面直線ABJjBG所成用的余弦值為：Y5本您正確選項：B64.如圖，在四棱錐PA3CZ）中，底而A8CD是平行四邊形，PG，平面43CQ，垂足為G, G在AO上，且PG = 4,AG = 1g/X8GJ,GC,G8 = GC = 2,七是8c的中點. 3（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值;PF（2）若尸點是棱尸。上一點，且OFLGC，求"的值.FC【答案】（1） 巫：（2） 3.10【

7、解析】（1）以G點為原點. GB、GC、GP分別為“軸,軸、z軸建立空|司宜角坐標系，則8（2,0,0）,C(0,2,0), P(0,0,4),故 £(1,1,0),gE = (1,1,0), PC4 = (02-4), EQ 1： 0):GE = (1;1:0):PC = (0:2:4).GE。PC所成角的余弦值為® .103 333（2）解：設b（0,y,z）,則。產二（02）-（-彳：,。=（工/-亍2）,v5figc > 二而反=0，333即（一,y_二,Z）（0,2,0） = 2y_3 = 0. ）= _, 222又麗=2的，即（0,|,Z4）=2（0,2,

8、-4）,3z = i，故尸（。，5，1）,3小31 PF 5尸產=（°2一»4=（叼1）' '.正=災=3考法二線而角1.如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，FA = FC,且/DAB =/DBF = 6G .(1)求證：AC，平面BDEF； (2)求直線AD與平而ABF所成角的正弦值.【答案】證明見解析.(2)叵5【解析】(1)設AC與80相交于點0,連接R9， .四邊形A3CD為菱形，.,.AC_L8。，且。為AC中點， ：FA = FC, ：.AC1FO,又 F0cBD = 0, ；.ACL平面 BDEF.(2)連接0尸，四邊形BOE尸為菱形，

9、且NDBb = 60。，.D8廠為等邊三角形,O為BD中點、，：.FO上BD,又AC_LF。，FO_L平而A8CQ.：0A, OB, OF兩兩垂直，建立空間宜角坐標系。一不之，如圖所示，設 A8 = 2, 四邊形A8CO為菱形，ZmB = 60°, ：. BD = 2, AC = 26 為等邊三角形，OF = 6.A(&0,0), 8(0,1,0), D(0-l,0), F(0,0,75),.而=(-/=(-60,，而=(-/1,0).設平面A5廣的法向量為n = (x,)，,z),則，AFn = - JTr + JJz = 0A B n = -y/3x + y = 0 取X

10、 = 1 ,得日=（1,有,1）.設直線AD 1 J 'Kifii ABF所成角為8,2.在直角三角形48。中，ZC = 90°, AC = 3, BC = ® M、N分別在線段AC、48上, MNBC, AM = 2MC,沿著MN將aAMN折至如圖，使4C = J5.（1）若P是線段AC的中點，試在線段N5上確定點。的位置，使尸。而4MN；（2）在（1）條件下，求。與平面AMN所成角的正弦值.【答案】（1）。為3N的中點（2） 辿.38【解析】（1）取CM的中點L,連接PL,QL,於、為MN心BC ,設NQ = QB, 則。心是梯形8CWN的中位線，WQLMN、因

11、為。La而AMMMNu而大的所以。力面AMN ，同理可證PL/面Amn， 又 PL, QL u 而 PQL, PL n QL = L ,所以而 PQL 面 AMN， 所以產。而A'MN,即。為8N的中點時，尸。而AMN：（2）因為三角形A8C中，NC = 90°,AC = 3,BC = /,MN8C,4M=2MC.所以MC = 1,4M=2,由a'C = Q，易知4M2=M。2 + 4。2,所以 A/CJ_AC.又 MN / BC ,所以 5CJ_MC,8clAC,以C為原點,CM,CB,CA'所在宜線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系C一型, 所以。（0,

12、0,0）,例0,6,0）,加（1,0,0）,%1,£,0 ,4（0,0,6）,.二。:.CQ =又麗=0、蟲,0 麗=（一1,0,"）.設平面A'MN的法向量? = （x, 乂 z），m - IM =0 * <m- MAr = 0Wy =。，令z = l，則X = 3y =。，所求的一個法向量而=/0,1），X + y/3Z. = 0設直線C。q平面A'MN所成角為6,所以sin£ =上"吧=您，CQm38馥匕。與平面AMN所成角的正弦值為竺9 . 383.如圖，在RAA8C中，ZC = 90°, CA = 2, CB =

