1、第 四 章 扭 轉(zhuǎn)同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮一、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容1、教學(xué)目標(biāo)(1)掌握扭轉(zhuǎn)的概念；(2)熟練掌握扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（扭矩）計算和畫扭矩圖；(3)了解切應(yīng)力互等定理及其應(yīng)用，剪切胡克定律與剪切彈性模量；(4) 熟練掌握扭轉(zhuǎn)桿件橫截面上的切應(yīng)力計算方法和扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計算方法；(5) 熟練掌握扭轉(zhuǎn)桿件變形（扭轉(zhuǎn)角）計算方法和扭轉(zhuǎn)剛度計算方法；(6)了解低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象并進(jìn)行分析。(7)了解矩形截面桿和薄壁桿扭轉(zhuǎn)計算方法。2、教學(xué)內(nèi)容(1) 扭轉(zhuǎn)的概念和工程實(shí)例；(2) 扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（扭矩）計算,扭矩圖；(3) 切應(yīng)力互等定理, 剪切胡克定律;(4) 扭轉(zhuǎn)桿件橫截面上的切

2、應(yīng)力, 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件；(5) 扭轉(zhuǎn)桿件變形（扭轉(zhuǎn)角）計算，剛度條件；(6) 圓軸受扭破壞分析；(7) 矩形截面桿的只有扭轉(zhuǎn)；(8) 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)。二、重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)：教學(xué)內(nèi)容中（1）（6）。2、難點(diǎn)：切應(yīng)力互等定理，橫截面上切應(yīng)力公式的推導(dǎo)，扭轉(zhuǎn)變形與剪切變形的區(qū)別，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力連接件中切應(yīng)力的區(qū)別。通過講解，多媒體的動畫演示扭轉(zhuǎn)與剪切的變形和破壞情況，以及講解例題來解決。三、教學(xué)方式 通過工程實(shí)例建立扭轉(zhuǎn)概念，利用動畫演示和實(shí)物演示表示扭轉(zhuǎn)時的變形，采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。四、建議學(xué)時 6學(xué)時五、實(shí)施學(xué)時六、講課提綱工程實(shí)例：圖4-1*扭轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)變形1

3、、何謂扭轉(zhuǎn)？如果桿件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)，則這桿件就承受了扭轉(zhuǎn)。換言之，受扭桿件的受力特點(diǎn)是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)。2、何謂扭轉(zhuǎn)變形？在外力偶的作用下，桿件的任意兩個橫截面都繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。桿件的這種變化形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。換言之，受扭轉(zhuǎn)桿件的變形特點(diǎn)是：桿件的任意兩個橫截面都繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。I 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度計算一、外力偶矩、扭矩和扭矩圖1、外力偶矩(T)的計算 KN·m (7-1)Pp指軸所傳遞的功率（馬力） n指軸的轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/分、r/min） KN·m (7-2)PkW指軸所傳遞的功率（千瓦、Kw

4、） n指軸的轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/分、r/min）2、扭矩（Mn）的確定及其符號規(guī)定（1）Mn的確定 截面法圖4-3 （2）Mn的符號規(guī)定 右手螺旋法則圖4-43、扭矩圖 扭矩隨軸線橫截面位置改變而變化的規(guī)律圖，稱為扭矩圖。作法：軸線（基線）x 橫截面的位置縱坐標(biāo) Mn的值正、負(fù) 正值畫在基線上側(cè)，負(fù)值畫在基線下側(cè)。例題 7-1 一傳動軸作每分鐘200轉(zhuǎn)的勻速轉(zhuǎn)動，軸上裝有5個輪子（7-2,a）。主動輪2輸入的功率為60kW,從動輪1，3，4，5依次輸出的功率為18kW,12kW,22kW和8kW。試作出該軸的扭矩圖。圖4-5解：（1）代入公式7-2，將計算所得的外力偶矩值標(biāo)上各輪上。 （2）作扭矩圖，見

