1、2019年高考數學一輪復習：正態分布正態分布1正態曲線的性質(1)正態曲線的定義函數，(x)，x(，)，其中實數和(0)為參數，我們稱，(x)的圖象(如圖)為正態分布密度曲線簡稱_(2)正態曲線的性質：曲線位于x軸_，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線_對稱；曲線在x處達到峰值_；曲線與x軸之間的面積為_；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示當一定時，曲線的形狀由確定，越_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示2正態分布的定義與簡單計算(1)正態分布的定義及表示如果對于任何實數a，b(ab)，隨機變量X

2、滿足P(aXb)_，則稱隨機變量X服從正態分布，記作_(2)正態總體在三個特殊區間內取值的概率P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.可以看到，正態總體幾乎總取值于區間(3，3)之內而在此區間以外取值的概率只有0.002 6，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(，2)的隨機變量X只取(3，3)之間的值，并簡稱之為3原則自查自糾1(1)正態曲線(2)上方x1小大2(1)，(x)dxXN(，2) (2015湖北)設XN(1，)，YN(2，)，這兩個正態分布密度曲線如圖所示下列結論中正確的是()AP(Y2)P(Y1

3、)BP(X2)P(X1)C對任意正數t，P(Xt)P(Yt)D對任意正數t，P(Xt)P(Yt)解：由正態密度曲線的性質可知，XN(1，)，YN(2，)的密度曲線分別關于直線x1，x2對稱，因此結合所給圖象可得12，所以P(Y2)P(Y1)，A錯誤；又XN(1，)的密度曲線較YN(2，)的密度曲線“瘦高”，所以01P(X1)，B錯誤；對任意正數t，P(Xt)P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，C正確，D錯誤，故選C. (2017惠州二調)已知隨機變量服從正態分布N(1，1)，若P(3)0.977，則P(13)()A0.683 B0.853 C0.954 D0.977解：因為已知隨機變量服從正態分

4、布N(1，1)，所以正態曲線關于直線x1對稱，又P(3)10.9770.023，所以P(13)1P(3)12P(3)10.0460.954.故選C. (2015湖南)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態分布N(0，1)的密度曲線)的點的個數的估計值為()A2 386 B2 718 C3 413 D4 772附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.解：P(0X1)P(1X2)_解：P(2)0.3.故填0.3. (2016青島模擬)某班有50名同學，一次數學考試的成績服從正態分布N(110，102)，已知P(100110)0.

5、34，估計該班學生數學成績在120分以上的有_人解：數學成績的正態曲線關于直線x110對稱，因為P(100110)0.34.所以P(120)P(100)(10.342)0.16. 數學成績在120分以上的人數為0.16508.故填8.類型一正態分布的概念與性質已知三個正態分布密度函數i(x) (xR，i1，2，3)的圖象如圖所示，則()A123，123B123，123C123，123D123，123解：由正態曲線關于直線x對稱，知123；的大小決定曲線的形狀，越大，總體分布越分散，曲線越矮胖；越小，總體分布越集中，曲線越瘦高，則123.實際上，由1(1)2(2)3(3)，則，即123.故選D.

6、【點撥】正態曲線的性質(詳見“考點梳理”)大都可由，(x)的解析式推知如一定，當x且x增大時，(x)2減小增大增大，(x)在x左側單調遞增其他類似可得某市期末教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是()A甲學科總體的方差最小B丙學科總體的均值最小C乙學科總體的方差最小D甲、乙、丙的總體的均值不相同解：由圖象可知三個圖象的對稱軸相同，即三學科的均值相同，甲學科成績的正態分布圖象最瘦高，說明甲學科成績最集中，方差最小故選A.類型二正態分布的計算問題(2017石家莊模擬)設XN(1，2)，其正態分布密度曲線如圖所示，且P(X3)0.022 8，那么向正

7、方形OABC中隨機投擲20 000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值為()附：隨機變量服從正態分布N(，2)，則P()0.682 6，P(22)0.954 4.A12 076 B13 174 C14 056 D7 539解：由題意得，P(X1)P(X3)0.022 8，所以P(1X3)10.022 820.954 4，因為P(22)0.954 4，所以121，故1，所以P(0X1)P(0X2)0.341 3，故估計落入陰影部分的點的個數為20 000(10.341 3)13 174，故選B.【點撥】正態分布計算的關鍵是在充分利用正態曲線的對稱性；隨機模擬的關鍵是計算面積(長度、體積)設XN

8、(1，22)，試求(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)解：因為XN(1，22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)因為P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)因為P(X5)P(X3)，所以P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.類型三正態分布的實際應用(2017全國卷)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并

9、測量其尺寸(單位：cm)，根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(，2)(1)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數，求P(X1)及X的數學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(3，3)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查試說明上述監控生產過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得

10、i9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1，2，16.用樣本平均數x作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除(3，3)之外的數據，用剩下的數據估計和(精確到0.01)附：若隨機變量Z服從正態分布N(，2)，則P(3Z3)0.997 4，0.997 4160.959 2，0.09.解：(1)抽取一個零件的尺寸在(3，3)之內的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16，0.002 6)，因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8，X的數學期望為E(X)160.

11、002 60.041 6.(2)如果生產狀態正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發生的概率很小，因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估計值為9.97，的估計值為0.212，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當天的生產過程進行檢查剔除(3，3)之外的數據9.22，剩下數據的平均數為(169.979.22)10.02，因此的估計值為

12、10.02.160.2122169.9721 591.134.剔除(3，3)之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差為(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估計值為0.09.【點撥】解決正態分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸X；(2)標準差；(3)分布區間利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3特殊區間，從而求出所求概率注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x0.從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差s2(同一組中的數

13、據用該組區間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態分布N(，2)，其中近似為樣本平均數，2近似為樣本方差s2.利用該正態分布，求P(187.8Z212.2)；某用戶從該企業購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區間(187.8，212.2)的產品件數利用的結果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解：(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數和樣本方差s2分別為1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.

