1、期望與分布列高考試題精選.解答題（共20小題）1.某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖: 以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的 概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.（I ）求X的分布列；(H)若要求P (X< n)> 0.5,確

2、定n的最小值;（田）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其-，應選用哪個？5局仍未春乙獲勝 1-12 .甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為 的概率為各局比賽結果相互獨立.（I）求甲在4局以內（含4局）贏得比賽的概率;（R）記X為比賽決勝出勝負時的總局數，求 X的分布列和均值（數學期望）.3 . 一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率， 并假設每天的銷售量相互 獨立.(I )求在未來連續3天里，有連續2天的日

3、銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;(n)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E (X)及方差D (X).0.W6 0 005 0 004 0,003 0.002050 100 150 200 250日銷售里/個4 .在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如表:作物產量(kg)300500概率0.50.5作物巾610場價格1兒/kg)概率0.40.6(I)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(H)若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3

4、季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.5 .現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.(I )求張同學至少取到1道乙類題的概率；(n)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是工 答對每道乙類題的概率都是 言，且各題答對與否相互獨立.用 X表 55示張同學答對題的個數，求 X的分布列和數學期望.6 . 一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1, 2, 3, 4;白色卡片3張，編號分別為2, 3, 4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何 一張卡片的可能性相同).(I)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率.(n)

5、在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為 X,求隨機變量X的分 布列和數學期望.7 .某水產品經銷商銷售某種鮮魚，售價為每公斤20元，成本為每公斤15元.銷 售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去，未售出的全部降價處理完,平 均每公斤損失3元.根據以往的銷售情況，按50, 150), 150, 250), 250, 350), 350, 450), 450, 550進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求未來連續三天內，該經銷商有連續兩天該種鮮魚的日銷售量不低于 350 公斤,而另一天日銷售量低于 350公斤的概率；(2)在頻率分布直方圖的需求量分組中，以各組區間的中點值代表該

6、組的各個化(i)求日需求量X的分布列；(ii)該經銷商計劃每日進貨300公斤或400公斤，以每日利潤Y的數學期望值 為決策依據,他應該選擇每日進貨 300公斤還是400公斤？8 .已知一個口袋中有3個白球，2個黑球，這些球除顏色外全部相同.現將口 袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1, 2, 3, 4, 5的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜.(1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，求分布列.9 .自2016年底，共享單車日漸火爆起來，逐漸融入大家的日常生活中，某市針 對18歲到80歲之間的不同年齡段的城市市

7、民使用共享單車情況進行了抽樣調 查，結果如表所示：性別年齡性別女性合計18, 25)1804022025, 35)36024060035, 50)4010014050, 80)202040合計6004001000(1)采用分層抽樣的方式從年齡在25, 35)內的人中抽取10人，求其中男性、 女性的使用人數各為多少？(2)在(1)中選出10人中隨機抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；(3)用樣本估計總體，在全市18歲到80歲的市民中抽4人其中男性使用的人 數記為;求士的分布列.10 .某中超足球隊的后衛線上一共有 7名球員，其中3人只能打中后衛，2人只 能打邊后衛，2人既能打中后衛又能打邊后衛

8、，主教練決定選派 4名后衛上場比 賽，假設可以隨機選派球員.(1)在選派的4人中至少有2人能打邊后衛的概率；(2)在選派的4人中既能打中后衛又能打邊后衛的人數 E的分布列與期望.11 .由于霧霾日趨嚴重，政府號召市民乘公交出行.但公交車的數量太多會造成 資源的浪費，太少又難以滿足乘客需求.為此，某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中進行隨機抽樣，共抽取 10人進行調查反饋，所選乘客情況如下表所 示：組別候車時可(單位：min)人數一0, 5)1二5, 10)5二10, 15)3四15, 20)1(I )估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數；(H)現從這10人中隨機取3人，求至少有一人來

9、自第二組的概率;(m)現從這10人中隨機抽取3人進行問卷調查，設這3個人共來自X個組， 求X的分布列及數學期望.12 .數獨游戲越來越受人們喜愛，今年某地區科技館組織數獨比賽，該區甲、乙、 丙、丁四所學校的學生積極參賽，參賽學生的人數如表所示：中學甲乙丙丁人數30402010為了解參賽學生的數獨水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學的參賽 學生中抽取30名參加問卷調查.(I)問甲、乙、丙、丁四所中學各抽取多少名學生？(II)從參加問卷調查的30名學生中隨機抽取2名，求這2名學生來自同一所 中學的概率；(田)在參加問卷調查的30名學生中，從來自甲、內兩所中學的學生中隨機抽取2名，用X表示抽

