1、第十五章機械振動一選擇題1. 對一個作簡諧振動的物體，下面哪種說法是正確的？（）A. 物體在運動正方向的端點時，速度和加速度都達到最大值；B. 物體位于平衡位置且向負方向運動時，速度和加速度都為零；C. 物體位于平衡位置且向正方向運動時，速度最大，加速度為零；D. 物體處負方向的端點時，速度最大，加速度為零。 解：根據簡諧振動的速度和加速度公式分析。答案選C。2. 下列四種運動（忽略阻力）中哪一種不是簡諧振動？（）A. 小球在地面上作完全彈性的上下跳動；B. 豎直懸掛的彈簧振子的運動；C. 放在光滑斜面上彈簧振子的運動；D. 浮在水里的一均勻球形木塊，將它部分按入水中，然后松開，使木塊上下浮動

2、。 解：A中小球沒有受到回復力的作用。答案選A。3. 一個輕質彈簧豎直懸掛，當一物體系于彈簧的下端時，彈簧伸長了I而平衡。則此系統作簡諧振動時振動的角頻率為（）A.f解 由kl=mg可得k=mg/l，系統作簡諧振動時振動的固有角頻率為O故本題答案為B。4.作 t=0,一質點作簡諧振動（用余弦函數表達），若將振動速度處于正最大值的某時刻取則振動初相為（）A.-上B. 0C. nD. n2 2解由Acos（ t ）可得振動速度為 v =蟲=- Asin（t ）。速度正最大時dt有 cos（t 亠巧=0 , sin（，t 亠）- -1，若 t=0,則 二。2故本題答案為A。5. 如圖所示，質量為 m

3、的物體，由勁度系數為ki和k2的兩個輕彈簧連接，在光滑導軌上作微小振動，其振動頻率為（）A.B.=2=2 n 灶mk1k2kMMWvAA/-C.D.1 k1 k22 n mk1.k21V =.k1.k2選擇題5圖解：量分別為2 n m(k1 k2)設當m離開平衡位置的位移為 x,時，勁度系數為k1和k2的兩個輕彈簧的伸長 X1和X2,顯然有關系x1x2 =x此時兩個彈簧之間、第二個彈簧與和物體之間的作用力相等。因此有k1x1 =k2x2d2xm 2k1 x1k2xdt2由前面二式解出x12 ，將X1代入第三式，得到1 kk2d2x k1k2mdt2將此式與簡諧振動的動力學方程比較，并令 Xk1

4、k2k k 2-，即得振動頻率m(& +k2)k1.k22 n m(k1 k2)所以答案選D。6. 如題圖所示，質量為 m的物體由勁度系數為 ki和k2的兩個輕彈簧連接，在光滑 導軌上作微小振動，則該系統的振動頻率為()A.C.k1 k2mk1 k2解：彈簧被壓縮1V =一.2 n mk1.k2設質點離開平衡位置的位移是X,假設x0，則第一個彈簧被拉長 X,而第二個X,作用在質點上的回復力為-(k1X+ k2X)。因此簡諧振動的動力學方程d2xm二(k1 k2)xdt21/ & + k2，即 vj 1k1 k2m2 n , m所以答案選B。7.彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時，彈性力在半個周

5、期內所作的功為2 2 2A. kA B. (1/2 )kAC. (1/4) kAD. 0解：每經過半個周期，彈簧的彈性勢能前后相等，彈性力的功為0，故答案選D。8.加為原來的A. 2E彈簧振子作簡諧振動，總能量為E,若振幅增加為原來的4倍，則它的總能量為B. 4EC. E2倍，振子的質量增()D. 16E1 2E kA，所以答案選B。29.已知有同方向的兩簡諧振動，它們的振動表達式分別為解：因為x1 =5cos(10t 0.75 ncm； x2 =6cos(10t 0.25 cm則合振動的振幅為A. 61 cmB. 11 cmC. 11cm( )D. 61cm解 Am.g2 A 2A,A2 c

6、os _ )f：5622 5 6 cos(0.25n 0.75 n =；、;；6110.程應為：一振子的兩個分振動方程為X1 - 4 cos 3 t , X2 - 2 cos (3 t + n )，則其合振動方( )A.C.解：x - 4 cos (3 t + n )B.x - 4 cos (3 t一 n )x - 2 cos (3 t -n )D.x - 2 cos 3 tx -x 1+ x 2- 4 cos 3 t +2 cos (3 t+ n)- 4 cos 3 t 2cos 3 t- 2 cos 3 t所以答案選A。所以答案選D。11.為測定某音叉C的頻率，可選定兩個頻率已知的音叉A和

