1、2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（大綱版） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1（5分）（2013?大綱版）設(shè)集合U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，則?A=U（ ） A1，2B3，4，5C1，2，3，4，5D? 【分析】由題意，直接根據(jù)補(bǔ)集的定義求出?A，即可選出正確選項(xiàng) U【解答】解：因?yàn)閁=1，2，3，4，5，集合A=1，2 所以?A=3，4，5 U故選：B ） sin=，則cos=（5分）（2013?大綱版）若為第二象限角，2（ D CA B 的值，利用同角三角0，根據(jù)sincos【分析】由為第二象限角，得到小于的

2、值函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cos ，為第二象限角，且sin=【解答】解： = cos= 故選：A ）2， +2），若（，=（5分）（2013?大綱版）已知向量 （+1，1） =（+3 ）=（ （ ），則 1DA4B3C2 【分析】利用向量的運(yùn)算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出 ， ， 【解答】解： ， =，33 ）+（2 ， ， =0 （2+3）3=0，解得=3 故選：B 22|2|x的解集是（ ）4（5分）（2013?大綱版）不等式 A（1，1）B（2，2） D（1）2，0）（0，2）C（1，0）（0， 【分析】直接利用絕對(duì)值不等式的解法，去掉絕對(duì)值后，解二次不等式即可 22222x的解

3、集，解：不等式|x的解集等價(jià)于，不等式2|2【解答】24x，即0 解得x（2，0）（0，2） 故選：D 86的系數(shù)是（ 的展開(kāi)式中x）（2013?大綱版）（x+2）5（5分） A28B56C112D224 6的系求出xx的指數(shù)為6【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令數(shù) 8r8r2 2展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén) ）=Cx 【解答】解：（x+ 1r +，得r=2令8r=6 226C的系數(shù)是2 展開(kāi)式中x=112 8C故選： 1=）0）的反函數(shù)f（x（2013?6（5分）（大綱版）函數(shù)f（x）=log1+）（x 2 （ ） B A xx1（x0D22C）1（xR） ，x，yx=y【分析】把看作常

4、數(shù)，求出x：互換，得到y(tǒng)=log（1+）的反 2 函數(shù)注意反函數(shù)的定義域 ，（解：設(shè)【解答】y=log+1） 2 ：x看作常數(shù)，求出把y y，=2+1，y，其中0x= ，y=+）的反函數(shù)：，y互換，得到y(tǒng)=log（1x 2 故選：A 7（5分）（2013?大綱版）已知數(shù)列a滿足3a+a=0，a=，則a的前10 n1nnn2+ 項(xiàng)和等于（ ） 10 B）A6（13 1010）+3DC3（133（）1 可結(jié)合已知 a是以為公比的等比數(shù)列，【分析】由已知可知，數(shù)列 n 求a，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求 1【解答】解：3a+a=0 nn1+ 數(shù)列a是以為公比的等比數(shù)列 n a=4 1 10）3由等

5、比數(shù)列的求和公式可得，S=3（1 10 故選：C 8（5分）（2013?大綱版）已知F（1，0），F(xiàn)（1，0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，21過(guò)F且垂直于x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=3，則C的方程為（ ） 2 B A DC 根據(jù)題意可得 ，=1再由AB經(jīng)過(guò)【分析】設(shè)橢圓的方程為 的坐標(biāo)，代入橢圓方程得、|x右焦點(diǎn)F且垂直于軸且|AB=3算出AB2 22a ，兩式聯(lián)解即可算出 =3，從而得到橢圓C=4，b的方程 ，解：設(shè)橢圓的方程為【解答】 22 =1=1可得c=，所以ab AB經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于x軸，且|AB|=3 2 ， ，代入橢圓方程得，可得A（1），B（1，） 22=3，ab=4

6、聯(lián)解，可得 C的方程為橢圓 故選：C =）的部分圖象如圖，則（+）0大綱版）9（5分）（2013?若函數(shù)y=sin（x）（ 23DB4CA5 然后求解求出函數(shù)的周期，【分析】利用函數(shù)圖象已知的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差值， ，縱坐標(biāo)相反，而 ， ）與 【解答】解：由函數(shù)的圖象可知，（x，y 00 且不是相鄰的對(duì)稱點(diǎn)， ，=）所以函數(shù)的周期T=2（ =4所以T=，所以= B故選： 24）處切線的斜2，a+ax在點(diǎn)（+11大綱版）已知曲線510（分）（2013?y=x） （ 8率為，a= 69DCBA96 的值先求導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程，即可求得a【分析】 24，ax解：【解答】y=x+1