10、得甲中學的學生人數，求 X的分布列.13 .某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現 1次故障，且每臺機 器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修.每臺機器出現 故障需要維修的概率為 工.3(1)問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于90% ?(2)已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人 1萬 元的工資.每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修， 就使該廠產生5萬元的 利潤，否則將不產生利潤.若該廠現有 2名工人.求該廠每月獲利的均值.14 .甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝.投籃進

11、行到有人獲勝或每人都已投球3次時結束.設甲每次投籃命中的概率為 Z,乙每次投籃命5中的概率為晟，且各次投籃互不影響.現由甲先投.(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結束時甲的投籃次數 X的分布列與期望.15 .某公司的兩個部門招聘工作人員，應聘者從丁1、丁2兩組試題中選擇一組參加測試，成績合格者可簽約.甲、乙、丙、丁四人參加應聘考試，其中甲、乙兩 人選擇使用試題Ti,且表示只要成績合格就簽約；丙、丁兩人選擇使用試題T2, 并約定：兩人成績都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.已知甲、乙考試合格 的概率都是工，丙、丁考試合格的概率都是 1,且考試是否合格互不影響.23(I)求丙、丁未簽約的概率；(I

12、I)記簽約人數為 X,求X的分布列和數學期望EX.16.在公園游園活動中有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球和2個黑球， 乙箱子里裝有1個白球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這 兩個箱子里各隨機地摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.(每次游 戲結束后將球放回原箱)(1)在一次游戲中：求摸出3個白球的概率；求獲獎的概率；(2)在兩次游戲中，記獲獎次數為 X:求X的分布列；求X的數學期望.17 . 一個箱中原來裝有大小相同的5個球，其中3個紅球，2個白球.規定：進 行一次操作是指 從箱中隨機取出一個球，如果取出的是紅球，則把它放回箱中； 如果取出的是白球，則該球不放回，

13、并另補一個紅球放到箱中. ”(1)求進行第二次操作后，箱中紅球個數為 4的概率；(2)求進行第二次操作后，箱中紅球個數的分布列和數學期望.18 .袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球，今從袋子里隨機取球.(1)若有放回地取3次，每次取一個球，求取出2個紅球1個黑球的概率；(2)若無放回地取3次，每次取一個球，若取出每只紅球得 2分，取出每只黑 球得1分.求得分己的分布列和數學期望.19 .甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝 3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結 束.除第五局甲隊獲勝的概率是 工外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是 2.假23設各局比賽結果相互獨立.(1)分別求甲隊以3: 0, 3:

14、1, 3: 2勝利的概率；(2)若比賽結果為3: 0或3: 1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果 為3: 2,則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列.20 .醫學上某種還沒有完全攻克的疾病， 治療時需要通過藥物控制其中的兩項指 標H和V.現有.三種不同配方的藥劑，根據分析，A, B, C三種藥劑能控制H指標的概率分別為0.5, 0.6, 0.75,能控制V指標的概率分別是0.6, 0.5, 0.4, 能否控制 H 指標與能否控制 V 指標之間相互沒有影響(I)求A, B, C三種藥劑中恰有一種能控制 H指標的概率；(n)某種藥劑能使兩項指標 H和V都得到控制就說該藥劑有治療效果

15、.求三種藥劑中有治療效果的藥劑種數X 的分布列期望與分布列高考試題精選參考答案與試題解析.解答題(共20小題)1.某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200元.在機器使用 期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買 幾個易損零件，為此搜集并整理了 100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.(I )求X

16、的分布列；(H)若要求P (X< n) >0.5,確定n的最小值;(田)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其-，應選用哪個？【解答】解：(I)由已知得X的可能取值為16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,P （X=16）型）2J,10025'P （X=17）100 10025 'P（X=18）=（疆）2+2 （黑）法,P （X=19）=，.一 ；x X的分布列為:X16171819202122P1254256256252 23125(n)由(I)知:(X=20)20100； 二二J J)2 100 100 25 5(X

17、=21)"一' 、:"-'I 】,，二'(X=22)=400J 25P (X< 18) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18)25后后25P (X< 19) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18)+P (X=19)=、=，25后后25 25P (X< n) >0.5中，n的最小值為19.(m)解法一：由(I)得 P (X< 19) =P (X=16) +P (X=17)+P (X=18) +P (X=19)，e再.25 后回 25 25買19個所需費用期望：EX=200X 19乂工(2

18、00X 19+500) X-L+(200X 19+500X 2) xZ+(200X 19+500252525X3) X ' =4040, £ 5買20個所需費用期望:EXF200X20X等(200X20+500) X-+ (200X20+2X500) X2=4080,252525. EX<EX買19個更合適.解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當 n=19 時，費用的期望為：19 X 200+500X 0.2+1000X 0.08+1500X 0.04=4040,當 n=20 時，費用的期望為：20X200+50

