1、R'上的一列連續函數1、設E R', f (x)是E上ae有限的可測函數，證明：存在定義在 gn，使得 nim gn(x) f (x)ae于 E。證明：因為f (x)在E上可測，由魯津定理是，對任何正整數 n ,存在E的可測子集En,1_i使得m(E En)-,同時存在定義在 R1上的連續函數gn(x),使得當x En時，有 ngn(x) f(x)所以對任意的 0,成立E|f gn| E En由此可得1 rmE| f gn | n m(E En),因此 lim mE| f gn | n 0即 gn(x)f(x),n n由黎斯定理存在gn的子列gnk,使得lim gn(x) f

2、(x) , a.e.于e kk2、設£院)是(，)上的連續函數，g(x)為a,b上的可測函數，則f (g(x)是可測函數。證明：記E1 (,),E2 a,b,由于f(x)在日上連續，故對任意實數c,E1f c是直線上的開集，設 Efc U( n, n),其中(n，n)是其構成區間(可能是有限n 1個， n 可 能 為n 可 有 為)因此E2f(g) c UE2 n g n UIgnIEzgn)因為 g 在 E2上可n 1n 1測，因此E2gn, E2gn都可測。故E f(g) c可測。3、設£(刈是(，)上的實值連續函數，則對于任意常數a, E x|f(x) a是一開集，而

3、E x| f (x) a總是一閉集。證明：若 E,則f(xo) a,因為f(x)是連續的，所以存在 0,使任意x (,),|x xo| 就有f(x) a,即任意x U(xo,，就有x E,所以U(xo, ) E,E是開集若 xn E,且 xn xo(n )，則 f(xn) a,由于 f(x)連續，f (xo) lim f(xn) a, n即xo E ,因此E是閉集。1、4、設A2n1 (o,-),A2n(o,n),n 1,2,L ,求出集列An的上限集和下限集 n證明：lim An (o,)設* (o,)，則存在N,使x N ,因此n N時，o x n,即 nx A2n,所以x屬于下標比N大的

4、一切偶指標集，從而 x屬于無限多An ,得x lim An,又顯然lim AnnxA2n1,即0An，因此若2n 1 N 時,1人x 一，令nn0 ,此不可能，所以lim An n(0,工所以lim An(0, ) lim An若有x lim An,則存在N，使-可編輯修改-(2)可數點集的外測度為零證明：證明：設E x |i 1,2,L 對任意0,存在開區間Ii,使為h,且|l | 2所以UIi E,且 | Ii | ，由的任意性得5、設fn是E上的可測函數列，則其收斂點集與發散點集都是可測的。證： 顯然， fn的收斂點集可表示為 E0Ex lim fn(x) lim fn(x)E lim

5、fnlim fnlim fn在E上可測。 x由fn可測lim fn及lim fn都可測，所以lim fn從而，對任一自然數k, E lim fnxlim fnx1, ，一一可測。故kE。kE lim fn limxxfn1可測。既然收斂點集Eo可測，那么發散點集E Eo也可測。EBn 且 m ( An- Bn) -0,6、設E Rq ,存在兩側兩列可測集An, Bn,使得An(n一8)則E可測.證明：對于任意i ,Bnn 11Bn-EB又因為 A E , Bi EBi所以對于任意i, m*( Bnn 1E)m* (BE) m*(BiA) m(Bi A)令 i 8 ,由 m(Bi A) 一0 得

6、 m* ( nBnE) 0所以1Bn E是可測的又由于n 1Bn可測，有 Bn也是可測的所以 n 11Bn(n1BnE)是可測的。7、設在E上fn，而fngn xa.e.成立,n 1,2K,則有 設巳E fngnUEn n 1mEn0。f gnU EnUEffnmE fgnm UEnn 1mEfnmE f fn因為fnlim mEngnlim mEnfn即 gn x f8、證明：(AB)證明：因為A(A(A從而反之，對任意x (AB(x,)B (AB)從而B(x,)所以，x9、證明:證明:所以,B),即對任意B(x,),有(A B) (B(x, ) A) (B(x,)B)為無限集,A為無限集或

7、B(x, ) B為無限集至少有一個成立，即 xB , (A B) A B。綜上所述，(A若 fn(x)f(x), fn(x)g(x) (x E),則由于 Ex f(x) g(x) U Ex f n 1Ex f g1.k Ex|fB) A B。1Ex 2kf (x) g (x) a.e.于 E。,1,mEx f g mExk由 fn(x)f (x) , fn(x)g(x) ( x顧 mEx f2k所以，mEx f gfn fE)得1一0,從而 mEx f (x) k12kmEx fn gmEx fn g10、證明：若 fn(x)f (x) , gn(x) g(x) ( x(x E)。證明：對任意

8、 0,由于fn(x) gn(x) f (x) g(x)所以,由 fn(x) gn(x) f (x)g(x)從而所以,fn(x)f(x) 2gn(x)Ex fn gnf gmEx fn gnf g又由 fn(x)f(x),gn(x)g(x)所以,limnmEx fn|im mEx fgn fg11、若 fn(x)f(x) ( x10。2kg(x) 0,即 f(x) g(x)a.e.于E。E),則 fn(X)gn(X)f(x) g(x)fn(x)可得,g(x)Ex fnmEx fn0,0,即E),則 fn(x)得,f (x) gn(x) g(x),|im mEx至少有一個成立。gnfn(x) gn