13、 20 現沿AA3C的中位線OE將A4T坦翻折至A'DE,使得二面角4一。七一A為60。.（1）求證：ATLEDt（2）求直線歷T與平面4。石所成角的正弦值.【答案】（1）見解析：（2）叵10【解析】（1）因為BC_LAC, DEIIBC,所以QE_LAC, DE±A'DACrArD = D,所以 DEL平面 4'AC,A'Cu 平面4AC,所以OEJLA'C.（2）解法一：取A4,中點尸，在平面44C內過/作/7于/ ,連接£7，由（1）可知，OEJ,平面44C,，平而4。石JL平面A'AC，/. F/J.平面4。石，ZFE

14、Z為EF 'J平而A8C所成的角，由（1）可知 OE_LA£）,OE_LA'OZADA為二面角A一A的平面角，即NA' D4 = 60。，且4） = 4" ：.AA, = AD = A,D = ,4爐一（招2=史22V AE = A'E = -AB = 2, :.EF±AA 2EF =在曲1/中，77 = A'尸sin60° =蟲， 4在R1AEFI 'l'» sinZ.FEI =上） = , EF 4 V1510V EFA'3,直線84。平面4小所成角的正弦值也為好.10解法二：

15、由（1）得即_1_平而4C4,因為8C7/EQ,所以BC_L平而4CA,以C為原點，C4. C8分別為x, 軸，建立空間直角坐標系，則0（1,0,0）,石（1,后0）, 4 g，0，Ej，8（0,26,0）,所以設平面A'DE的法向量為n = (x, y,z)，褥y = 0h±DE '由j，即 1JTIn 1 DA! L +火.0 122令 z = B 則 x = 3,所以萬= (3,O,J5)，設84'叮平面A' DE所成角為nl . n AlB 35/5則 sin 0 =- = =.nArBV12-V15 10直線84'弓平面A'D

16、E所成角的正弦值也為立.10垂足分別得空間幾何體A0E4.如圖，梯形A3CQ中，AB/CD,過48分別作AE,CD, BFLCD, E, F.AB = AE = 2, CD=5,已知OE = 1，將梯形A8CO沿尸同側折起, BCF,如圖(2).(1)若證明：DE上平面ABFE ；(2)若DE/CF , CD = B 線段A8上存在一點P，滿足CP與平而AC。所成角的正弦值為乂二，求 20AP的長.2【答案】(1)證明見解析：(2)-.3t解析】(1)由已知得四邊形麗是正方形，且邊長為2,在圖2中，AF±BE由已知得 A/_L8。，班:c8£) = 8.AE，平而 8OE,

17、又 DEu 平面 SDE, :.AF 上 DE，又AE工DE，4石04/=4，.£石，平面八3莊.(2)在圖2 中，AE 工 DE，AE±EF.。石 cEF = E，即 AE _1_而 比陽，在梯形。牙c中，過點、。作DM /EF交.CF干點、M,連接工，由題意得。W = 2, CM = 1,由勾股定理可得。C_LB.則NCOM=2, CE = 2, 6過£作七GJ_所交改尸點G,可知G£, EA,4兩兩垂直,以£為坐標原點，以百，而，而分別為丫軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.則 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,l,AC

18、= (-2J，V3),XB =f ? 3)-2，-2'T -設平而片的一個法向量為萬=（X, y, Z）,nAC = O 得Vn-AD = O-2x+y + gz = 01y/3 ，取 X=1 得1=(L 1,6b"2x"2 V + T4 = o設” = ?，則 P(2,m 0), (0<w<2),得而設b與平而月所成的角為8.sind = cos(CP,7i| =/ ""= =>? = 小國L lf 203,2所以AP = .3考法三二面角1.已知四棱柱A8CO - A4GA的底面是邊長為2的菱形，且3C = 5Q，DD1，平

19、而A8CD, M = 1 8EJ_C£于點E,點尸是A蜴的中點.（1）求證：AF平面BEC” （2）求平面A。尸和平而BEG所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）這7【解析】（1）證明：3C = 8。，8E_LC£）, J E是CO中點,取A8中點G,連片G, GE,如下圖所示：則在菱形 A8CQ 中，EG = BC, EG / BC；BC = B©, BC/B£. ：.BG=GE, B.C./GE,.四邊形8£EG為平行四邊形，C,E / Bfi ,乂 BF = AG ,男尸AG. . ,.四邊形4GA尸為平行四邊形,：.af/

