1、二項式定理 引入 上圖是什么啊？有什么規律嗎？ 解讀 、二項式定理1）二項式定理1（ n? ?ba 這個公式表示的定理叫做二項式定理）二項式系數、二項式的通項2（ n?n212n?2n10nn?的二項展開式，其中的系數叫做b?aba?Cb?CabC?.?aCnnnn?rn0,1,2,.,Cr?rrrn?T表示，式中的用叫做二項展開式的通項，叫做二項式系數，Cban1?rn ?T 項：即通項為展開式的第1?r1r? ）二項式展開式的各項冪指數（3 n? 項，各項的冪指數狀況是的展開式項數為二項式ba? 各項的次數都等于二項式的冪指數nb按升冪排列，從直到零，字母的按降冪排列，從第一項開始，次數由

2、逐項減1字母na第一項起，次數由零逐項增1直到 n（4）幾點注意 n? rrn?r 通項是項，這里的展開式的第ba?n2,.,r?0,1,b?TCan?r1 nn?r?rrn是有區別的，項和應用二項式二項式項的展開式的第的a?a?bbabC1?r?1rnb是不能隨便交換的和 定理時，其中的ar）與展開式中對應項的系數不一定相等，二項式系數一定為正，而注意二項式系數（Cn項的系數有時可為負 nn?的二項展開式的通項公式是這個標準形式下而言的，如通項公式是ba?ba?r?rrrn?rrrn?b?b在這（只須把這與看成是不同的，代入二項式定理）bCa?1T?bT?Canr?1n?1rr?rrr可看出

3、，但項的系數一個是，一個是里對應項的二項式系數是相等的都是，C?1CCnnn 二項式系數與項的系數是不同的概念n? 設，則得公式：?x1?xa?1,b? ?rrn?r?Tn,r,Ta,b,通項是五個元素，只要知道其中四中含有n.,?r0,1,2,Cab1r?r?1n個即可求第五個元素 n 的近似值 不是很大，當比較小時可以用展開式的前幾項求xn)?x(12二項式系數的性質 （1）楊輝三角形：對于是較小的正整數時，可以直接寫出各項系數而不去套用二項式定n理，二項式系數也可以直接用楊輝三角計算 楊輝三角有如下規律：“左、右兩邊斜行各數都是1其余各數都等于它肩上兩個數字的和” n?n012，從函數的

4、角）二項式系數的性質：展開式的二項式系數是：（2b?aC.,CC,Cnnnn?r，其定義域是： 度看可以看成是為自變量的函數n3,0,1,2,.,frCrn?6n? 時，當的圖象為下圖：rf ?6?n的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數的”和時這樣我們利用“楊輝三角rf 性質 的兩個二項式系數相等等距離”對稱性：與首末兩端“m?mn 得到事實上，這一性質可直接由公式C?Cnn 增減性與最大值 如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大； 如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大 由于展開式各項的二項式系數順次是?1nn?n102 ，?C?,C?1,C nnn21?1?

5、2?1?nnn3 ，?C n32?1?1?kk?1n?2n?2?.nnnn?1nn?2.?n?k?2k1k?C?C? ， ?nnk1k?3.1?1?23?.?k12?n 1?Cn的數（如1其中，后一個二項式系數的分子是前一個二項式系數的分子乘以逐次減小）因為，一個自然數乘以一，3，分母是乘以逐次增大的數（如1，2.2,?1,n?n,nk等值時，3，的數則變小，從而當2依次取1，而乘以一個小于個大于1的數則變大，1r的兩項的式系數相等，所以二”的值轉化為不遞增而遞減了又因為與首末兩端“等距離Cn 項式系數增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數最大的項必在中間1?1nn?項，所以展開式有中間一項，

6、并且這一是偶數時，是奇數，展開式共有當nn 項的二項式系數最大，最大為C2n1?1nn?項，所以有中間兩項。這兩項的二項式是偶數，展開式共有當是奇數時，n1?n1n 系數相等并且最大，最大為CC?22nnnrn012n，即二項式系數的和為 C?C.?C?C?.?2?C2nnnnn奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即 024135n?1 2?C?.C?C?.?C?C?C?nnnnnn常見題型有：求展開式的某些特定項、項數、系數，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數式問題 探究 1、提出問題： n222b?2?ab)ab(a?b)?(a?， 的展開式。如那引入：二項式定理研究的是