19、0X0.08+1000X0.04=4080,買19個更合適.2 .甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為1,乙獲勝3的概率為工，各局比賽結果相互獨立.3(I)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率；(R)記X為比賽決勝出勝負時的總局數，求 X的分布列和均值(數學期望).【解答】解：用A表示甲在4局以內(含4局)贏得比賽的是事件，Ak表示第k 局甲獲勝，民表示第k局乙獲勝，則 P (Ak)咚 P (B0 卷 k=1, 2, 3, 4, 533(I ) P (A) =P (A1A2) +P (B1A2A3)

20、+P (A1B2A3A4)= () 2+X (2) 23x3333lx (2)等.3381(n) X的可能取值為2, 3, 4, 5.p(x=2)=p(A1A2)+p(B1B2)q,JP (X=3) =P (B1A2A3) +P (AB2B3) 衛,%P (X=4) =P (A1B2A3A4) +P (B1A2B3B4) 表，P(X=5) =P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5) +P( B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3&民)= 得，或者 P (X=5) =1-P (X=2) - P (X=3) - P (X=4) 4，81故分布列為： 一家面包房根據以往某種面

21、包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率， 并假設每天的銷售量相互 獨立.X2345P旦§2710 前8?52108 224E (X) =2*%3*+4*詈+5*9=若.998181 81(I )求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的 日銷售量低于50個的概率；(n)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分【解答】解：(I)設Ai表示事件 日銷售量不低于100個”，A2表示事件 日銷 售量低于50個”B表示事件 在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1 天的日銷售

22、量低于50個”，因止匕 P (A1) = (0.006+0.004+0.002) X 50=0.6,P (A2) =0.003X 50=0.15,P (B) =0.6X 0.6X0.15X2=0.108,(H) X可能取的值為0, 1, 2, 3,相應的概率為：P(X=0)=C5(l-0.6)3=0. 064PQ(二 1)二C；0. 6(1-0, 6) <0 288,PC£=2)=C1O. 62(1-0.6)=0.432,p(X=3)= C?0. 6邑。. 216,隨機變量X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為 XB (3, 0.6),所以期望 E

23、 (X) =3X 0.6=1.8,方差 D (X) =3X0.6X (10.6) =0.72.4.在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和 這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如表：作物產量(kg)300500概率0.50.5作物巾610場價格1兒/kg)概率0.40.6(I)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(H)若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于 2000元的概率.【解答】解：(I)設A表示事件 作物產量為300kg”，B表示事件 作物市場價 格為6元/kg ”，WJ P (A) =0.5, P

24、(B) =0.4,;利潤二產量乂市場價格-成本，.X的所有值為：500X 10- 1000=4000, 500X6- 1000=2000,300 X 10 - 1000=2000, 300 X 6 - 1000=800,WJ P (X=4000) =P (A) P (1) = (1-0.5) X (1 0.4) =0.3,P (X=2000) =P (A) P (B) +P (A) P (1) = (1-0.5) X0.4+0.5 (1 0.4) =0.5,P (X=800) =P (A) P (B) =0.5X 0.4=0.2,則X的分布列為：X40002000800P0.30.50.2(H

25、)設G表示事件 第i季利潤不少于2000元”(i=1, 2, 3) 則C1, C2, C3相互獨立，由(I)知，P (C) =P (X=4000) +P (X=200。=0.3+0.5=0.8 (i=1, 2, 3),3季的利潤均不少于 2000 的概率為 P(C1C2C3) =P(G) P(C2) P(C3) =0.83=0.512, 3季的利潤有2季不少于2000的概率為P (3C2C3)+P (G己;C3) +P (GC2日) =3X0.82X0.2=0.384,綜上：這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為：0.512+0.384=0.896.5.現有10道題，其中6道甲類題，

26、4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.(I )求張同學至少取到1道乙類題的概率；(n)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是上，答對每道乙類題的概率都是1,且各題答對與否相互獨立.用 X表 55示張同學答對題的個數，求 X的分布列和數學期望.【解答】解：(I)設事件人=張同學至少取到1道乙類題”則二二張同學至少取到的全為甲類題P (A) =1-P (A) =1-f 二C3 6v10(II) X的所有可能取值為0, 1, 2, 3P(X=o)=。迢)°停巴)喘P(X=1)=*；P(X=2)=，9 +P(3 = : ；： = ；X的分布列為EX=

27、6; 乂亳+1X 噩+2X"+3X 送,26. 一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張，編號分別為2, 3, 4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同).(I)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率.(n)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為 X,求隨機變量X的分布列和數學期望.【解答】解：(I)設取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片為事件A,則P (A)=所以，取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為e7(II)隨機變量X的所有可能取值為1, 2, 3, 4(X=1)(X=2)si j_ 35

