1、二項(xiàng)式定理 引入 上圖是什么啊？有什么規(guī)律嗎？ 解讀 、二項(xiàng)式定理1）二項(xiàng)式定理1（ n? ?ba 這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理）二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的通項(xiàng)2（ n?n212n?2nn01n?bC?.?bCCa?ab?Ca的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)叫做b?annnn?rn2,.,0,1,Cr?rrrn?CbaT表示，用叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的n1?rn ?T 項(xiàng)：即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第1?r1r? ）二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)冪指數(shù)（3 n? 項(xiàng)，各項(xiàng)的冪指數(shù)狀況是的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)為二項(xiàng)式ba? 各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n字母的按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零，字母按升

2、冪排列，從bna第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到 n（4）幾點(diǎn)注意 n? rrn?rbT?Ca 通項(xiàng)是項(xiàng)，這里的展開(kāi)式的第n.,?0,1,2,rb?an1r? nn?r?rrnabC是有區(qū)別的，項(xiàng)的項(xiàng)和二項(xiàng)式應(yīng)用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第1?1?rra?b?banb是不能隨便交換的和 定理時(shí)，其中的arC）與展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而注意二項(xiàng)式系數(shù)（n項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可為負(fù) nn?的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如通項(xiàng)公式是ba?a?br?rrrn?rrrn?CTab?b?b這與代入二項(xiàng)式定理）是不同的，在這看成（只須把ba?1T?Cnr?1n?1rr?rrrCC可

3、看出，一個(gè)是，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是，里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是C?1nnn二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念 n? 設(shè)，則得公式：xba?1,?x1 ?rnr?rn2,.,r?0,1,Cab?Tn,r,Ta,b,通項(xiàng)是五個(gè)元素，只要知道其中四中含有1r?r?1n個(gè)即可求第五個(gè)元素 n x)x(1?的近似值比較小時(shí)可以用展開(kāi)式的前幾項(xiàng)求不是很大， 當(dāng)n2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）楊輝三角形：對(duì)于是較小的正整數(shù)時(shí)，可以直接寫出各項(xiàng)系數(shù)而不去套用二項(xiàng)式定n理，二項(xiàng)式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計(jì)算 楊輝三角有如下規(guī)律：“左、右兩邊斜行各數(shù)都是1其余各數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)字的和” n?n012CC,.,C,

4、C,，從函數(shù)的角展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是：（2）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：b?annnn?rn2,f1,r3,.,0,rC，其定義域是：度看可以看成是為自變量的函數(shù) n?rf6n? 的圖象為下圖：時(shí)，當(dāng) ?rf6?n的圖象的直觀來(lái)幫助我們研究二項(xiàng)式系數(shù)的時(shí)這樣我們利用“楊輝三角”和 性質(zhì) 的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等等距離”對(duì)稱性：與首末兩端“m?mnCC? 事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式得到nn 增減性與最大值 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大； 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大 由于展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)順次是?1nn?n210 ，?C1,C?,C? nnn21?1?

5、2?1?nnn3 ，?C n32?1?1?kk?1n?2n?2?.nnnn?1nn?2.?n?k?2k1k? ，?CC? ?nnk1k?3.1?1?23?.?k12?n1?C n的數(shù)（如1其中，后一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子是前一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子乘以逐次減小因?yàn)椋粋€(gè)自然數(shù)乘以一）2，3，），分母是乘以逐次增大的數(shù)（如1，.2,n?n,n?1,k等值時(shí)，3，的數(shù)則變小，從而當(dāng)2依次取1，而乘以一個(gè)小于個(gè)大于1的數(shù)則變大，1rC的兩項(xiàng)的式系數(shù)相等，所以二”的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了又因?yàn)榕c首末兩端“等距離n 項(xiàng)式系數(shù)增大到某一項(xiàng)時(shí)就逐漸減小，且二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間1?1nn?項(xiàng)，所以展開(kāi)式有中間一