20、bg9 ：.af/ce.又 AFu平而 BEG，GEu 平 ifHBEG，A AE 平而8EG .即證.（2）以。為原點.以。C,DG,DA分別為x,y,二:臼所小的空間的“你坐標因為已知該四棱柱為直四棱柱，BC = BD, BC = CD,所以MC。為等邊三角形.因為BE LCD,所以點E是。的中點.故點。（0,0,0）, A（-l,"0）, D,（0,0,1）, E（l,0,0）,4（-1,點 1）,男（1,瘋1）, F（0,1）.設平面AO產的法向量為a =（x,y,z）,方=（一i,6,o）, of =（o,aDA = 0_ 得«DF = 0-A* + y/y =

21、0, 向，+ z = 0,取 y = 1» 得 x = 5/3 » z = 5/3 »故=（小,1,-布）.。西=（1,0,-1）,而=（0,-/0）,。|月=以=（_1，。，_1），：.DlE BE = DlE CE = （）. ：.DE面 BEC1的法向量,設平面ADF和平面8EC1所成銳角為6,八 aOE 2外 屈則2訴=齊屹即平面ADF和平面BEG所成銳角的余弦值為 72.如圖，己知三棱柱ABC-A4G中，平面AACC，平而48C,= AC , ACLBC.（1）證明：AC ± ABX ；（2）設AC = 2CB = 2, ZA,AC = 60&

22、#176;,求二而角£一八4一8的余弦值.【答案】（1）見解析（2）正4【解析】（1）連接AG .AA,=AC, .平行四邊形 AAGC 為菱形，.AlC'AG. .平而 AAGC_L 平面 ABC,平面 A41GCfl 平面A8C = AC, BCu平面48C, BC1AC .BCL'FlffiAAGC. 8C8G，.4G L平面 AAG。，.8iG，4C.又.AGn8£=G，46，4。4平面明弓4C_L平而A81G.v AB u 平面 ABC, A1C ± ABX.（2）取4G的中點為M，連接CM.，CB,由乙&4。=60二 可知CMJ

23、.AG，。0，47.又8。_1平面44。，故可知C為坐標原點,CM分別為x, ）'，z軸建立空間直角坐標系，如圖.則。(0,0,0), 40,0,6), A(2,o,o), 8(0,1,0),用(一1,1,的).fll（1）知，平面4片G的一個法向量為西= （1,0,退）./、萬A啟=0設平面AB用的法向量為n = （x, y,z）,則|.一 2x+y = 0-3x + y + Qz = 0萬AB】=0v AB = (-2X0)9 麗=(-3,1,遂卜令x = l,得= 2, Z=t，即萬=1,2 3<4合圖可知，二面角G-明為鈍角，則二面角G-明-B的余弦值為一巫43.在如圖所

24、示的三棱錐A 3CD中，A43D是邊長為2的等邊三角形，BC = DCf，MN是MBD 的中位線，P為線段8C的中點.（1）證明：MN工NP.（2）若二面角A 8。C為直二面角，求二面角A ATM的余弦值.【答案】（1）見解析：（2） 7【解析】（1）如圖，取3。的中點為。，取30的中點E,連接AO,CO,EN,PE.因為是邊長為2的等邊三角形，8。=。，所以AO_LBD.因為 AN = BN,BE = EO,故 ENHA0,極 EN1BD.因為 BC = CD = R、BD = 2 ,所以 3。2=8。2+。2 且 CO_L8£）,所以 N8C£> = 2.2因為

25、BP = PC,BE = EO,故 EPHCO,所以石P_LBZ).因為 ENcEP = E，EN u 平面 ENP, EPu 平面 ENP，故BDL平面 ENP, 因為 NPu 平面 ENP. BD1NP.因為AN = N3,AM=A/3,故MNHBD,所以M/VJ.NP.(2)由(1)可得AOJ_3£>,COJ_8。，所以NAOC為二而角A - BO-C的平面角，因為:面向A-BD-C為直二面角，所以ZAOC =-即AO1OC.2建立如圖所示的空間直角坐標系，則 0(0,0,0),A(0,0,C),N“T iki MA"的法向吊為三=(x, y, z),NP m = 0即，MN ,而=0y yl3z = 0廣，故x = 0,取)，= /,則z = l，x = 0 所以?=(o, J51).設平面ANP的法向量為n =（凡匕卬）,NP /? = 0AN - ” =0取卬=1 ,則 =y/3,V =，nrn _4_ 26m n "x"7因為二面角A-NP-M的平而角為銳角,故:面角ANPM的余弦值為逆. 74 .如圖1,直角梯形A8C£中，A38C, A3J_AQ,£尸分別是AO和8c上的點，且/記 EF , A£ = 2，AB = DE = -CF = 39沿麻將四邊形A