7、3+2axy=4x， 42+1在點(diǎn)（1，a+2）處切線的斜率為曲線y=x8+ax， 42a=8 a=6 故選：D 11（5分）（2013?大綱版）已知正四棱柱ABCDABCD中，AA=2AB，則CD11111與平面BDC所成角的正弦值等于（ ） 1 DABC 、的方向?yàn)閤軸、，分別以 y 【分析】設(shè)AB=1，則軸、z AA=2 1 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) =（x，y，z）為平面BDC的一個(gè)法向1量，CD與平面BDC所成角為， 1 |sin=|，在空間坐標(biāo)系下求出向量坐標(biāo)，代入計(jì)算即可則 、的方向?yàn)椤窘獯稹拷猓涸O(shè)AB=1分別以， ，則 x軸、 y軸、AA=2 1z軸的正方向建立空間直角

8、坐標(biāo)系， 如下圖所示： ，）0，22），C（1，0，2）C（1，0，），B（1，10D則（0， 1 ，），0020，）， =（1，1 ，（=1，10），=（， 的一個(gè)法向量，則BDC，即）為平面， ，取設(shè)=（xy，z 1 ，122=（，） ，|=與平面BDC所成角為，則sin=|設(shè)CD 1 故選：A 2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（y2，2），12（5分）（2013?大綱版）已知拋物線C： ）（ ，則k= B兩點(diǎn)，若C且斜率為k的直線與交于A，過(guò)點(diǎn)F DCBA 2 =利用 2），代入拋物線方程，【分析】斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x（x+2，y2）?（x+2，y2）=0，即可求出k的值 2112

9、2=8x得焦點(diǎn)（2，y0），【解答】解：由拋物線C： 由題意可知：斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x2）， 2222=0，0x+x4k（4k，+8代入拋物線方程，得到k） 設(shè)A（x，y），B（x，y） 2211 ，xx+=4x+x=4 2211 y+y=，yy=16， 2121 ，=0又 =0 =2）+2，y 2x=（+2，y）?（x 2112 k=2 故選：D .5分二、填空題：本大題共4小題，每小題 ）時(shí)，1，3大綱版）設(shè)（5分）（2013?f（x）是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x13 12，則f（）= 1xf（）=x ，代入函數(shù)的解析式求解即可（1）1）=f（f【分析】利用函數(shù)的周期，求出 =

10、x）時(shí)，2（x）是以為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1，3f（xf【解答】解：因設(shè)，2 ）（）（則f1=f1=12=1 故答案為：1 14（5分）（2013?大綱版）從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)，2名二等獎(jiǎng)，3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有 60 種（用數(shù)字作答） 種方法，2名二等獎(jiǎng)， 種方法，利用【分析】6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)有 分步計(jì)數(shù)原理即可得答案 種方 名選手中決出1名一等獎(jiǎng)有【解答】解：依題意，可分三步，第一步從6 法， 種方法， 第二步，再?zèng)Q出2名二等獎(jiǎng)，有 第三步，剩余三人為三等獎(jiǎng)， ? =60種方法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：共有 故答案為：60 ，則z=x2013?大綱版）若x、

11、y滿足約束條件+y的最15（5分）（ 小值為 0 【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=y=1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值，從而得到本題答案 表示的平面區(qū)域，【解答】解：作出不等式組 ）4，C（0（），B0，），1A得到如圖的ABC及其內(nèi)部，其中（1， 進(jìn)行平移，+y：z=xlxx設(shè)z=F（，y）+y，將直線 達(dá)到最小值z(mì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)l 1=01=11=Fz（，）+ 最小值故答案為：0 16（5分）（2013?大綱版）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng) ，且圓與圓所在的平面所成角為 ，則球 O等于球O

12、的半徑， 的表面積等于 16 【分析】正確作出圖形，利用勾股定理，建立方程，即可求得結(jié)論 【解答】解：如圖所示，設(shè)球O的半徑為r，AB是公共弦，OCK是面面角 ，CK= OC=根據(jù)題意得 222 ，即OC=OK+CKOCK在中， 2=4r 2=16的表面積等于4r球O 故答案為16 .三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 ，=2a=4，a中，2013?大綱版）等差數(shù)列aa分）17（10（ 9197n 的通項(xiàng)公式；a（）求 n Sn項(xiàng)和b的前，求數(shù)列（）設(shè)b= nnn ，進(jìn)而可求d，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a，=2a（【分析】I）由a=4，a19197a n ，利用裂項(xiàng)求和即可求

13、解 =II（）由 da）設(shè)等差數(shù)列（【解答】解：I的公差為 na=4，a=2a， 9719 解得，a=1，d= 1 = = =II（） = s n = = 18（12分）（2013?大綱版）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（ab+c）=ac （）求B （）若sinAsinC=，求C 【分析】（I）已知等式左邊利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將關(guān)系式代入求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)； （II）由（I）得到A+C的度數(shù)，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（AC），變形

14、后將cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（AC）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出AC的值，與A+C的值聯(lián)立即可求出C的度數(shù) 22=acbc），+ab+c）=（aa【解答】解：（I）（+b+c）（ 222=acba，+c =，cosB= 為三角形的內(nèi)角，又B 則B=120°； （II）由（I）得：A+C=60°，sinAsinC=，cos（A+C）=， cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C） +2sinAsinC=+2×=， AC=30°或AC=30