6、項(xiàng)，并且這一是偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，展開(kāi)式共有當(dāng)nn C 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大為2n1?1nn?項(xiàng)，所以有中間兩項(xiàng)。這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式是偶數(shù)，展開(kāi)式共有當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，n1?n1n CC? 系數(shù)相等并且最大，最大為22nnnrn012nCC?2?C.?C?C?.，即 二項(xiàng)式系數(shù)的和為2nnnnn奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即 024135n?12?C?C?.C?C?C?.?C? nnnnnn常見(jiàn)題型有：求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)，二項(xiàng)式定理的逆用，賦值用，簡(jiǎn)單的組合數(shù)式問(wèn)題 探究 1、提出問(wèn)題： n222， 的展開(kāi)式。如那引入：二項(xiàng)式定理研究的是b?2a?b)ab?(a?b)

7、a?(么： 3=? )b(a?4=? )?b(a100=? )?b(an=？ 更進(jìn)一步：)?b(a2、對(duì)展開(kāi)式的分析 2)a?b(222 展開(kāi)后其項(xiàng)的形式為：bb),aba,a?b)(?a?b)(a?(200a前的系數(shù)為,則 ，每個(gè)都不取的情況有1種，即 考慮ccbb2211種，則前的系數(shù)為的情況有 恰有1個(gè)取ccabb22222b前的系數(shù)為 種，則2個(gè)取的情況有 恰有ccb2202222221 所以bcab?b?cab(a?)c?aab?2?2220312233332232 類似地 babc?bca?ca?ca(?b)?a?3ab?3ab?b?33334=? 思考：)?baa?b)(?b)(

8、aba)?(ab?(?)(問(wèn)題： 4 1)展開(kāi)后各項(xiàng)形式分別是什么？)b?a(432234babbaaba 2)各項(xiàng)前的系數(shù)代表著什么？ 各項(xiàng)前的系數(shù) 就是在4個(gè)括號(hào)中選幾個(gè)取的方法種數(shù) b3)你能分析說(shuō)明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？ 400a前的系數(shù)為則 ,每個(gè)都不取的情況有1種，即ccb44311ab前的系數(shù)為種，則恰有1個(gè)取的情況有 ccb442222ba前的系數(shù)為個(gè)取的情況有 種，則 恰有2ccb44333ab前的系數(shù)為種，則 3個(gè)取的情況有 恰有ccb44444b前的系數(shù)為 4恰有個(gè)取的情況有種，則ccb44043222334441 則b?c?cabab?cab(a?b)c?a?c44444推廣

9、：得二項(xiàng)展開(kāi)式定理： *Nn? 一般地，對(duì)于有1n?33n?223nn0n?121?nn?1nn?rnrr a.ab?c?b?cab?c(a?b)a?cbc?cab?.cabnnnnnnnn的二項(xiàng)展開(kāi)式右邊的多項(xiàng)式叫做 )(a?brn?rrT ：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，記作bca1r?n02rn1 二項(xiàng)式系數(shù)： c,.,c,cc,c,.,nnnnn注： 1）二項(xiàng)展開(kāi)式共有項(xiàng)，每項(xiàng)前都有二項(xiàng)式系數(shù) 1n?2）各項(xiàng)中的指數(shù)從n起依次減小1，到0為此 a各項(xiàng)中的指數(shù)從0起依次增加1，到n為此 b22rrn?1n?1n1n如x?cx?.?cxc1x1(?)?x?.?cxnnnn 典例精講 一選擇題（共15小

10、題） n展開(kāi)式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，+）香坊區(qū)校級(jí)期中）（ 1（2018秋? 則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（ ） A360B180C90D60 【分析】由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值，在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng) n最大，展開(kāi)式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即 【解答】解：（ +） 故n=6 r6n ，令6? 3r=0T= ，?2 故（+）=（ +）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 1r + ，求得r=2×，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 4=60 D故選： 85項(xiàng)的系數(shù)為（ ）的展開(kāi)式中，x秋2（2017?滄州期末）在（x） C28D28AB5656 【