5、圖4-5，b一、 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力1、實(shí)心圓軸（1）的分布規(guī)律(a) (b) 圖4-6（2）的方向由Mn確定，與M n同向（見圖4-6，a） 注意半徑（3）的計算 (7-3)式中Mn- 橫截面上的扭矩； -指截面上所求應(yīng)力的點(diǎn)到截面圓心的距離; Ip-指實(shí)心圓截面對其圓心的極慣性矩，其計算式為。（4）計算公式的討論：對于某一根受扭的圓軸而言，一定發(fā)生在所在段；在確定的截面上，一定發(fā)生在處（周邊上）；Ip的意義從的計算公式討論Ip ：Ip愈大，愈小；從應(yīng)力分布狀況討Ip ：靠近圓心的材料，承受較小的應(yīng)力。設(shè)想：把實(shí)心軸內(nèi)受應(yīng)力較小部分的材料移到外層，做成空心，達(dá)到充分利用材料、減輕自重的

6、目的。 2、空心圓軸（1）的分布規(guī)律（2）的計算圖4-7計算式與實(shí)心圓軸的相同，只是極慣性矩的計算不同空心圓軸的Ip空計算 式中的（3）的方向仍舊由扭矩的轉(zhuǎn)向確定，垂直半徑。3、薄壁圓筒（1） 界限及誤差當(dāng)時，可用薄壁圓筒公式計算，用空心、薄壁計算公式之誤差僅為3%左右。（2） 的分布規(guī)律 圖4-8（3）的計算 （r0見圖4-8） （7-4） 三、圓軸扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力橫截面上：發(fā)生在周邊各點(diǎn)，=0圓軸扭轉(zhuǎn)時，軸內(nèi)的最大應(yīng)力如何？需要研究任意點(diǎn)、任意截面上的應(yīng)力情況，即需要研究斜截面上的應(yīng)力情況。在任意一點(diǎn)取一微小的正六面體abcdefgh:圖4-9分析垂直于前后兩個面的任一斜截面mn上的應(yīng)

7、力：設(shè)斜截面mn的面積為dA,則mb面和bn面的面積：選取參考軸、寫出平衡方程： 利用，整理上兩式，得： (a) (b)據(jù)此(a)(b)兩式，可確定單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力、最大和最小正應(yīng)力以及它們所在截面的方位：（1）由(b)式知，單元體的四個側(cè)面上的剪應(yīng)力的絕對值最大，且均等于。 （2）由（a）式知：即：圖4-11這一結(jié)論可以從扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)中試件的破壞現(xiàn)象得到驗(yàn)證。 （低碳鋼） （ 鑄鐵 ）圖4-11四、圓軸扭轉(zhuǎn)時強(qiáng)度條件 （7-5）-等直圓軸受扭時的強(qiáng)度條件對于實(shí)心圓截面 對于空心圓截面 而 ：（1）可通過扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)測定：S-塑性材料b-脆性材料（2）例題4-2 已知：主傳動軸AB由45#鋼的無縫

8、鋼管制成。外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm,=60MPa,工作時承受Mnmax=1.5KN·m試：校核該軸的強(qiáng)度。圖4-12解：1、 按薄壁圓管公式計算：2、 按空心圓軸公式計算：校核結(jié)果：強(qiáng)度足夠。兩種計算方法的誤差比較：例題4-3 若將AB軸改為實(shí)心軸，應(yīng)力條件相同（即），試確定實(shí)心軸的直徑D1=？并比較空心軸和實(shí)心軸的重量。解：兩軸長度相等，材料相同，則重量之比=面積之比則： （用料） （重量）小結(jié)：在載荷相同的條件下，空心軸的重量只為實(shí)心軸的31%；截面如何合理，一方面要考慮強(qiáng)度、剛度因素，同時也要考慮加工工藝和制造成本等因素；空心圓軸的壁厚也不能過薄，否則會發(fā)生折皺而喪