7、B ;先使頻率為 800Hz的音叉A和音叉C同時振動，每秒鐘聽到兩次強音；再使頻率為 時振動，每秒鐘聽到一次強音，則音叉C的頻率應為：(A. 800 H zB. 799 H zC. 798 H z797Hz音叉B和C同)D.797 Hz解：拍的頻率是兩個分振動頻率之差。由題意可知：音叉A和音叉C同時振動時,拍的頻率是2 Hz，音叉B和音叉C同時振動時，拍的頻率是1H z，顯然音叉C的頻率應為798 H z。所以答案選Co 二填空題1. 一質量為 m的質點在力F = -n 2 x作用下沿 x軸運動，其運動的周期為o2. 如圖，一水平彈簧簡諧振子振動曲線如圖所示，振子處在位移為零，速度為-3A、加

8、速度為零和彈性力為零的狀態，對應曲線上的 點，振子處在位移的絕對值為A、速度為零、加速度為 -3 2A和彈性力為 -kA的狀態，則對于曲線上的 點。3. 一簡諧振動的振動曲線如圖所示，相應的以余弦函數表示的該振動方程為x =_ m o解：0.04cosn t -n) o24. 一物體作簡諧振動，其振動方程為x = 0.04 cos (5 n t / 3 - n / 2 ) m o(1) 此簡諧振動的周期T =(2) 當t = 0.6 s時，物體的速度 v =o解：(1)由 5 n / 3 =2 n / T,得到 T= 1.2s; (2) v= -0.04 5n /3 sin (5 n t /

9、3 -n / 2 ), 當 t = 0.6 s 時，v = -0.209 m . s -o5. 一質點沿x軸做簡諧振動，振動中心點為x軸的原點。已知周期為T,振幅為A,(1) 若t =0時刻質點過x=0處且向x軸正方向運動，則振動方程為 ; (2)若t =0時質點位于x=A/2處且向x軸負方向運動，則振動方程為 o解: (1) X = ACOS(2 二二/2) ； (2)Acos(2冗上 n)TT 36. 圖中用旋轉矢量法表示了一個簡諧振動，旋轉矢量的長度為 0.04m ,旋轉角速度t = 0填空題6圖3 = 4 n rad/s，此簡諧振動以余弦函數表示的振動方程為x= o解：t=0時x=0

10、, v0，所以振動的初相位是-n /2。故xn=0.04cos(4兀 t 一)。7. 質量為m的物體和一個彈簧組成的彈簧振子，其固有振動周期為 T,當它作振幅為A的簡諧振動時，此系統的振動能量E = 。4 2ia 2解：因為 k = m 2 = m n；，所以 E = kA2 = 2冗2 m 2。T22T28. 將質量為0.2 kg的物體，系于勁度系數k = 19 N/m的豎直懸掛的彈簧的下端。假定在彈簧原長處將物體由靜止釋放，然后物體作簡諧振動，則振動頻率為 振幅為。解：1.55 Hz; A = . x2V02 =0.103mBx(m)t(s)9. 已知一簡諧振動曲線如圖所示，由圖確定：(1

11、) 在s時速度為零；(2) 在s時動能最大；(3) 在s時加速度取正的最大值。解：(1) 0.5(2n+1) , n=0,1,2,3；填空題 9 圖(2) n, n=0,1,2,3；(3) 0.5(4n+1) , n=0,1,2,3。A10. 一質點作簡諧振動，振幅為 A,當它離開平衡位置的位移為x=-時，其動能2Ek和勢能Ep的比值且=。Ep 1 113E解 勢能Ep二kx2二-kA2，總機械能為E=kA2，動能Ek二kA2。故 =3。2 828Ep11. 兩個同方向同頻率簡諧振動的表達式分別為2 2% =6.0 10cos(-t - -) (SI) , x2 =4.0 10cos(-) (

12、SI)，則其合振T 4T 4動的表達式為(SI)。解 本題為個同方向同頻率簡諧振動的合成。(1)解析法 合振動為X=X1，X2 ,22 n n_22 n nx =6.0 10 cos( -t 一) 4.0 10 cos( t 一一)T 4T 4.2 n2 n. 2=2 10 5cos( t) sin( t) =7.2 10 cos( t )其中=11.3(2)旋轉矢量法如圖所示，用旋轉矢量A1和A2分別表示兩個簡諧振動X1和X2,合振動為A1和A2的合矢量A,按矢量合成的平行四邊形法則AA xA =10 2 . 62 42 =7.2 10 匸 m.tan -宀血1 A2sin：2 =1,=11

