1、 等差數列的應用 課前預習數學神童 歷史上間或出現神童。神童常常出現在數學、音樂、棋藝等方面。卡爾?弗雷德里希?高斯，一位數學神童，是各式各樣的天才里最出色的一個。就像獅子稱萬獸之王，高斯在數學家之林中稱王，他有一個美數學王子。高斯不僅被公認為是十九世紀最偉大的數學家，并且與阿基米德、牛頓并稱為歷史上三個最偉大的數學家。現在阿基米德和牛頓的名字早已進入了中學的教科書，他們的工作或多或少成為大眾的常10但高斯的肖像畫卻赫然印在識，而高斯和他的數學仍遙不可及，甚至于在大學的基礎課程中也不出現。1777相應地出現在美元和英鎊上的分別是喬治?華盛頓和伊麗莎白二世。馬克流通最廣泛的德國紙幣上，），他的祖

2、先里沒有一個人可以說明Braunscheig30日，高斯出生在德國下薩克森洲的不倫瑞克（年4月為什么會產生高斯這樣的天才。高斯的父親是個普通的勞動者，做過石匠、纖夫、花農，母親當過女仆，歲高壽仙逝，高斯是她的獨養兒97沒有受過什么教育，但她聰明善良，有幽默感，并且個性很強，她以歲那年在公立小學讀書，一次他的老師為了讓93歲時就發現父親帳簿上的一處錯誤。高斯子。據說高斯這些數加起來，高斯幾乎立刻就把寫好結果的石板面朝下放在自己的到100學生們有事干，叫他們把從1，但是沒有桌子上，當所有的石板最終被翻過時，這位老師驚訝地發現只有高斯得出了正確的答案：505098，3，101299101演算過程。高

3、斯已經在腦子里對這個算術級數求了和，他注意到了1100。高斯在晚年常幽默地宣稱，在他會說話之前5050101相加，從而答案是101這么一來，就等于50個高斯的早熟引起了不倫瑞克公爵的注意，還說他問了大人字母如何發音，就自己學著讀起書來。就會計算，歲入哥廷根大學。當時的哥廷根仍默默無18歲進不倫瑞克學院，這位公爵是個熱心腸的贊助人。高斯14聞，由于高斯的到來，才使得這所日后享譽世界的大學變得重要起來。起初，高斯在做個語言學家抑或數歲時，他對正多邊日的事了。當他差一個月滿19月學家之間猶豫不決，他決心獻身數學是1796年330形的歐幾里德作圖理論（只用圓規和沒有刻度的直尺）做出了驚人的貢獻，尤其是

4、，發現了作正十七邊形的方法，這是一個有著二千多年歷史的數學懸案。高斯初出茅廬，就已經爐火純青了，而且以后的五十年 間他一直維持這樣的水準。 知識框架 一、 等差數列的相關公式 （1） 三個重要的公式 通項公式：遞增數列：末項首項(項數)公差， ?d）?n?1a?a?（1?1n遞減數列：末項首項(項數)公差， ?d）?n?1a?a?（1?1n回憶講解這個公式的時候可以結合具體數列或者原來學的植樹問題的思想，讓學生明白 末項其實就是首項加上(末項與首項的)間隔個公差個數，或者從找規律的情況入手同時還可延伸出來這樣一個有用的公式： ，（n?m）d（n?m）a?a?mn 項數公式：項數(末項首項)公差

5、+1 ?由通項公式可以得到： (若)； (若) ad?1aa?n?（a?a1n?（a?a）?d?）?a?nn111nn1找項數還有一種配組的方法，其中運用的思想我們是常常用到的 譬如：找找下面數列的項數：4、7、10、13、40、43、46 ， 、(46、47、48)，注意分析：配組：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 等差是3 ，那么每組有3個數，我們數列中的數都在每組的第1位，所以46應在最后一組第1位，4到48有項，每組3個數，所以共組，原數列有15組 當然還可153?451?45?48?4?以有其他的配組方法 求和公式：和=(首項末項)項數&#

6、247;2 ?對于這個公式的得到可以從兩個方面入手： (思路1) 10099?98?1?2?3? ?98）?）?（3?）?51）（1?100?（2?99?（505050?101?50 101個共50 (思路2)這道題目，還可以這樣理解： 和=1?2?3?4?98?99?100?3?99?98?97?2?1+和?100?即，和 101?2倍和?101101?101?101?101?101? 5050?101?501)?100?2? (100 （2） 中項定理：對于任意一個項數為奇數的等差數列，中間一項的值等于所有項的平均數，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數 譬如：

7、4+8+12+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 題中的等差數列有9項，中間一項即第5項的值是20，而和恰等于； 9?20 ， 10893333?2）（?1?1?65?33?35?656361?題中的等差數列有33項，中間一項即第17項的值是33，而和恰等于 3333? 重難點 重點：觀察并找出圖形、生活中的等差數列 與數論有關的等差數列運算。 難點：活動與操作中的等差數列運算 例題精講 只蝴3有一個很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每個雕塑都是由蝴蝶組成的第一個雕塑有 1】 【例只蝴蝶，以后的雕塑按照9只蝴蝶，第三個雕塑有7只蝴蝶，第四個雕塑有蝶

