1、第二章 靜電場本章主要研究靜電場的一些求解方法。由于靜電場的基本方程是矢量方程，求解很難，因此一般都是采用引入電勢來求解。因此，本章首先引進靜電場的標量勢函數電勢并討論電勢的一些基本特性。然后討論靜電勢方程的幾種求解方法分離變量法、鏡象法、格林函數法以及電荷在小區域分布時的近似求解方法。靜電場的基本特點靜電場：靜止電荷產生的磁場；特點：，靜電場可單獨存在。等均與t無關 不考慮永久磁體（）基本方程： , ；邊值關系：, 。 求介質分界面上的束縛電荷用： 則電磁性質方程： 均勻各向同性線性介質： 靜電平衡時的導體：導體內部： 。外部表面：電荷分布在表面上，電場處處垂直于導體表面。§2.1

2、 靜電勢及其微分方程一 靜電場的標勢1靜電勢的引入：因為靜電場為無旋場,即，所以可以引入標量函數，引入后 靜電場標勢（簡稱電勢）。 的選擇不唯一，相差一個常數，只要知道即可確定 取負號是為了與電磁學討論一致 滿足迭加原理二 靜電勢的微分方程和邊值關系 1滿足的方程泊松方程： 其中僅為自由電荷分布，適用于均勻各向同性線性介質。導出過程： 拉普拉斯方程： （適用于的區域 ）。2邊值關系（S為分界面）（ 由12）(1) 兩介質交接面上邊值關系 證明：（a） PQ 積分為零，所以 即。（b） （為自由面電荷分布）由 （1） 導體表面上的邊值關系由于導體表面為等勢面，因此在導體表面上電勢為一常數。將介質

3、情況下的邊值關系用到介質與導體的分界面上，并考慮導體內部電場為零，則可以得到第二個邊值關系：三靜電場的能量1 一般方程： 能量密度 （均勻各向同性線性介質） 總能量 2 若已知 總能量為 ，但不代表能量密度。導出過程：，該公式只適合于靜電場情況，能量不僅分布在電荷區，而且存在于整個場中。§2. 2 唯一性定理一 泊松方程和邊界條件VS假定所研究的區域為V，在一般情況下V內可以有多種介質或導體，對于每一種介質自身是均勻線性各向同性。設V內所求電勢為，它們滿足泊松方程泊松方程或拉普拉斯方程（區域）的解有多種形式，要確定且唯一確定V內電場，必須給出邊界條件。在數學上這稱為給定邊值條件的求解

4、問題：一般邊界條件有兩類： 邊界S上，為已知，若為導體= 常數為已知。 邊界S上，為已知，若是導體要給定總電荷Q。它相當于給定（）。內邊界條件由 邊值關系給出： 法線方向，在實際問題中，因為導體內場強為零，可以不包含在所求區域V內。導體上下邊界條件為外邊界條件。對于V內兩介質分界面上。二 唯一性定理1均勻單一介質當區域內分布已知，滿足，若V邊界上已知，或V邊界上已知，則V內場（靜電場）唯一確定。1 介質分區均勻（不包含導體）V內已知， 成立，給定區域或Q1Q2在分界面上，或則V內場唯一確定。（證明見書P60）2 均勻單一介質中有導體（證明見書P62）導體中，要求的是內的場。QSS當和，已知或，

5、（，）為已知，則內場唯一。確定， 或。三 唯一性定理的意義（1） 唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求指明了方向。（2） 更重要的是它具有十分重要的實用價值。無論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對于許多具有對稱性的問題，我們可以不必用繁雜的數學去求解泊松方程，而是提出嘗試解，只要滿足方程和邊界條件即為所求的解，若不滿足，可以加以修改。四 應用舉例1兩種均勻介質（和）充滿空間，一半徑a的帶電Q導體球放在介質分界面上（球心在界面上），求空間電勢分布。解：外邊界為無窮遠，電荷分布在有限遠導體上Q給定，所以球外場唯一確定對稱性分析：若，則（回到上例