15、76;， 則C=15°或C=45° 19（12分）（2013?大綱版）如圖，四棱錐PABCD中，ABC=BAD=90°，BC=2AD，PAB與PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形 （）證明：PBCD； （）求點(diǎn)A到平面PCD的距離 ，平面ABCD過(guò)P作POE，連接DE，則ABED為正方形，【分析】（I）取BC的中點(diǎn)，即可證明PBOECD，OE，證明PBOE，OB垂足為O，連接OA，OD；CD PCD到平面OF就是A到平面OF，證明OPCD的距離（II）取PD的中點(diǎn)F，連接的距離PCD的距離，即可求得點(diǎn)A到平面 PO為正方形，過(guò)P作E，連接DE，則ABEDI【解答】（）證

16、明：取BC的中點(diǎn)OE，ODO，連接OA，OB，垂足為平面ABCD PA=PB=PD都是等邊三角形知和PAD由PAB 對(duì)角線的交點(diǎn)ABEDO為正方形OA=OB=OD，即 OE，PBOEBD CDOEE是BC的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)， ；CDPB PBOF，連接OF，則（II）取PD的中點(diǎn)F ，CD，OF由（I）知PBCD ， = PDOFPOD為等腰三角形， PCD平面CD=D，OFPD PCDAE平面?平面PCD，PCD，AECDCD?平面，AE 的距離到平面PCDOF到平面PCD的距離就是AO OF= 點(diǎn)A到平面PCD的距離為1 其中兩人比賽，丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，甲、乙、12分）（2013

17、?大綱版）20（另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方 局甲當(dāng)裁判1獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第 局甲當(dāng)裁判的概率；4（）求第 次裁判概率14局中乙恰好當(dāng)（）求前 第三局甲參加比“A表示事件“第二局結(jié)果為甲勝”，【分析】（I）設(shè)A表示事件21利用相互獨(dú)立A=A?A第四局甲當(dāng)裁判”，可得賽結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事件“21事件的概率計(jì)算公式即可得出； 第二局乙參加比賽結(jié)表示事件“第一局比賽結(jié)果為乙勝”，B（II）設(shè)B表示事件“21局前4，B表示事件“”，B表示事件“第三局乙參加比賽結(jié)果為乙勝”果為乙勝3 ，利用互斥事件”可得B= 中乙恰好當(dāng)1次裁判 和相互

18、獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出 第三局甲參“，A表示事件）設(shè)A表示事件“第二局結(jié)果為甲勝”【解答】解：（I21”表示事件“第四局甲當(dāng)裁判加比賽結(jié)果為甲負(fù)”，A ?A則A=A 21 = AP（A）=P（?A） 21 第二局乙參加比賽結(jié)表示事件“第一局比賽結(jié)果為乙勝”，B（II）設(shè)B表示事件“21，果為乙勝” 1局中乙恰好當(dāng)“表示事件前4B表示事件“第三局乙參加比賽結(jié)果為乙勝”，B3”次裁判 ，B= 則 ）B=P（ 則P（ + = + = = 32+3x+3ax+1（2013?大綱版）已知函數(shù)f（x）=x21（12分） 時(shí)，討論fa=（x）的單調(diào)性；（）求 （）若x2，+）時(shí)，f（x）0，求a的取

19、值范圍 【分析】（I）把a(bǔ)= 代入可得函數(shù)（fx）的解析式，求導(dǎo)數(shù)令其為0可得x= ， 或x= ，判斷函數(shù)在區(qū)間（， ），（ ， ）， ，+）的正負(fù)可得單調(diào)性；（II）由f（2）（0，可得a ，當(dāng) a ，x（2，+）時(shí)，由不等式的證明方法可得f（x）0，可得單調(diào) 性，進(jìn)而可得當(dāng)x2，+）時(shí)，有f（x）f（2）0成立，進(jìn)而可得a的范圍 32+3x+1，+3 xI解：（）當(dāng)a= 時(shí)，f（x）=x【解答】 2+6 x+3，令f（x）=0，可得x= ，或x=f（x）=3x ， 當(dāng)x（， ）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增， 當(dāng)x（ ， ）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減， 當(dāng)x（ ，+）時(shí)，f（x）0

20、，f（x）單調(diào)遞增； （II）由f（2）0，可解得a ，當(dāng)a ，x（2，+）時(shí)， 2 ）=3（x）3（ （x2）0，xf（）=3（x+2ax1 所以函數(shù)f（x）在（2，+）單調(diào)遞增，于是當(dāng)x2，+）時(shí)，f（x）f（2）0， 綜上可得，a的取值范圍是 ，+） ）的左、0a（0，b（22（12分）2013?大綱版）已知雙曲線C：=1 y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 ，右焦點(diǎn)分別為FF，離心率為3，直線 21（I）求a，b； （II）設(shè)過(guò)F的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF|=|BF|，112證明：|AF|、|AB|、|BF|成等比數(shù)列 22的關(guān)系，將雙曲線的方程b，a得到參數(shù)3）由題設(shè)，