11、分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于5，求出r的值，即可5項(xiàng)的系數(shù)求得x r8 ?（1）? Tx【解答】解：（= ）的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ，令 1r+ =5，求得r=28， 5=28，項(xiàng)的系數(shù)為 故x 故選：A 92+ax+2）+a（x2）+a（+（32018秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）設(shè)（x1）（2x+3）=a1120111，則a+a+2）a的值為（ ）（x 1121A1B2C2D2 【分析】在所給的等式中，令x=2，求得a=1再令x=1，1+a+a+a=0，11102由此求得 a+a+a的值 11219211，）+（a2x（+2x（+）+（1x【解答】解：（+）2x3=aa+）a+

12、）+x2 11102 令x=2，求得a=1 0再令x=1，1+a+a+a=0，a+a+a=1， 11111212故選：A 52+a（x1（x1）2）a=a+（x1）+a4（2018春?綿陽(yáng)期末）已知（3x3021345，則a=（ x1） ）+a（x1）+a（ 245B90C180D270A15 52項(xiàng)的系數(shù)，又）x2）1展開(kāi)式中（【分析】根據(jù)題意，分析可得a為（3x255，由二項(xiàng)式定理分析可得其展開(kāi)式中含（x1）+1）2）=3（x1由（3x2項(xiàng)，即可得答案 523+a1）a（x+a（x1）+解：根據(jù)題意，【解答】（3x2）=a+a（x14310245，1）x+a（x1） 52項(xiàng)的系數(shù)，1）a為

13、其展開(kāi)式中（x則 255r5r，1）=C3（x）+=3（x1）1，其展開(kāi)式的通項(xiàng)T又由（3x2 51r+322，）x1）1=90（令r=3可得：T=C3（x 54則a=90； 2故選：B n（nN*）的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)是20185（春?云陽(yáng)縣期末）二項(xiàng)式（x ） 常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為（ 270C240DBA270240 【分析】寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)求得n，進(jìn)一步求得常數(shù)項(xiàng) 【解答】解： = ，即n=6 由題意可得， 常數(shù)項(xiàng)為 故選：C 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A，二 ?臨沂期末）在二項(xiàng)式 春6（2018 項(xiàng)式系數(shù)之和為B，若A+B=72，則n=（ ） A3B4C5D6 nn

14、nn=722結(jié)合題意可得4，【分析】根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理分析可得A=4+、B=2，解可得n的值，即可得答案 = x=1可得：在二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中，令【解答】解：根據(jù)題意， nn +）（=4， n，則A=4 n，則B=2又由該二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為B nn=7224，+又由A+B=72，即 解可得：n=3， 故選：A 82+a（1+x）+x）=a+a（1+x）+a（127（2018春?龍巖期末）已知（x）82018，則a+a+a+a的值為（ ） 7102B255C256D729A1 88 =）【分析】推導(dǎo)出（2x =3（1+x） 8 ，由=2=256+a+ax=1，得a+a+ a+=1

15、，從而a，由1+ 871028此能求出a+a+a+a 7210828，x）（1x）+ax）（=a+a（1+x）+a1+【解答】解：（2 8120 88 +）（2x）=3（1+x = + ， ，=1a 88，=256a+a=2+x=1，得a+a+a+1+ 802711=255+a=256+aa+a+ 7021B故選： ?溫州期末（2018春）設(shè)8 102 ，+xx+a+ax則a=（ ） 10102 10101090?4BDCA4010?4 1920的系數(shù)，建立方程，即可求得ax【分析】將原等式變形，再考慮左、右、x10 的值 201021029）x+xb+bxbax+）（1+x）+（b（【解答】