6、結果）。若，從直觀看似乎不再具有球對稱性，而是具有軸對稱。但是實際情況并非如此。由于無論在介質1還是介質2，導體外表面電場均與表面垂直，因此在P點必然與重合，所以介質分界面上，而。在介質分界面上：所以沒有束縛電荷分布，束縛電荷只分布在導體與介質分界面上。對于上半個空間，介質均勻極化，場具有對稱性，同樣下半空間也具有對稱性。而在介質分界面上，所以可考慮球外電場仍具有球對稱性。設試探解：確定常數：在介質分界面上 下半空間上半空間導體球面上面電荷分布： 下半球面上均勻分布 上半球面上均勻分布束縛電荷分布： 從這里可以看出，電荷在整個球面上是不均勻分布的。這種非均勻分布造成場的均勻分布。從物理機制看：

7、當導體放入介質時，一開始均勻分布，產生的場是非球對稱場，它在介質中產生束縛電荷，束縛電荷也產生一個場，但總場不滿足靜電場唯一性定理，因此導體表面電荷要重新分布。達到靜電平衡時，球外場均勻分布，滿足唯一性定理，這時電荷分布不再是均勻的。§2. 3 拉普拉斯方程的解分離變量法一 拉普拉斯方程的適用條件1 空間處處，自由電荷只分布在某些介質（如導體）表面上，將這些表面視為區域邊界，可以用拉普拉斯方程。2 在所求區域介質中有自由電荷分布，若這個自由電荷分布在真空中，產生的勢為已知。 若所求區域為單一均勻介質，則介質中電勢為真空中電勢 。 若所求區域為分區均勻介質，則不同介質交界面上有束縛面電

8、荷。則區域V中電勢可表示為兩部分的和 不滿足，但使滿足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，邊值關系還要用而不能用。二 解題步驟1 選擇坐標系和電勢參考點坐標系選擇主要根據區域中分界面形狀參考點主要根據電荷分布是有限還是無限2 分析對稱性，分區寫出拉普拉斯方程在所選坐標系中的通解3 根據具體條件確定常數（1） 外邊界條件： 電荷分布有限 邊界條件和邊值關系是相對的。導體邊界可視為外邊界，給定，或給定總電荷Q，或給定（接地 ）電荷分布無限，一般在均勻場中， （直角坐標或柱坐標）xyOV（2） 內部邊值關系：介質分界面上 表面無自由電荷。應用實例（習題課）1 兩無限大平行導體板，相距為，兩板間電勢差為

9、V(與無關)，一板接地，求兩板間的電勢和解：（1）邊界為平面，故應選直角坐標系下板接地 ，為參考點（2）定性分析：由于在處，常數，可考慮與無關。（3） 列出方程并給出解：在區域，（4） 方程的解：（5）定常數： (6) 結果： 顯然滿足和邊界條件 常數，均勻場2半徑a，帶有均勻電荷分布的無限長圓柱導體，求導體柱外空間的電勢和電場。xyzor解：電荷分布在無限遠，電勢零點應選在有限區域，為簡單可選在導體面r = a處（即）。選柱坐標系：對稱性分析： 導體為圓柱，柱上電荷均勻分布，一定與無關。 柱外無電荷，電力線從面上發出后，不會終止到面上，只能終止到無窮遠，且在導體面上電場只沿方向，可認為與z無

10、關， 當r = a時， 則 不選擇零點也不影響求場。常數C的確定： 若選 則 （）電場： xyzO在表面上 3一半徑為a，介電常數為的無限長電介質圓柱，柱軸沿方向，沿方向上有一外加均勻電場，求空間電勢分布和柱面上的束縛電荷分布。解：（1）邊界為柱面選柱坐標系均勻場電勢在無窮遠處不為零，故參考點選在有限區域，例如可選在坐標原點常數（或0）（2）考慮對稱性電勢與z無關，設柱內電勢為，柱外為它們分別滿足 。 解為：（3）確定常數 因為有外加均勻場，它們對x軸對稱，可考慮、也相對x軸對稱（為偶函數），所以、中不應包含項，故：均為零。 常數（或零），有限，故中不應有項，（均勻場電勢），因此中不應有方項（

