1、選修 4-5 不等式選講第 1 課時 絕對值不等式1.解不等式 1|x 1|3.解：原不等式可化為 1x13 或3x 1 1,解得不等式的解集為(一 2，0)U(2 , 4).2.解不等式 |x + 1| + |x 2|V4.解：當 x 1 時，不等式化為一 x 1 + 2 x4,3解得2x 1 ；當一 KXW2時，不等式化為 x + 1 + 2 x4 , 得K x 2 時，不等式化為 x + 1 + X 24,5解得 2X2x.解：原不等式等價于x2 2x + 42x.解得解集為?,解得解集為x|x R 且XM2.原不等式的解集為x|x R 且 xM2 4.解不等式 x2 |x| 20.解：

2、(解法 1)當 x0時，x x 20,解得1x2,. 0 x2 ;|當 x0 時，x + x 20,解得2x1 ,2x0.原不等式的解集為x| 2x2 (解法 2)原不等式可化為 兇1 |x| 20,解得1|x| 0,. 0w|x|2 , 2x2.原不等式的解集為x| 2x2 5.已知滿足不等式|2x + a| + |x 3|4的 x 的最大值為 3，求實數 a 的值.解：因為 x 的最大值為 3,所以 x3,即不等式為|2x + a| + 3x4,所以|2x + a|,x 1 2x+ a x+ 1,3x 1 a,因為 x 的最大值為 3,所以 1 a= 3,即 a= 2.|6.已知函數 f(

3、x) = |x + 1| + |x 2| |a 2a|.若函數 f(x)的圖象恒在 x 軸上方，求實 數 a 的取值范圍.解：f(x)的最小值為 3 |a2 2a| , 由題設，得 |a 2a| 1;(2) 若存在 xo R,使得關于 x 的不等式 mf(x0)成立，求實數 m 的取值范圍. x 1.不等式組無解；解不等式組得2Wxv3;解不等式組得等式的解集為2 ,+).(2)由題意知 m f (x)max,因為 f(x) = |x| |x 3| |x x + 3| = 3, 所以m f(x)恒成立，求實數t 的取值范圍.解：f(x) = |1 x| |2 + x|W|1 x+ 2+ x|

4、= 3, 當且僅當 XW2 時等號成立， f(x)max= 3.(2)由 |2t 1| f(X)恒成立得 |2t 1| f(x)max,即 |2t1|3,2t13或 2tK 3,解得 t 2 或 t 1(a0).(1)當 a = 1 時，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集為R,求實數 a 的取值范圍.1解：(1)當 a = 1 時，得 2|x 1| 1, 即卩 |x 1| ,x 3,所以原不所以 f(x)max= 3,解得 x扌或 xw1,不等式的解集為：一g,1U-|,+ .(2) |ax 1| + |ax a|a 1| ,原不等式解集為 R 等價于|a 1| 1. a 2 或 a0

5、, a 2.實數 a 的取值范圍是2 ,+).10.設函數 f(x) = |2x + 1| |x 2|.(1)求不等式 f(x)2 的解集；211 ？x R, f (x)t-t，求實數 t 的取值范圍.1x3,x夕解：f(x)13x 1 , x2,1當 x2, x 5,. x 5；1當x2, x1,. 1x2時，x+ 32, x 1,. x 2.綜上所述，不等式 f(x) 2 的解集為x|x1 或 xt2t恒成立，5211t1則只需 f(x)min= 2t -2，解得 2wtw5.即 t 的取值范圍是-|2, 5133411.設函數 f(x) = |2x 1| - |x + 1|.求不等式 f

6、(x)0的解集 D;(2)若存在實數 x x|0 xa 成立，求實數 a 的取值范圍.解：(1)當 x1 時，由 f(x)=x+22,所以 x?;1 1當一 1x 2時，由 f(x) = 3x0,所以 0 x2 時，由 f(x) = x 20得 x2,所以 2x2.綜上，不等式 f(x)0的解集 D= x|0 x2.(2) 3x + 2 x = 3 x+ 2 x，由柯西不等式得(，3 ,x + 2 x)2 (3 + 1)x + (23X) = 8, 3x + 2 x 1, y 1,求證：xy+ xy + 1 1, y 1 , 1 y0, x 1 0.從而左邊右邊 0,22鼻22x y+xy+1