16、解：由題意，（1+2x）=a+ax+ax+ 900102112 1919 ，右邊x的系數(shù)為的系數(shù)為 a+10a左邊x， 109 19，=2 ×a+10a 109 2020 ，右邊x的系數(shù)為的系數(shù)為 a，左邊x 10 10 =4 故選：B 827項(xiàng)的系數(shù)為x+y）y的展開(kāi)式中，含春?余姚市期末）在（2xy）（x9（2018（ ） A12B20C12D20 88的展開(kāi)式中，y）（x+y）+按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得（2xyx【分析】把（27項(xiàng)的系數(shù)y含x 8=（2xy）y）（x+y）【解答】解：（2x87625344352678 ）28x+y+70xyyy+56xx（+8xyy+28xy8

17、xy+56x+ 的展開(kāi)式中， 27項(xiàng)的系數(shù)為2×8y28=12故含x， 故選：A 365100，則下列各數(shù)中與最接近，?沙市區(qū)校級(jí)期末）若M=3N=1010（2017秋 的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg30.48） 55657585101010B10DCA 100365 ，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出=365lg3lg= =lg3【分析】根據(jù) lg10 100 的值，可得結(jié)論 365100 =365lg3= lg10100，lg=lg3解：【解答】 而lg30.48，365lg310075， 75，10 故選：C 63項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為（ x）（?201811（春邢臺(tái)期中）12x的展開(kāi)式中不含有

18、 ） A79B81C159D161 3項(xiàng)的系x通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求出所有項(xiàng)的系數(shù)和，再求出含有【分析】3項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和x數(shù)，可得不含有 36?（ 2=1，含有x）【解答】解：所有項(xiàng)的系數(shù)和為（12）項(xiàng)的系數(shù)為 3=160， 3項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為1（160）不含有x=161， 故選：D 524的系數(shù)為（ 的展開(kāi)式中x）y（x+y）（2xy）12（2018春?遵化市期中） A40B40C30D30 5524yy）x的展開(kāi)式中按照二項(xiàng)式展開(kāi)，可得（x+y）（2x【分析】把（2xy）的系數(shù) 5 5432234+80xyy10xyy）=（x+y）（32x80x40xy（【解答】解：（x+y）2x5

19、）y， 24的系數(shù)為1040=故它的展開(kāi)式中x30y， 故選：D 2624的系數(shù)是（ x x）113（2018?雙流區(qū)模擬）（x2）的展開(kāi)式中（ A48B48C432D432 2624的項(xiàng)，采x）與含有的展開(kāi)式的通項(xiàng)，分別求出含有【分析】寫出（xx2用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式得答案 62 2）=（【解答】解：x的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 由122r=2，可得r=5，由122r=4，可得r=4 4226 1）的展開(kāi)式中x（x2）（x的系數(shù)是 故選：C 展開(kāi)式中，有理項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為（ 2018?達(dá)州四模）二項(xiàng)式 ）14（ A4B5C6D9 【分析】根據(jù)題意，求出該二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，分析其項(xiàng)為有理項(xiàng)時(shí)r的值，即可得答案 r

20、8r （ x）展開(kāi)式的通項(xiàng)T=C【解答】解：根據(jù)題意，二項(xiàng)式 8r1 + rr ，=C 8分析可得：當(dāng)r=0、2、4、6、8時(shí)，T為有理項(xiàng)， 1r+即有5個(gè)有理項(xiàng)； 故選：B 254的系數(shù)為（ +）的展開(kāi)式中15（2018?新課標(biāo)）（xx A10B20C40D80 252r5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：T=+） （x）（）【分析】由二項(xiàng)式定理得（x 1r+ 4r52 ，由此能求出（+）x=的展開(kāi)式中x，由103r=4，解得r=2 的系數(shù) 52的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：）解：由二項(xiàng)式定理得（x+【解答】 r25r ，= （x）（）T= 1r + ，r=23r=4，解得由10 254 的系數(shù)為（x+） 的展開(kāi)式中x