7、么： 3)?b(a=? 4)?b(a=? 100)?b(a=? n)?b(a=更進一步：？ 2、對展開式的分析 2)a?b(222b,ab)(a?b)a(a?b)(?a?b 展開后其項的形式為： 200acc 前的系數為1種，即則 ,考慮，每個都不取的情況有bb2211cc 前的系數為恰有1個取的情況有種，則abb22222bcc 的情況有種，則 前的系數為恰有2個取b2202221222?cab?cb?2ab?ba?c(a?b)a? 所以 2220312233233223 類似地?c?b3ab?3caa?cb?ab?cbaba(?b)?a?33334?(a?b)(a?b)(a?b)(a)?(

8、ab?b)=? 思考：問題： 4)ba(? 展開后各項形式分別是什么？1)432234babbaaba 2)各項前的系數代表著什么？ 各項前的系數 就是在4個括號中選幾個取的方法種數 b3)你能分析說明各項前的系數嗎？ 400acc 前的系數為的情況有1種，即,則每個都不取b44311abcc 前的系數為個取的情況有種，則恰有1b442222bacc 前的系數為 種，則恰有2個取的情況有b44333abcc 的情況有前的系數為 種，則恰有3個取b44444bcc 種，則的情況有前的系數為4恰有個取b44043222334414?cab?cab?cab?ca?cb(a?)b 則44444推廣：得

9、二項展開式定理： *Nn? 一般地，對于有1n?33n?223nn0n?121?nn?1nn?rnrr a.ab?c?b?cab?c(a?b)a?cbc?cab?.cabnnnnnnnn)?b(a的二項展開式 右邊的多項式叫做rn?rr：二項展開式的通項，記作 bacTn1r?02rn1： 二項式系數 cc,.,c,.,cc,nnnnn注： 1）二項展開式共有項，每項前都有二項式系數 1n?a的指數從n起依次減小1，到0為此2）各項中 各項中的指數從0起依次增加1，到n為此 b22rrn?1n?1nn1如x?cx?.?cx?)?x(1x?1c?.?cxnnnn 典例精講 一選擇題（共15小題）

10、 6 的展開式中含?湖南期末）二項式 x項的系數為70，則1（2018春 ）實數a=（ B1C±2DA1±1 4） ） 的展開式中，常數項為（2018春?海珠區期末）（x（2 B5C1211D19A ）的展開式中第 4項的系數為（春3（2018?揭陽期末）二項式 B56C1792D56A1120 3 ）的系數為（ 汕頭期末）? 展開式中x春（42018 A70B80C90D60 展開式的常數項等于（ ?諸暨市期末）二項式 ）20185（春 A240B240C96D96 n開式的二項式系數和為5126x資陽期末）?（），則開式的常（62018春 ） 數項為（ CA224DB2

11、24 64的系數為（ 1）的展開式中x2018?香坊區校級三模）（2x）（2x+7（ A160B320C480D640 324） x2018?海南一模）（的系數為（+x+1）（x1） 的展開式中，x8（ B2CA31D4 6）的展開式中的常數項是（ 12018?9（濟寧二模）（2x+1）（） A5B7C11D13 72+a（1+x）+x）+a（1+x）春10（2018?涪城區校級期中）記（2+x1=a+a（71027，則a+a+a+a的值為（ ） 6201B2188C127D128A2187 11+）的展開式中的二項式系數N贛州期中）使得（x+（n）201811（春? ） 最大的項是（ B6C

12、7D6A5或7 25的展開式中常數項是（ 2x ）（道里區校級二模）（122018? CBA510D510 的展開式中的第五項為常數項，則 2018?13（臨川區校級模擬）已知 展開式中各項的二項式系數之和為（ ） A128B64C32D16 1x 的展開式中 ）的系數是（ （142018?武侯區校級模擬） D1CBA2 255的系數為（ ）的展開式中的x浦江縣模擬）（x+1）（x115（2018? A1B9C11D21 小題）5二填空題（共 3x+浙江期末）在（x1）（2x）的展開式中，常數項是 8 ，含秋16（2017? 的一次項的系數是 n 1）的展開式中，各項系數的和是 2x20181

13、7（春?洛陽期末）在（ 34，各金華期末）在（182018春?1x的展開式中，含x項的系數是 ） 項系數和是 78咸陽期末）在（春（192018?x x）2的展開式中，的系數為 n ）雙臺子區校級期末）在（2018春?的二項展開式中，所有項的二20（ 項式系數之和為256，則n等于 三解答題（共3小題） 10的展開式中，求：）2x3y秋21（2018?西城區校級月考）在（ （1）二項式系數的和； （2）各項系數的和； （3）奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和； （4）奇數項系數和與偶數項系數和； （5）x的奇次項系數和與x的偶次項系數和 展開式中各項系數的和比它的春22（2017?崇川