13、.3 A1 cos% +A2 cos25故合振動的表達式為x =7.2x10 cosCt+11.3)三計算題，以余弦函數表達運動規1.已知一個簡諧振動的振幅A = 2 cm，圓頻率3 = 4 n s律時的初相位;:=n / 2。試畫出位移和時間的關系曲線(振動曲線) 。解：圓頻率3 = 4n s，故周期T=2 n /3 = 2n /4 n =0.5s，又知初相位-:=n / 2,故 位移和時間的關系為 x = 0.02cos (4 n t + n / 2) m，振動曲線如下圖所示。fx(m)0.020.25 0.50t(s)-0.022. 一質量為0.02kg的質點作簡諧振動，其運動方程為 求

14、：(1)質點的初速度；x = 0.60 cos(5 t - n /2) m。(2)質點在正向最大位移一半處所受的力。v =竺-3.0 sin(5t)dt2nV0 - -3.0sin()=3.0 m/s2F =ma - -m，xx=A/2=0.3 m 時，F - -0.02 52 0.3 - -0.15 N。3. 一立方形木塊浮于靜水中，其浸入部分高度為a。今用手指沿豎直方向將其慢慢壓下，使其浸入水中部分的高度為b，然后放手讓其運動。試證明：若不計水對木塊的粘滯阻力，木塊的運動是簡諧振動并求出周期及振幅。證明：選如圖坐標系：，靜止時：mg = ：、gaS(1)dx2護解：(1)任意位置時的動力學

15、方程為:將代入得 gs(x-a)dx2二 m 2dt2.2.2d x d y、令y=x-a，則 2亍，上式化為：- :gSydt2dt2dy2m2dt22令灼 2= 得: 罠+時 2y=0-（3） m dt上式是簡諧振動的微分方程，它的通解為：y = Acos（t亠叫）所以木塊的運動是簡諧振動O -TT振動周期：T = =2兀cot = 0 時，x0=b , y0=b-a , v0 =0 振幅：A = _ y02Vo 2 二 b _ a-4.在一輕彈簧下懸掛 mo=ioog的物體時，彈簧伸長8cm。現在這根彈簧下端懸掛m=250g的物體，構成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動4cm，并給以向上

16、的21cm/s的初速度（令這時t=0）.選x軸向下，求振動方程解：在平衡位置為原點建立坐標，由初始條件得出特征參量。彈簧的勁度系數k = m0g /厶1。當該彈簧與物體 m構成彈簧振子，起振后將作簡諧振動，可設其振動方程為:x = Acos t 角頻率為 = k/m代入數據后求得=7 rad s以平衡位置為原點建立坐標，有：x0 =0.04 m, v0 二-0.21 ms據 A = x02 （v0 /）2 得：A 二 0.05 m據 -cos 4 -0 得 -0.64 rad,由于 v0 ： 0,應取 =0.64 rad A于是，所求方程為： x=0.05cos（7t 0.64） m據 二 c

17、os 4 匹得二 / 2 ,由于 v0 ： 0,應取 =二 / 2 A于是，其振動方程為：x2 =0.06cos（10t 二/2） m5.已知某質點作簡諧運動，振動曲線如題圖所示，試根據圖中數據，求（1）振動表達式，（2）與P點狀態對應的相位，（3）與P點狀態相應的時刻。解（1 ）設振動表達式為x = A cos （，t+ ）由題圖可見，A=0.1m ,當t = 0時，有xo =0.1cos 0.05m,這樣得到二 n。由振3動曲線可以看到，在 t = 0時刻曲線的斜率大于 零，故t =0時刻的速度大于零，由振動表達式 可得V0 = -2 sin : 0即sin ：0。所以Vm = V0,=0

18、此時小球的動能 Ek0 = m v02 / 2。經過1 / 3秒后，速度為 v = V0 c o s 2 n / ( 3T) = - vo /2。其動能2 2Ek = m v / 2 = mvo/ 8所以Ek / E0 = 1/ 4，即動能是原來的1/ 4倍。-29. 一質點作簡諧振動，其振動方程為：x = 6.0 X 10 cos ( n t / 3 - n / 4) m。(1) 當x值為多大時，系統的勢能為總能量的一半？(2) 質點從平衡位置移動到此位置所需最短時間為多少？解：(1)勢能Ep= kx2 / 2，總能量E = kA2/2。根據題意，kx2 / 2 = kA2 / 4,得到x