21、=40 故選：C 二填空題（共5小題） 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為?菏澤期末）已知 8，則a= 秋16（2017 3 2 的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，x【分析】寫出二項(xiàng)式 的展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出其中含 則答案可求 的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 解：二項(xiàng)式【解答】 由2r10=2，得r=4，由2r10=0，得r=5 ，解得a=3 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 故答案為：3 5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3），）（2x17（2018春?吉安期末）若（x+ 則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 120 52）（1+（2x）a中，用特殊值法令x=1可得：【分析】根據(jù)題意，在（x+） 55x項(xiàng)的系數(shù)以及的展開(kāi)式中x）=3，解可得a的值，進(jìn)而分析（2x）1 1項(xiàng)的

22、系數(shù)，由多項(xiàng)式乘法的性質(zhì)分析可得答案 5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3，（2x）【解答】解：根據(jù)題意，若（x+） 5=3），（21x=1可得：（1+a）則令 解可得：a=2， 55，）（）2x=（x+則（x+）（2x rr5rrr55r52r，×x×=T=C（2x）（）（1）2C（2x）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 515r + 2231332=2）40C2×C=80，x，×項(xiàng)的系數(shù)為（其中x項(xiàng)的系數(shù)為（1）1 55 5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為80×2+1×（40）則（x+）（2x）=120； 故答案為：120 836項(xiàng)的系數(shù)為 28y ）y（x+y）展開(kāi)

23、式中，x18（2017秋?威海期末）（x 88，然后利用二項(xiàng)式定理分別計(jì)算y）xy（將二項(xiàng)式變形為x（x+y）+【分析】8836項(xiàng)的系數(shù)，再將兩系數(shù)相減即可得）y的展開(kāi)式中）x和y（x+y出x（x+y出答案 8888的通y）（x+y）+，二項(xiàng)展開(kāi)式+y）=x（x+yxy（x（【解答】解：xy）（x 8 的通項(xiàng)為項(xiàng)為 （x+y），二項(xiàng)展開(kāi)式y(tǒng) ， 63 ， 令，因此，x，解得項(xiàng)的系數(shù)為y 故答案為：28 ， （2018?新華區(qū)校級(jí)模擬）若 19 則a+a+a+a的值 3 8721 【分析】利用二項(xiàng)式定理可知，對(duì)已知關(guān)系式中的x賦值1即可求得a+a+a821的值 728，xax+x+）（x1【解答

24、】解：（+）12x=aaa+ 8012 7=a+a+a+a+a+1）（12）=2，令x=1得：（1 81027令x=0得：a=1， 0a+a+a+a=3， 8721故答案為：3 2642的系數(shù)為 90的展開(kāi)式中，x 福州期末）（xyy+1）20（2018春? 42的系數(shù)xy【分析】對(duì)三項(xiàng)式分組成二次項(xiàng)式，在利用通項(xiàng)公式即可求解 2626，+1yy+1）=（【解答】解：（xx （0r6，r由通項(xiàng)公式 Z） 再由通項(xiàng)公式： 42項(xiàng)，則122r要得到x2m=4y，m=2， 可得r=2 24 的系數(shù)為：xy 故答案為：90 三解答題（共4小題） n展開(kāi)式中的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第二）揚(yáng)州期末）若（x（

25、2018春?21 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的5倍，求： （1）n的值； 3的項(xiàng)x2）展開(kāi)式中含（ ，求解得n1）直接由題意可得 的值；【分析】（ （2）寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為3求得r值，則答案可求 ，即 n=7；【解答】解：（1）由題意， n （x） =（2） 其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) = ，得r=3 令 33 展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為280x= n）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為春?濟(jì)寧期末）已知（122（2018 n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；）求（1（1 n（2）求（x+2）（1）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng) 【分析】（1）由題意令x=1求得n的值，再求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得k 的

