1、第二章：數(shù)列1、數(shù)列中an且Sn之間的關(guān)系：S ，(n 1) 一 八人an注意通項(xiàng)能否合并。Sn Sni,(n 2).2、等差數(shù)列：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即 an -an i =d , (n>2, n C N ),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項(xiàng)：若三數(shù) a、A、b成等差數(shù)列A 2通項(xiàng)公式：an a1 (n 1)d am (n m)d或an pn q(p、q是常數(shù)).前n項(xiàng)和公式:n n 1 n a1anSn na1d 22常用性質(zhì)：若 m n p q m,n,p,q N ，貝U am an ap aq ；下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)ak, ak

2、m, ak 2m,仍組成等差數(shù)列；數(shù)列 an b (由為常數(shù))仍為等差數(shù)列；若an、bn是等差數(shù)列，則kan、kan pbn (k、p是非零常數(shù))、*.ap nq( p, q N )、,也成等差數(shù)列。單調(diào)性：an的公差為d ,則：i) d0an為遞增數(shù)列；ii) d0an為遞減數(shù)列；iii) d0an為常數(shù)列；數(shù)列an為等差數(shù)列an pn q (p,q是常數(shù))若等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn,則Sk、S2k Sk、S3k S2k 是等差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義一;如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。2笠比中項(xiàng)二若三數(shù) a、G b成等比數(shù)列G

3、ab, (ab同號(hào))。反之不一定成立。n 1n m通項(xiàng)公式：an aqamq一 c ai1 qn前n項(xiàng)和公式：Sn n1 qa anq1 q若 m n p q m,n, p, q N,貝U am anap aq ；常用性質(zhì)Word資料ak,ak m,ak 2m,為等比數(shù)列，公比為 qk(下標(biāo)成等差數(shù)列，則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列)數(shù)列an為不等于零的常數(shù))仍是公比為 q的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列an ；則lg an是公差為lgq的等差數(shù)列；21若an是等比數(shù)列，則 can , an2 , 一，an2 1 ranr (r Z)是等比數(shù)列，公比依次是 q, q q .q單調(diào)性：a1 0,q 1 或 a1

4、0,0 q 1 an 為遞增數(shù)列；a1 0,0 q 1或& 0,q 1an為遞減數(shù)列；q 1an為常數(shù)列；q 0an為擺動(dòng)數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,則Sk、S2kSk、S3kS2k是等比數(shù)列4、4座差、二比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型I I 觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng), 求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)， 一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析， 尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。類型n I公式法：若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列 an的通項(xiàng)an可用公式an§,(n 1)構(gòu)造兩式作差求解。Sn Sn 1,(n 2)用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能

5、，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為,即a1和an合為一個(gè)表達(dá)，(要先分n 1和n 2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一")。類型出累加法：形如_an 1 an f (n)型的，推數(shù)列 (其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù))可 構(gòu)造:an an 1 f(n 1)an 1 an 2 f (n 2).a2 ai f (1)將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相加，可得:an f(n 1) f(n 2)f(2)f(1) a(n 2)若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若f (n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

6、 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和類型W 累乘法：形如an 1 an f (n) an-1 f (n)型的遞推數(shù)列(其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù))可構(gòu)造: -ananan 1f(n 1)an 1an 2f(n 2)a9二 f(1)a1將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相乘、可得:an f(n 1) f(n 2)f (2) f (1區(qū),(n 2)有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型v I構(gòu)造數(shù)列法：形如an 1 pan q (其中p,q均為常數(shù)且p 0)型的遞推式：(1)若p 1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)若q 0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列；(3)若p 1且q 0時(shí)，數(shù)

7、列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比 數(shù)列來求方法有如下兩種：法一：設(shè)an 1p(an)，展開移項(xiàng)整理得an 1pan (p 1),與題設(shè)an 1 pan q比較系數(shù)(待定系數(shù)法)得qqqqq 口口,(p 0) an 1p(an)anp(an 1)，即p 1p 1p 1p 1p 1an 二 構(gòu)成以a1 -q為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式p 1p 1求出an的通項(xiàng)整理可得an.p 1法二：由an1 pan q得an pan 1 q(n 2)兩式相減并整理得 aanp,即an an 1an 1an構(gòu)成以a2仇為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.求出an1an的通項(xiàng)