14、區校級月考）已知 4032二項式系數的和大 4的項；（）求展開式中含x （）求展開式中二項式系數最大的項 *n）的展開式中，偶N2x?春鐵東區校級期中）在二項式（1）n（201623（數項的二項式系數之和為128 ）求展開式中的二項式系數最大項；1（ 的取值范圍x2（）若展開式的第二項大于第三項，求 歸納總結 1、二項式定理 （1）二項式定理 ?n?2nn12n?20n1n? N?Ca?bb?naa?Cb?Cab?.?Cnnnn這個公式表示的定理叫做二項式定理 （2）二項式系數、二項式的通項 n?ba?n2n10n1n?2n?2b?CCab?Cab?.Ca?的二項展開式，其中的系數叫做nnnn

15、?rn2,.,r?0,C1,rn?rrTbCa用叫做二項展開式的通項，叫做二項式系數，式中的nr?1nrn?rrT?Cabr?1表示，即通項為展開式的第項： n1r?（3）二項式展開式的各項冪指數 n?1?n 二項式項，各項的冪指數狀況是的展開式項數為b?a 各項的次數都等于二項式的冪指數nb按升冪排列，從逐項減1直到零，字母字母的按降冪排列，從第一項開始，次數由na 第一項起，次數由零逐項增1直到n ）幾點注意（4n?rrrn?通項是 的展開式的第項，這里n2,.,0,1,?rba?CabT?1r?nr?1nn?rrrn?應用二項式項是有區別的，二項式的展開式的第項和的a?bb?aCab1?

16、r?1rnb是不能隨便交換的 定理時，其中的和ar）與展開式中對應項的系數不一定相等，二項式系數一定為正，而注意二項式系數（Cn項的系數有時可為負 nn?的二項展開式的通項公式是通項公式是這個標準形式下而言的，如ba?a?br?rrn?rr?rrnb?b在這是不同的，看成代入二項式定理）這與（只須把bTCa?1bCT?an?1rn1r?r?rrr可看出，一個是，但項的系數一個是，里對應項的二項式系數是相等的都是C1?CCnnn 二項式系數與項的系數是不同的概念 n?n2rr12，則得公式： 設C?1.Cx?Cx?.?x1?xx?x1,a?b?nnn?rn?rrT,a,b,n,rT?五個元素，只

17、要知道其中四通項是中含有n2,.,r?0,1,bCa1r?r1?n個即可求第五個元素 n 的近似值 當不是很大，比較小時可以用展開式的前幾項求xn)?(1x2、二項式系數的性質 （1）楊輝三角形：對于是較小的正整數時，可以直接寫出各項系數而不去套用二項式定n理，二項式系數也可以直接用楊輝三角計算 楊輝三角有如下規律：“左、右兩邊斜行各數都是1其余各數都等于它肩上兩個數字的和” （2）二項式系數的性質： n?012nr可以看成是，從函數的角度看展開式的二項式系數是：ba?CCC,C,.,C,rnnnnn?為自變量的函數，其定義域是： n1,f2,r3,.,0,?6?n的圖象為下圖： 當時，rf

18、?6?n的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數的”楊輝三角和時這樣我們利用“rf 性質 的兩個二項式系數相等”對稱性：與首末兩端“等距離m?mn 事實上，這一性質可直接由公式得到C?Cnn 增減性與最大值 如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大； 如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大 由于展開式各項的二項式系數順次是 ?1?nnn021， C?1,C?,C? nnn11?2?2?nnn?13， C? n1?2?3?1k?n.?n?nn?k?2kn?1?n?2nn?12n?2.k?1kC?C?， ?nnk1k32?.?k?11?2?3.?1?n 1C?n其中，后一個二項式系數的分子是前一個二項式系數的分子乘以逐次減小1的數（如，分母是乘以逐次增大的數（如1，2，3，）因為，一個自然數乘以一）.2,n?n,n?1,k依次取1，2，3，1個大于1的數則變大，而乘以一個小于的數則變小，從而當等值時，r的值轉化為不遞增而遞減了又因為與首末兩端“等距離”的兩項的式系數相等，所以二Cn項式