11、）（即得） 時，兩邊為任意值，前系數應相等（）（4）解為 （5）求柱內電場： 仍沿x方向 這是因為介質極化，束縛電荷主生的場與反向（6）柱面上束縛面電荷分布由 兩邊為任意值，前系數應相等（）（4）解為 （5）求柱內電場： 仍沿x方向 這是因為介質極化，束縛電荷主生的場與反向（6）柱面上束縛面電荷分布由 （或常數）（7）若圓柱為導體，可采用上述方法重新求解，或令4如圖所示的導體球（帶電Q）和不帶電荷的導體球殼，求空間各點的電勢及球殼內外面上的感應電荷。解：（1）邊界為球形，選球坐標系電荷分布在有限區，選（2）設殼外為2區，球殼內為1區，球外（若將Q移到殼上，球接地為書中P67例題），球殼內 電荷

12、在球上均勻分布，場具有球對稱性，與無關，（3）確定常數 導體殼為等勢體 在導體殼上 即設內殼 外殼 （4）解 （5）球殼上的感應電荷殼外面 殼內面 以一結果均與高斯定理求解一致。§2. 4 電象法QQ一 電象法的概念和適用條件1 求解泊松方程的難度區域無分布，適用。對直角坐標無對稱性，用球坐標具有軸對稱，但邊界為平面區域有自由電荷，適用，但求解很困難。導體球 導體板（導體表示電荷分布是不均勻的）在許多特殊情況下可采用迭加法求解（如上節例6），對于空間存在點電荷的情況，原則上也能夠求解（習題2）。還有一些例子也可采用該方法來求，但求解不是難度極大，就是解不出來（如導體板情況）。因為前面

13、講的實例大多是分界面電荷均勻分布，而許多情況分界面上電荷是非均勻分布的，造成場對稱性很差。2 唯一性定理保證下的不擇手段從物理上考慮，在唯一性定理保證下，可以采用試探解的方法。特別是對于自由電荷僅為點電荷時，導體面上感應電荷分布可以等效地看作一個或幾個點電荷。3 電象法概念、條件（1） 電象法：用假想點電荷來等效地代替導體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。（2） 條件：a）所求區域內只能有少許幾個點電荷。（只有點電荷產生的感應電荷才能用點電荷代替。）b）導體邊界面形狀規則，具有一定對稱性。c）給定邊界條件。要求：a）做替代時，不能改變原有電荷分布（即自由點

14、電荷位置、Q大小不能變）。泊松方程不能改變。所以假想電荷必須放在所求區域之外。b）不能改變原有邊界條件，通過邊界條件確定假想電荷的大小和位置。c）一旦用了假想等效電荷，不能再考慮邊界面上的電荷分布。d）坐標系選擇仍然根據邊界形狀來定。二 應用舉例1 接地無限大平面導體板附近有一點電荷，求空間電勢。QQ/Pz解：二應用舉例（1） 分析：左半空間顯然滿足這個解。由唯一性定理保證右半空間，Q處在（0，0，a）點，其余點邊界從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，假想電荷應在左半空間z軸上。設電量為，位置為（0，0，） （2）由邊界條件確定和，。（要在左半空間）唯一解是 （3）討論：（a）導體面上感應電荷分

15、布 （b）可見電荷Q產生的電場電力線全部終止在導體面上，它與無導體時，兩個等量異號電荷產生的電場在右半部寶劍相同。（c）與Q位置對于導體板鏡象對稱，故這種方法稱為電象法（又稱鏡象法）（d）作用力選球坐標系PQPRO2 真空中有一半徑為R0的接地導體球，距球心a（a> R0）處有一點電荷Q，求空間各點電勢。解：（1）分析：球內電勢（導體接地）求球外電勢，假想電荷應在球內，兩個點電荷產生的場應具有軸對稱，故假想電荷應在線上，即極軸上。（2） 由邊界條件確定和設 即因為是任意的 即 , 解得 ， 象電荷不能在所求區，故舍去第二組解，而 代入不滿足 （增根） 唯一解是 （3） 討論： 因此Q發出

16、的電力線一部分會聚到導體球面上，剩余傳到無窮遠。 球面感應電荷分布因此導體球接地后，感應電荷總量不為零，可認為有的電荷移到地中去了。（4）若導體不接地導體不接地，可視為分布在導體面上。無，接地導體已為等勢體，加上還要使導體為等勢體，必須均勻分布在球面上。這時導體球上總電量。（ 均勻分布球面上可使導體產生的電勢等效于在球心的點電荷）接地 （5）若導體球不接地，且帶上自由電荷，導體上總電荷為。此時要保持導體為等勢體，也應均勻分布在球面上。接地（從這里可以看出等效電荷一般是一個點電荷組或一個帶電體系，而不一定就是一個點電荷）（6）導體球不接地而帶自由電荷時所受力受到的力可以看作和位于球心處的等效電荷