19、=2/、一2 =424 102m，此時系統的勢能為總能量的一半。 簡諧振動的周期 T=2 n /3 = 6 s，根據簡諧振動的旋轉矢量圖，易知從平衡位置運動到x=A/.2的最短時間t為T / 8，所以t = 6 / 8 = 0.75 skm0計算題10圖V1 m_o* x10. 如圖所示，勁度系數為 k,質量為m0的彈 簧振子靜止地放置在光滑的水平面上，一質量為m的子彈以水平速度 v1射入m0中，與之一起運動。 選m、m0開始共同運動的時刻為 t = 0，求振動的 固有角頻率、振幅和初相位。解：碰后振子的質量為 m+ m0,故角頻率丫 m0 十 m設碰撞后系統的速度為 v0碰撞過程中動量守恒，

20、故得到V0 = mvi 。系統的初m +m1 212始動能為（m m）v0，在最大位移處全部轉換為彈性勢能kA2，即振幅2 2m0 +m :m2mviA vovi ：k. k（mo m）k（m m）dx令振動方程為x = AcosC 4 ： !），則速度v = = - A sin（，t ? Q。dt當 t=0 時，A cos =x =0, v - - o Asin =v ： 0，可解出初相位211. 一個勁度系數為 k的彈簧所系物體質量為 m0，物體在光滑的水平面上作振幅為 A的簡諧振動時，一質量為m的粘土從高度h處自由下落，正好在（a）物體通過平衡位置時，（b）物體在最大位移處時，落在物體m

21、0上。分別求：（1）振動的周期有何變化？ （ 2）振幅有何變化？解：（1 ）物體的原有周期為T。=2 n m/k ,粘土附上后，振動周期變為T =2 n （m。 m） / k，顯然周期增大。不管粘土是在何時落在物體上的，這一結論都正確。V。變為v,根據動量守m0m2又設粘土附上前后物體的振幅由 有（2）設物體通過平衡位置時落下粘土，此時物體的速度從 恒定律，得到1 2 1 2 mV0kA02 21 2 1 (m0 m)v kAm0由以上三式解出2皿，mA0，物體在最大位移處時落下粘土,2 212 1212.如題圖所示，一勁度系數為 為m1的物體，放在光滑的水平面上。 的定滑輪與m1相連，求其系

22、統的振動圓頻率。kA0kA，此時振幅不變。k的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連結一質量將一質量為m2的物體跨過一質量為 m,半徑為Rm1和解 方法一：以彈簧的固有長度的端點為坐標原點，向右為正建立坐標 S。對m2應用牛頓第二定律、對 m應用剛體定軸轉動定律，得到d2STi -km1 =m1 2dt2Td2Sm2g -T2 =m2a = m2(T? -T)R 二 JJmR2:2加速度和角加速度之間具有關系d2Sa 1R R dt2解上面的方程組得(m1 m2m)筲 k(S =02 dt2k令x = S -匹，上式簡化為標準的振動方程k與x=0dt2 mi 亠 m2 亠m/2系統的振動圓頻率方法二

23、：在該系統的振動過程中，只有重力和彈簧的彈性力做功，因此該系統的機 械能守恒。12 12 1 , 2 12kS m1v Jm2v m2gS =022 2 2將.=土和J =mR2代入，得到R 21 21dS 2kS2 (m1 m2m)()兒-m2gS = 02 2dt將上式對時間求一階導數，得到(m1m2- m)佰_匹)二02 dt2k上式和解法一的結果一樣。同樣，圓頻率為+ 怕=k m1 m2m/213. 一物體同時參與兩個同方向的簡諧振動：xi= 0.04 cos (2 n t + n /2) m ; X2 = 0.03cos (2n t + n ) m。求此物體的振動方程。解：這是兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成，合成后的振動仍為同頻率的簡諧振 動。設合成運動的振動方程為：x = A cos (3 t + )則2 2 2A = A i +A2 +2 A1A2 cos( 2 1)式中2 -i = n -n / 2 = n / 2。代入上式得A = 4232 =5 cm又込A1 sin % + A2 sin 24tan =A1 cos % + A2 cos 申