9、失承載能力；應(yīng)注意的是：若沿薄壁管軸線方向切開，則其扭轉(zhuǎn)的承載能力將大為降低。圖4-13、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算1、扭轉(zhuǎn)角與剪切角的概念圖4-142、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算扭轉(zhuǎn)角的計算rad（弧度） （7-6）°（度） （7-7）單位長度扭轉(zhuǎn)角的計算Rad/m （7-8）°/m （7-9）3、扭轉(zhuǎn)時剛度條件Rad/m （7-10）°/m （7-11）例題4-4 某軸AB段是空心軸，內(nèi)外徑之比；BC段是實(shí)心軸（其倒角過度忽略不計），承受的外力偶矩及其長度如圖示，已知軸材料的=80MPa、=1、G=80GPa,試設(shè)計D和d 應(yīng)等于多少？圖4-15解：1、作扭矩圖 2、根據(jù)

10、強(qiáng)度條件設(shè)計D、dAB段：BC段：3、根據(jù)剛度條件設(shè)計D、dAB段：BC段：4 結(jié)論：D=61.1mm 剛度條件確定。d=48.1mm 剛度條件確定。 扭轉(zhuǎn)超靜定例題4-5 圓軸受力如圖4-15 所示。已知：D=3cm，d=1.5cm, =50MPa、=2.5、G=,試對此軸進(jìn)行強(qiáng)度和剛度校核。圖4-16解：截面的幾何性質(zhì)計算：AC段：CE段：求約束反力:解除A端約束，建立變形協(xié)調(diào)條件： 圖4-17，即：將G、代入上式運(yùn)算，得 再由靜力平衡方程解出 強(qiáng)度校核BC段： DE段： 剛度校核BC段： DE段： 均 矩形截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。一、非圓截面桿與圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時的區(qū)別（a） (b

11、)圖4-18圓截面桿受扭：平面假定非圓截面受扭：截面翹曲圖a所示的縱向線和代表橫截面的橫向周界線，在桿件受扭后，橫向周界線已變?yōu)榭臻g曲線（圖b）。說明：原平面的橫截面在變形后成為凹凸不平的曲面，這一現(xiàn)象稱為翹曲。二、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的兩種情況1、自由扭轉(zhuǎn)等直桿在兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，其截面翹曲不受任何限制，這種情況稱為自由扭轉(zhuǎn)。因截面翹取不受任何限制，所以桿內(nèi)各個橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上仍只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力。2、約束扭轉(zhuǎn)由于約束條件或受力條件的限制，造成桿件各橫截面的翹曲程度不同，這勢必引起相鄰兩截面間縱向纖維的長度改變。于是橫截面上除剪應(yīng)力外還有正應(yīng)力。這種情況稱為約束扭轉(zhuǎn)。三、非

12、圓截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形1、矩形截面桿（1）截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律圖4-19最大剪應(yīng)力發(fā)生在截面長邊的中點(diǎn)處 -與截面尺寸比值（h/t）的有關(guān)系數(shù)（短邊中點(diǎn)）-與截面尺寸比值（h/t）的有關(guān)系數(shù)式中： 、可按截面尺寸比值從教材提供的表格中查取。截面周邊各點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向一定與周圍平行（相切）。截面凸角點(diǎn)處的剪應(yīng)力一定為零。（2）單位長度扭轉(zhuǎn)角的計算式-與截面尺寸比值（h/t）的有關(guān)系數(shù)2、狹長矩形截面桿當(dāng)矩形截面的h/t>10時，稱為狹長矩形。（1）截面上的應(yīng)力分布規(guī)律最大剪應(yīng)力發(fā)生在截面長邊除靠近頂點(diǎn)外的各點(diǎn)。 長邊上除靠近頂點(diǎn)以外均相等長邊各點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向均與長邊相切。截面凸角點(diǎn)的剪應(yīng)力為零。圖4-20（2）單位長度扭轉(zhuǎn)角的計算式 例題4-6 某柴油機(jī)曲軸的曲柄截面I-I上的可近似地按矩形截面桿受扭計算。若t=