26、值，再計(jì)算展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)（2）根據(jù) =，即n=6，）由題意，令x=1得 【解答】解：（1 展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，所以 =；= ? 即T 4 展開(kāi)式的第k+ 1項(xiàng)為：（2） k ，（k=0，1，2 ，? 3，?x，=T 6? ）；= 1k + 由k=1，得k=1； 由k=0，得k=0； 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為： ） 所以（x+2 1+2×1=1?x? （）?x ?桂林期末）已知二項(xiàng)式 23（2018春 （1）求展開(kāi)式前2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和； （2）求這個(gè)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng) + ，計(jì)算求得結(jié)2【分析】（1）由題意可得展開(kāi)式前項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 果 （2）在通項(xiàng)公式中，令未知

27、數(shù)的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng) ，展開(kāi)式前2）對(duì)于二項(xiàng)式 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為【解答】解：（1 + =1+6=7 ，令6=0 ? =，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ）對(duì)于二項(xiàng)式（2 T 1r + 求得r=4， = =15故這個(gè)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 n2n*），且Na=+axn2x）（=a+ax+ax+24（2018春?揚(yáng)州期末）已知（110n2110 （1）求n的值； （2）求a+a+a的值 n12 rr 2n=r=1時(shí)，=（2）C x=【分析】（1）由T= ，當(dāng) 1r+10，由此能求出n的值 525*），當(dāng)x=0時(shí)，a=1，當(dāng)+axx=1（nN1（2）由（2x）時(shí)，=a+ax+ax+

28、01025a+a+a+a=1，由此能求出a+a+a的值 n2110n2n2n*），且a=x10（nN12x）+=a+axax，+a【解答】解：（1）（ 112n0 rr ，Cx=（2）=T 1r+ ，102n=當(dāng)r=1時(shí)， ，n=5解得 5n的值是 *255，）（nax+axN）（2）由（1（12x）+=aax+ 5201，a=1當(dāng)x=0時(shí)， 0，1a=+aa+當(dāng)x=1時(shí)，a n10221=a=1+aa+ n21歸納總結(jié) 1、二項(xiàng)式定理 （1）二項(xiàng)式定理 ?n?nn21n?2210nn? Nn?bC.?abba?aCaC?bC?nnnn這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理 （2）二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式

29、的通項(xiàng) n?n22nn?12n?0n1ba?ba?Cb?.Ca?Cab?C的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)叫做nnnn?rrn?rrn2,.,?0,C1,rCab叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的nnrn?rrT?CabT1r?表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)： 1r?nr?1（3）二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)冪指數(shù) n?1?n 二項(xiàng)式的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，各項(xiàng)的冪指數(shù)狀況是b?a 各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)nb按升冪排列，從1直到零，字母字母的按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐項(xiàng)減na 1直到第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增n ）幾點(diǎn)注意（4n?rrn?rCab?T通項(xiàng) 是項(xiàng)，這里的展開(kāi)式的第nr?0,1,2,

30、.,1r?ba?n1r?nn?rrrn?Cab應(yīng)用二項(xiàng)式是有區(qū)別的，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第項(xiàng)的項(xiàng)和1?r?1ra?bb?anb是不能隨便交換的和 定理時(shí)，其中的arC）與展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而注意二項(xiàng)式系數(shù)（n項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可為負(fù) nn?的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是通項(xiàng)公式是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如b?aa?br?rrn?rrrn?rCab?Tb?b這與（只須把在這看成代入二項(xiàng)式定理）是不同的，bT?C?1an1r?n1r?r?rrrCC可看出，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是，里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是一個(gè)是，C1?nnn二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念 n?n22rr1 ，則得公式：設(shè)x?a?1,bxCx?.?1?xx?1?C?Cx?.nnn?r?rrnn1,0,2,.,r?Cab?Tr,n,Ta,b通項(xiàng)是中含有五個(gè)元素，只要知道其中四11r?r?n個(gè)即可求