9、(x)f (x) (x-可編輯修改-Ex gnmEx，gn20。f (x) g(x) ( x E )。E )。0,有證明：因為|fn(X)f(X) | fn (X) | f (X)| ,所以，對任意EX| fn| |f| EX| fnf ,mEx| fn |f| mEX|fnf 。又由 fn(X)f (x) (X E )得，lim mEX| fnf 0。所以,f (x) (x E )。n11nim mEX| fn f| 0 ,即 fn (x)112、證明：R上的連續函數必為可測函數。證明：設f(x)是R1上的連續函數，由連續函數的局部保號性，對任意實數a ,R1x f a x f(x) a,x

10、 R1是開集，從而是可測集。所以， f(x)是R1上的可測函1 13、證明：R上的單調函數必為可測函數。證明：不妨設f(X)是R1上的單調遞增函數，對任意實數a ,記A infx f (x) a,由單調函數的特點得，當A x| f (x) a時，xf(x) a A,)，顯然是可測集；一、一 _ 一 1當A x f(x) a時，x f(x) a (A,)，也顯然是可測集。故 f(x)是R上的可測函數。14、設f (x) L(E) , En是E的可測子集，且mE ，若pm mEn mE ,則lim f (x)dx nEne f(x)dx。證明：因為En是E的可測子集，且mE，所以，m(E En)

11、mE mEn,從而-可編輯修改-由 lim mEn mE得，lim m(E En) nnmE lim mEn 0。又 f(x) L(E),由積分的絕 n對連續性，lim f(x)dx f (x)dx lim f(x)dx 0。 n EEnn E En15、設f (x) L(E),若對任意有界可測函數 (x)都有e f(x) (x)dx 0 ,則f (x) 0 2£.于£。1, x Ex f(x) 0證明：由題設，取(x)0, x Ex f(x) 0,顯然(x)為E上的有界可測函數，1,x Ex f (x) 0從而 e f (x) dx e f (x) (x)dx 0。所以，

12、f(x)0 a.e.于 E,即 f(x) 0 a.e.于 E。16、設 f (x) L(E) , en E f n,證明(1) lim m* 0 ; (2) lim n m* 0。證明：由 n menf (x)dx f(x)dx得，(1) lim men 0。(2)由(1),注意到enEnf(x) L(E),由積分的絕對連續性得，lim f(x)dx 0 ,從而注意到 nen0 n menf (x)dx ,el所以，lim n men 0。 n17、若f(x)是a,b上的單調函數，則f(x)是a,b上的有界變差函數，且bV(f) |f(b) f(a)a證明：不妨設f (x)是a,b上的單調增函

13、數，任取a,b的一個分割T : a x0x1Lxi 1 xi Lxn bnnf(x) f(x)f(x) f(x 1)f(xn) f(x0)i 1i 1f(b) f(a) |f(b) f(a)|,bn所以，V(f) sup I f(xi) f (xi 1)f (b) f (a) oa 1 i 118、若f (x)在a,b上滿足：存在正常數 K ,使得對任意x,x2 a,b,都有f (x1)f %) K x1 x2 ,b則 (1) f (x)是a,b上的有界變差函數，且 V(f) K(b a)；a(2) f (x)是a,b上的絕對連續函數。證明：(1)由題設，任取a, b的一個分割f (Xi)T

14、: a x0x1LXi i 為 LXn bnf (Xi i) K Xii 1Xi inK(Xi X i) K(b a),i 1b所以，f(X)是a,b上的有界變差函數，且 V(f) ansup f (X) f (X 1)T i 1K(b a)。(2)在a,b內，任取有限個互不相交的開區間(Xi,yi), i 1,2,L,n。由于f(X) f(yi)Xi于是，對任意 0,取 一，則當Kyi時，有f(Xi) f(yi)Xiyi即f (x)是a,b上的絕對連續函數。19、若f (x)是a,b上的絕對連續函數，則f (x)是a,b上的有界變差函數。證明：由f (x)是a,b上的絕對連續函數，取1 ,存

15、在 0 ,對任意有限個互不n相交的開區間(X,y。，i 1,2,L ,n，只要 Xi yi i 1n時，有 |f(x) f(yi) 1。i 1現將a,b等分，記分點為a a0 a1 Lai 1aiL an b ,使得每一等份的司n長度小于。易得V(f) 1,即f (x)是41,a/上的有界變差函數。又a,b Uai 1 ,ai,ai 1i 1,即f (x)是a, b上的有界變差函數。bn 馬所以，V(f) V(f) nai 1 ai 120、若f (x)是a, b上的有界變差函數，則x(1)全變差函數 V(f)是a,b上的遞增函數； ax(2) V( f) f (x)也是a,b上的遞增函數。a

16、x2證明：(1)對任意xi, x2 a,b , x2 xi ,注意到V( f) 0,有 xix14V(f) V(f) V(f) V(f),aa為ax即V(f)是a,b上的遞增函數。 a至(2)對任意 x1,x2 a,b , x2 x1 ,注意到 V(f)f (xi) f(xi1)，有為X?xx2V(f) f(x2) V(f) f(x1) Y(f) f(x2) f(x1)V(f) |f(x2) f(x1)0,x1x即V (f) f (x)是a,b上的遞增函數。af(x)可表示成a,b上的21、證明Jordan 分解定理：f (x)是a, b上的有界變差函數兩個增函數之差。證明：充分性”顯然成立。下證 必要性”。xxxx事實上，f(x) V(f) V(f)