7、xy. 證明：因為 a, b, x, y 都是正數，所以(ax + by)(bx + ay) = ab(x2+ y2) + xy(a2+ b2)2 2 2ab 2xy + xy(a + b ) = (a + b) xy.又 a+ b = 1,所以(ax + by)(bx + ay) xy.當且僅當 x= y 時等號成立.3. 已知 x, y, z R,且 x + 2y+ 3z + 8= 0.求證：(x 1) + (y + 2) + (z 3) 14. 證明：因為(x 1)2+ (y + 2)2+ (z 3)2(12+ 22+ 32)2(x 1) + 2(y + 2) + 3(z 3)2 2=(

8、x + 2y + 3z 6) = 14 ,x 一 1 y -U 2 z 一 3當且僅當 =七廠=丁，即 x = z= 0, y= 4 時，取等號所以(x 1)2+ (y + 2)2+ (z 3)2 14.4.已知函數 f(x) = |2x 1| + |x + 1|，函數 g(x) = f(x) + |x + 1| 的值域為 M.(1)求不等式 f(x) + 3t.3x, x 1.r2x, 1vx ,x 1,(1)解：依題意，得 f(x) = 2 于是得 f(x) 3? 或3x,K xv1,x1,i2或$2解得一 1 x 1.即不等式 f(x)3的解集為x| 1x 1.2x33x |2x 1 2

9、x 2| = 3 ,35原不等式等價于t2 3t + 1 3t3- 3t2+ t - 3=t=2(t 3)(t + 1)t當且僅當(2x 1)(2x + 2)0, t2+ 1 0.2(t 3)( t + 1)23- 0. t2+ 1 - + 3t.2 2 2bca二F 匸 Fa+ b+ c. a b123-+ -+的最小值為 36.x y z8.已知 x 0, y 0, z 0 且 xyz = 1,求證：x3+ y3+ z3 xy + yz + zx.證明：Tx 0, y 0, z 0,x + y + z 3xyz.333333同理 x + y + 1 3xy, y + z + 1 3yz,

10、x + z + 1 3xz.333將以上各式相加，得3x + 3y + 3z + 3 3xyz + 3xy + 3yz + 3zx.333Txyz = 1 , x + y + z xy + yz + zx.9.已知 a, b, c 均為正數，且 a+ 2b + 4c = 3.求七 + 十 + 十的最小值，并指出取a + 1 b+ 1 c + 1得最小值時 a, b, c 的值.解:Ta + 2b+ 4c = 3,. (a + 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1) = 10.Ta , b, c 為正數，5. （2017 蘇、錫、常、鎮二模 ）已知 a, b,c 為正實數,b2證明：T

11、a , b, c 為正實數， a + 2b, a.2 2 2b c a2cb + 2c,b2(2&2求證： 一+ + a + b+ c.a b c2ac + 2a,c將上面三個式子相加得 a+ b+ c+ +匸+ 2a+ 2b + 2c, a bc6.設 ai,證明：因為1 1 132, a3均為正數，且 a1+ a2+ a3= 1, 求證：I- 19.a1a2a3111a1,a2, a3均為正數，且 a1+ a2+ a3= 1，所以 - = (a1+ a2+ a3)i + +11丄a1a2a3 3(a1a2a3)3 31a211 1 13=9（當且僅當a1=a2=a3時等號成立），所

12、以+話9.7.已知正數 x，y,123z 滿足 x + 2y + 3z = 1，求- F 的最小值.x y z123解：_+_+_ =x y z2y=1 + 4 + 9+x1+x 2y 3z 八一八3z 4x 12z 9x 18y+ + + + -x 2y2y3z 3z3z 9x12z 18y+ 2= 36,4+9(x + 2y + 3z)/2y 4x14+ 2”x 2y+21x= y = z=石時等號成立,當且僅當37由柯西不等式得(a + 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1) a + 占 + 比 (1 + .2 + 當且僅當(a + 1)2= 2(b+ 1)2= 4(c + 1)2時，等式成立.1 1 1 11 + 6 2 + +a + 1+b+ 1+c + 1=10， 2(c + 1) + 2 ,2(c + 1) + 4(c + 1) = 10,2)2.8abc(2) a2+ b2+ c2 abc.證明：(1) a+ b + c3 abc,而 a+ b+ c = 1? abc(a + b+ c) = 3，由(1)知. abc %bc，當且僅當 a = b= c =時取等號.11.已知函數 f(x) = ,3x+ 6, g(x) = _ 14-x.若存在實數 x 使 f(x) + g(x) a 成立，求 實數 a 的取值范圍.解：存在實數 x 使 f(x)