14、02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200，150)，從而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件產品的質量指標值位于區間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.1正態曲線的性質特點可用來求其數學期望和標準差：正態曲線是單峰的，它關于直線x對稱，據此結合圖象可求；正態曲線在x處達到峰值，據此結合圖象可求.2能熟練應用正態曲線的對稱性解題，并注意以下幾點：(1)正態曲

15、線與x軸之間的面積為1；(2)正態曲線關于直線x對稱，從而在關于x對稱的區間上概率相等；(3)幾個常用公式：P(Xa)1P(Xa)；P(X0，則P(X0)和N(2，)(20)的密度函數分別為1(x)和2(x)，其圖象如圖所示，則有()A12，12 B12C12，12，12解：f(x)e中x是對稱軸，故12；越大，曲線越“矮胖”，越小曲線越“高瘦”，故12.故選A.2(2016鄭州調研)已知隨機變量服從正態分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(04)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解：由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正態曲線關于x2對稱則P(0)P(4)0.2，所以P(0a1

16、)，則實數a等于()A4 B5 C6 D7解：根據對稱性有4，得a6.故選C.4(2016新余二模)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態分布N(2，1)的密度曲線)的點的個數的估計值為()附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4A430 B215C2 718 D1 359解：因為2，1，所以P(4X0)0.954 4，P(5X1)0.997 4，所以陰影部分P(0X1)0.021 5，故落入陰影部分的點的個數約為10 0000.021 5215，故選B.5(2016南昌模擬)在正態分布N中，正態總

17、體在(，1)(1，)內取值的概率為()A0.097 B0.046 C0.03 D0.002 6解：因為0，所以P(X1)1P(1X1)1P(3X3)10.997 40.002 6.故選D.6給出下列函數(其中(，)，0)：f(x)e；f(x)e；f(x)e；f(x)e(x)2，則可以作為正態分布密度函數的個數有()A1 B2C3D4解：對于，f(x)e.由于(，)，所以(，)，故它可以作為正態分布密度函數；對于，若1，則應為f(x)e.若，則應為f(x)e，均與所給函數不相符，故它不能作為正態分布密度函數；對于，它就是當，0時的正態分布密度函數；對于，它是當時的正態分布密度函數所以一共有3個函

18、數可以作為正態分布密度函數故選C.7(2017廣州模擬)按照國家規定，某種大米質量(單位：kg)必須服從正態分布N(10，2)，根據檢測結果可知P(9.910.1)0.96，某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有2000名職工， 則分發到的大米質量在9.9 kg以下的職工數大約為_解：由題意得P(10.1)0.02，從而分發到的大米質量在9.9 kg以下的職工數大約為0.02200040(人)，故填40.8某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態分布N(1 000，50

19、2)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_解：由于三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態分布N(1 000，502)，所以每個元件使用壽命超過1 000小時的概率P(X1 000).所以該部件的使用壽命超過1 000小時的概率P.故填.9已知某種零件的尺寸(單位：mm)服從正態分布，其正態曲線在區間(0，80)上是增函數，在區間(80，)上是減函數，且f(80).(1)求正態分布密度函數的解析式；(2)估計尺寸在72mm88mm間的零件大約占總數的百分之幾？解：(1)由于正態曲線在區間(0，80)上是增函數，在區間(80，)上是減函數，所以正

20、態曲線關于直線x80對稱，且在x80處取得最大值因此得80，所以8.故正態分布密度函數的解析式是，(x)e.(2)由80，8，得80872，80888.所以零件尺寸位于區間(72，88)內的概率是0.682 6.因此尺寸在72mm88mm間的零件大約占總數的68.26%.10在某市組織的一次數學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態分布N(60，100)，已知成績在90分以上(含90分)的學生有13人(1)求此次參加競賽的學生總數共有多少人？(2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學生，問受獎學生分數線是多少？解：(1)設學生的成績為X，共有n人參加競賽，因為XN(60，100)，所以60，10

21、.所以P(X90)1P(30X90)(10.997 4)0.001 3.又P(X90)，所以0.001 3.所以n10 000.(2)設受獎學生的分數線為x0.則P(Xx0)0.022 8.因為0.022 860.所以P(120x0Xx0)12P(Xx0)0.954 4.所以x0602080.故受獎學生的分數線是80分11(2017四川廣元三診)質監部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別各隨機抽取100桶檢測某項質量指標，由檢測結果得到如下的頻率分布直方圖：(1)寫出頻率分布直方圖(甲)中a的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為S，S，試比較S，S的大小(只要求寫出答案)

22、；(2)估計在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅，恰有一桶的質量指標大于20的概率；(3)由頻率分布直方圖可以認為，乙種食用油的質量指標值Z服從正態分布N(，2)其中近似為樣本平均數x，2近似為樣本方差S，設X表示從乙種食用油中隨機抽取10桶，其質量指標值位于(14.55，38.45)的桶數，求X的數學期望注：同一組數據用該區間的中點值作代表，計算得S211.95；若ZN(，2)，則P(Z)0.682 6，P(2ZS.(2)設事件A：在甲種食用油中隨機抽取1桶，其質量指標不大于20，事件B：在乙種食用油中隨機抽取1桶，其質量指標不大于20，事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1桶，恰有一桶的質量指標不大于20，且另一桶大于20，則P(A)0.200.100.3，P(B)0.100.200.3，所以P(C)P()P(B)P(A)P()0.42，(3)計算得：26.5，由條件得ZN(26.5，142.75