17、和對的作用力之和。QxyQQ/Q/O設，第一項為排斥力，第二項為吸引力（與無關，與正負無關）。當時，F< 0 ，即正電荷與帶正電導體球在靠的很近時會出現相互吸引。3有一點電荷位于兩個互相垂直的接地導體面所圍成的直角空間內，它到兩個平面的距離為a和b，求空間的電勢。解：（1）分析：板、板電勢為0，假想電荷應在第I象限之外。（a） 為保證板上，要在（a，-b，0）處放電荷，但不保證板為；為保證板上，要在（-a，b，0）處放電荷，但不保證板為。這樣不能保證兩極板上電勢為零。實際上這是由于對于平板問題總點電荷數不能為奇數。（b） 在（-a，-b，0）處放象電荷，對面，面和O點均可使。（2）電勢分

18、布S1S2Q（3）若兩平面夾角時，放在處，用電象法求解的條件是什么？象電荷應入在所求區域之外。右圖：，有8個點電荷，7個象電荷（4個正電荷）。設正電荷數為n（= 4），象電荷數為m 1（= 7），角度為可以證明：這一結果對于均成立，即，象電荷為2 n 1個，它們的位置為，由 ，而§2. 5 格林函數方法格林函數方法是求解數學物理方程的較為普遍的方法。（利用格林公式和已知點電荷在給定條件下的解求解給定邊界條件的空間電勢。）本節僅研究泊松方程解的格林函數方法。它與點電荷解的邊值相關，但可以解靜電學的許多邊值問題。設V內電荷分布已知， 給定V邊界S上的各點電勢第一邊值問題 或給定邊界上法向

19、分量第二邊值問題求V內各點電勢值。上兩節討論了分離變量法和電象法，只在一定條件下適用。（電象法實際上是解格林函數的一種方法。）一 點電荷密度的函數表示1 處于點上的單位點電荷的密度一般2常用公式：二 格林函數1 點電荷的泊松方程：設電勢為 單位點電荷產生的電勢 空間區域V上的邊界條件或常數2 格林函數對于靜電場的點電荷問題 稱為靜電場的析林函數 （或常數）只對微商。格林函數的對稱性 （偶函數）3 （1）無界空間中的格林函數上單位點電荷在無窮空間中激發的電勢到的距離 球坐標中 （偶函數）顯然滿足點電荷泊松方程。（2）上半空間的格林函數（偶函數）（3）球外空間的格林函數設點電荷Q = 1 坐標為，

20、觀察點為 球半徑為 （相當于題中的a）設假想點電荷在，它的坐標為（它在連線上，題中b對應這里的） 偶函數。三 用格林函數求解一般的邊值問題1 第一類邊值問題求解的格林方法（要求掌握這個公式）。V內有電荷分布，給定只要知道相應問題的和即可得到。2第二類邊值問題解的格林函數方法V內有電荷分布 ，S上給定，求V內相應格林函數問題 常數（在S上）只要知道和，即可馬上得到3格林函數方法求解討論（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有區域幾何形狀規則、簡單才容易求解。電象法是求解格林函數的有效方法之一。（1） 格林函數方法也可用來解拉普拉斯方程的邊值問題。由 第一類邊值問題 第二類邊值問題P§2. 6 電多極矩一 電勢的多極展開1 小區域電荷分布：O若已知，則可通過求電勢。一般若體電荷分布不均勻或區域不規則，積分有困難，只有用計算機求解。但是在許多實際情況中，電荷分布區域的線度相對該區域到場點的距離很小，則可以最近似處理，解析求解。條件是線度與r滿足。最粗略的近似為，則。2 的麥克勞林展開（1） 一元函數的麥克勞林展開式（在坐標原點展開）（2） 三元函數的麥克勞林展開（3） 將在點展開3 展開后小區域電荷分布產生的電勢令 分