1、2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用典例精析題型一運(yùn)用指數(shù)模型求解【例1】按復(fù)利計(jì)算利率的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨期數(shù)x的變化函數(shù)式.如果存入本金10 000元，每期利率為2.25%，計(jì)算5期的本息和是多少？【解析】已知本金為a元，1期后的本利和為y1aa×ra(1r)；2期后的本利和為y2a(1r)a(1r)ra(1r)2；3期后的本利和為y3a(1r)2a(1r)2ra(1r)3；x期后的本利和為ya(1r)x.將a10 000， r2.25%， x5代入上式得y10 000(12.25%)511 176.8，所以5期后的本利和是11 176.

2、8元.【點(diǎn)撥】在實(shí)際問題中，常遇到有關(guān)平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則總產(chǎn)值y與時(shí)間x的關(guān)系為yN(1p)x.【變式訓(xùn)練1】某工廠去年十二月的產(chǎn)值為a，已知月平均增長率為p，則今年十二月的月產(chǎn)值較去年同期增長的倍數(shù)是()A.(1p)121B.(1p)12C.(1p)11D.12p【解析】今年十二月產(chǎn)值為a(1p)12，去年十二月產(chǎn)值為a，故比去年增長了(1p)121a，故選A.題型二分段函數(shù)建模求解【例2】在對(duì)口脫貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣點(diǎn)以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)給尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘病人企業(yè)乙，并約定

3、從該經(jīng)營利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活費(fèi)開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息). 在甲提供資料中有：這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)每件14元；該店月銷售量Q(百件)與銷價(jià)p(元)關(guān)系如圖；每月需各種開支2 000元.(1)試問為使該店至少能維持職工生活，商品價(jià)格應(yīng)控制在何種范圍？(2)當(dāng)商品價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；(3)企業(yè)乙只依靠該廠，最早可望幾年后脫貧？【解析】設(shè)該店月利潤額為L，則由假設(shè)得LQ(p14)×1003 6002 000，(1)當(dāng)14p20時(shí)，由L0得18p20，當(dāng)20p26時(shí)，由L0得20p22，故商店銷售價(jià)應(yīng)控制

4、在18p22之內(nèi).(2)當(dāng)18p20時(shí)，L最大450元，此時(shí)，p19.5元.當(dāng)20p22時(shí)，L最大416元，此時(shí)，p20元.故p19.5元時(shí)，月利潤最大余額為450元.(3)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧，依題意得12n×45050 00058 0000，解得n20，即最少可望在20年后脫貧.【點(diǎn)撥】解答這類題關(guān)鍵是要仔細(xì)審題，理解題意，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，求解時(shí)，也可利用導(dǎo)數(shù)，此外要注意問題的實(shí)際意義.【變式訓(xùn)練2】國家稅務(wù)部門規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)的納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按照超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿費(fèi)的11%納稅.某人出版了一本

5、書，共納稅550元，問此人的稿費(fèi)為多少元？【解析】設(shè)納稅y(元)時(shí)稿費(fèi)為x(元)，則由y500知x4 000，所以x×11%550x5 000，所以此人稿費(fèi)為5 000元.題型三生活中的優(yōu)化問題【例3】(2019湖北模擬)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表

6、達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小？并求最小值.【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)，再由C(0)8得k40，因此C(x).而建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)20×6x6x(0x10).(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去).當(dāng)0x5時(shí)，f(x)0；當(dāng)5x10，f(x)0，故x5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)6×570.當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.【點(diǎn)撥】如果根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的類型，可由數(shù)據(jù)的變化情況對(duì)其單調(diào)性、對(duì)稱性和特定值進(jìn)行判斷，也可以從所給的部分?jǐn)?shù)據(jù)求出模擬函數(shù)解析式，再由其他數(shù)據(jù)進(jìn)一步判斷.【變式訓(xùn)練3】某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長x、y應(yīng)為x ，y.【解析】如圖，由已知有，即4x5y1200，Sxy(4x5y)()2180.所以x15，y12.總結(jié)提高利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想、不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的增長變化規(guī)律.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律