8、再轉(zhuǎn)化為類型出(累加法) 便可求出an.形如an 1 pan f(n) (p 1)型的遞推式：f (n)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí)：法一：設(shè)& An B p 為 1 A(n 1) B ,通過待定系數(shù)法確定 A、B的值，轉(zhuǎn)化 成以a A B為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列an An B，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an An B的通項(xiàng)整理可得a1法二：當(dāng)f (n)的公差為d時(shí)，由遞推式得：an 1 pan f (n) , an pan 1 f (n 1) 兩式相減得：an1anp(anan1) d ,令bnan1an得：bnpbn 1d轉(zhuǎn)化為類型V求出bn ,再用類型出(累加法) 便可求

9、出an.里f (n)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí)：法一：設(shè)anf (n) p an 1 f (n 1),通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以a1f(1)為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列 a f(n),再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an f(n)的通項(xiàng)整理可得an.法二：當(dāng)f(n)的公比為q時(shí)，由遞推式得：an 1pan f (n)，anpan 1 f(n 1),兩邊同時(shí)乘以q得anqpqan 1 qf(n 1) ，由兩式相減得an 1 anq p（an qan 1）,即亙 p ,在轉(zhuǎn)化為 類型V便可求出an. an qan 1法三：遞推公式為 an 1 pan qn （其中p, q均為常數(shù)）或an 1

10、pan rqn （其中p,q, r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以qn1,得： 與 衛(wèi)？霽 1 ,引入q q q q輔助數(shù)列bn （其中bn t），得：bn 1 bn 1再應(yīng)用類型V的方法解決。 qq q當(dāng)f （n）為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在an 1 pan f（n）兩邊同時(shí)除以pn1可得到"戈 p pbn 1bnpnbn .里，在轉(zhuǎn)化為類型出（累加法），求出bn之后得an p類型w對(duì)數(shù)變換法： 形如an 1 paq（p 0,an 0）型的遞推式：在原遞推式an 1 paq兩邊取對(duì)數(shù)得lg an 1 qlg an lg p ,令bn lg an得：bn 1 qbn lg p

11、 ,化歸為an 1 pan q型，求出bn之后得an 10bn.（注意：底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選擇）。類型口 I 倒數(shù)變換法：形如an 1 an pan冏（p為常數(shù)且p 0）的遞推式：兩邊同除于an冏，轉(zhuǎn)化為1 1 一 p形式，化歸為 an 1 pan q型求出 工的表達(dá)式，再求 an；an an 1an還有形如an1 上心 的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成 1- mA m形式，化歸為 pan qan 1 q an pan 1 pan q型求出 工的表達(dá)式，再求 an. an類型皿形如an 2 pan 1 qan型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列 an an 1的形式求解。方法為

12、:設(shè)an 2 kan i h(an i kan)，比較系數(shù)得h k p, hk q ,可解得h、k ,于是 an i kan是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為 an 1 pan q型。總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解， 對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法 求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式 an.5、非等差、等比數(shù)列前 2項(xiàng)和公式的求法相位相減法若數(shù)列 an為等差數(shù)列，數(shù)列 bn為等比數(shù)列，則數(shù)列 an bn的求和就要采用此法將數(shù)列 an bn的每一項(xiàng)分別乘以bn的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和.此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法

13、 裂項(xiàng)相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng) an (a,bi,b2,c為常數(shù))時(shí)，往往可將 an(an bi)(an b2)變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和.可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng):設(shè)an ，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得an bi an b2c,從而可得b2 bic-=c ( 11).(an b)(an b2) (b2 b) an b1an b2常見的拆項(xiàng)公式有：111 ；n(n 1) n n 111/11 、 -()；(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1Cnmi C n n! (n 1)! n!.分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列， 也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開， 可分為幾個(gè) 等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，