8、，第二個雕塑有5個102這樣的規律一直延伸到很遠的地方，學學和思思看不到這排雕塑的盡頭在哪里，那么，第 雕塑是由多少只蝴蝶組成的呢？由999只蝴蝶組成的雕塑是第多少個呢？ ，塊磚塊磚，第63層10鞏【固】 建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有塊磚，已知最下層2106依次每層都比其上面一層多4 多少塊？ 個正方15”圖，其中黑白相間染色如果最底層有如圖，把邊長為 1的小正方形疊成“金字塔形【例 2】 形，問其中有多少個染白色的正方形，有多少個染黑色的正方形？ 行為止一照這樣擺下去，把這些火柴棒擺成如下圖的圖形到第 【鞏固】有若干根長度相等的火

9、柴棒，10 根火柴棒 共用了 【例 3】 編為的9個盒子里共放有351粒糖，已知每個盒子都比前一個盒子里多同樣數量的糖如91果1盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一個盒子里多放幾粒糖？ 【鞏固】 例題中已知如果改為3盒子里放了23粒糖呢？ ，但她重復計開始求和，當計算到某個數時，和是888 木木練習口算，她按照自然數的順序從1】【例 4 算了其中一個數字問：木木重復計算了哪個數字？ 天，已知去時用了奮斗小學組織六年級同學到百花山進行野營拉練，鞏【固】 行程每天增加2千米4回來時用了3天問：學校距離百花山多少千米？ 【例 5】 若干個同樣的盒子排成一排，小明把50多個同樣的棋子分裝在盒中，其

10、中只有一個盒子沒有裝棋子，然后他外出了，小光從每個有棋子的盒子里各拿了一個棋子放在空盒內，再把盒子重新 共有多少個盒子？沒有發現有人動過這些盒子和棋子小明回來后仔細查看了一下，排了一下， 【例 6】 某工廠12月份工作忙，星期日不休息，而且從第一天開始，每天都從總廠陸續派相同人數的工人到分廠工作，直到月底，總廠還剩工人260人如果月底統計總廠工人的工作量是9455個工作日（1人工作1天為1個工作日），且無1人缺勤那么這月由總廠派到分廠工作的工人共有多少人 【鞏固】 甲、乙兩廠生產同一種玩具，甲廠生產的玩具數量每個月保持不變，乙廠生產的玩具數量每個月增加一倍已知一月份甲、乙兩廠生產玩具的總數是9

11、8件，二月份甲、乙兩廠生產玩具的總數是106件，那么乙廠生產的玩具數量第一次超過甲廠生產的玩具數量在幾月份? 【例 7】 右圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12平方厘米，邊長是1根火柴棍如果最大的三角形共有8層，問：最大三角形的面積是多少平方厘米？整個圖形由多少根火柴棍擺成？ 【鞏固】 如右圖，25個同樣大小的等邊三角形拼成了大等邊三角形，在圖中每個結點處都標上一個數，使得圖中每條直線上所標的數都順次成等差數列已知在大等邊三角形的三個頂點放置的數分別 求所有結點上數的總和300，200，100是 【例 8】 把248分成8個連續偶數的和，其中最大的那個數是多少？ 【鞏固】 把210拆成7個自

12、然數的和，使這7個數從小到大排成一行后，相鄰兩個數的差都是5，那么，第1個數與第6個數分別是多少？ 【例 9】 如下圖所示的表中有55個數，那么它們的和等于多少？ 1713192531374349556162821420265032384456 63392757333951452115642858344640522210416652947533517115594123 個數，它們的和是多少？100列數陣中有下 】固鞏【11121319202013142112 2215131421 2921222820 【例 10】 有碼放整齊的一堆球，從上往下看如右圖，這堆球共有多少個？ 【例 11】 從1到

13、50這50個連續自然數中，取兩數相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？ 課堂檢測 ，但她重復計算了其中一1350開始求和，當計算到某個數時，和是1多按照自然數的順序從多 】1【隨練個數問：多多重復計算了哪個數？666 【隨練2】 某工廠6月份工作忙，星期日不休息，而且從第一天開始，每天都從總廠陸續派相同人數的工人到分廠工作，直到月底，總廠還剩工人240人。如果月底統計總廠工人的工作量是8070個工作日（一人工作一天為1個工作日），且無人缺勤，那么，這月由總廠派到分廠工作的工人共多少人？ 【隨練3】 有一列數：l，2，4，7，1l，16，22，29，37，問這列數第1001個數是多少? 復習

14、總結 在涉及到數論、圖形、活動操作等方面有關等差數列計算的問題，第一：類別較少，數據較小的情況可以采用列舉法羅列出所有符合的情況；第二：類別較多，數據較大的情況可以采用歸納法先找出其中的等差數列再進行計算。 家庭作業 【作業1】 喜羊羊練習口算，她按照自然數的順序從1開始求和，當計算到某個數時，和是1300，但她重復計算了其中一個數問：喜羊羊重復計算了哪個數？ 【作業2】 某車間原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天調進了若干工人，以后，每天都新調人1人進車間工作現知該車間1月份每人每天生產一件產品共生產1994件試問：1月幾日開始調進工人?共調進了多少工人? 【作業3】 用3根等長的火柴棍擺成一個等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按圖所示鋪滿一個大的等邊三角形，如果這個大的等邊三角形的底邊放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？ 根10 【作業4】 小丸子玩投放石子游戲，從出發走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7A米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，照此規律最后走到處放下35枚石子問從到AB 路程有多遠？ B 【作業5】 將一些半徑相同的小圓按如下所示的規律擺放：