28、JC4 4(X=3)35 735 2(X=4)X的分布列為i49d 17EX=-二二二十353517 5x1234P135q 3527旦 77.某水產品經銷商銷售某種鮮魚，售價為每公斤20元，成本為每公斤15元.銷 售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去，未售出的全部降價處理完,平 均每公斤損失3元.根據以往的銷售情況，按50, 150), 150, 250), 250, 350), 350, 450), 450, 550進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求未來連續三天內，該經銷商有連續兩天該種鮮魚的日銷售量不低于350公斤,而另一天日銷售量低于 350公斤的概率；(2)在頻率

29、分布直方圖的需求量分組中，以各組區間的中點值代表該組的各個化(i)求日需求量X的分布列；(ii)該經銷商計劃每日進貨300公斤或400公斤，以每日利潤Y的數學期望值為決策依據,他應該選擇每日進貨 300公斤還是400公斤？【解答】解：(1)由頻率分布直方圖可知，日銷售量不低于350公斤的概率為(0.0025+0.0015) X 100=0.4,則未來連續三天內，有連續兩天的日銷售量不低于350公斤，而另一天日銷售量低于 350公斤的概率P=0.4X 0.4X (1-0.4) + (1-0.4) X 0.4X 0.4=0.192.(3 分)(2) (i) X可取 100, 200, 300, 4

30、00, 500,P (X=100) =0.0010X 10=0.1;P (X=200) =0.0020X 10=0.2;P (X=300) =0.0030X 10=0.3;P (X=400) =0.0025X 10=0.25;P (X=500) =0.0015X 10=0.15;所以X的分布列為：X100200300400500P0.10.20.30.250.15(6分)(ii)當每日進貨300公斤時，利潤Y1可取-100, 700, 1500, 此時丫1的分布列為：Y1一10070015000.10.20.7此時利潤的期望值 E (Y1) =- 100X0.1+700X0.2+1500X 0

31、.7=1180;分)當每日進貨400公斤時，利潤Y2可取-400, 400, 1200, 2000,= 1200;(10 分)因為 E (Y) <E (%),所以該經銷商應該選擇每日進貨 400公斤.(12分)8.已知一個口袋中有3個白球，2個黑球，這些球除顏色外全部相同.現將口 袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為 1, 2, 3, 4, 5的抽屜內,其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜.(1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，求分布列.【解答】解：(1)編號為2的抽屜內放的是黑球的概率為：_2X4XgX 2X

32、1 _2戶5X4X3X 2X 1 G(2)由題意得X的可能取值為p -1, -1,4 1二 2乂3乂2乂 1 _ 2 = 1=詼'=5X4X3X 2X 1 3廣元'A2X2X3X 2X1= 4 =1P(不)=5X4X3X 2X 1=5 5：”，=認4 1 5X4X3X 2X 1 20 10A 二4乂2乂3乂 <X 1 = £ =2p1可戶5X4X3X 2X 1 =20二'，- X的分布列為:X11_112345P11_321051059.自2016年底，共享單車日漸火爆起來，逐漸融入大家的日常生活中，某市針 對18歲到80歲之間的不同年齡段的城市市民使用

33、共享單車情況進行了抽樣調 查，結果如表所示：性別年齡性別女性合計18, 25)1804022025, 35)36024060035, 50)4010014050, 80)202040合計6004001000（1）采用分層抽樣的方式從年齡在25, 35）內的人中抽取10人，求其中男性、 女性的使用人數各為多少？（2）在（1）中選出10人中隨機抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用樣本估計總體，在全市18歲到80歲的市民中抽4人其中男性使用的人 數記為;求士的分布列.【解答】解：（1）因為年齡在25, 35）人中男性，女性使用人數占總體的比例分別為迦衛,儂二.600 5 600 5所以抽取

34、的10人中男性，女性人數分別為-X10=6,3乂10二4.55（2）由題意知，在（1）中選出的10人中，女性使用者人數為4,C2c 2所以4人中恰有2女性使用者的概率為一產二號.11 Ju（3）由題知，己的可能取值為0, 1, 2, 3, 4,因為用樣本估計總體，任取1人，是男性使用者的概率為 黑1000 5所以隨機變量 陰艮從二項分布，即已BS,力，5噲 & 溪.p（&=i）=c；（|y（耕嗡,?需=2）氣淖）2仔）2噬|PC & =3)=ci cf) 3(凱嗡 p 需寸(1)4 (f)。喘所以己的分布列為:01234P169621621681625625625625

35、62510.某中超足球隊的后衛線上一共有 7名球員，其中3人只能打中后衛，2人只能打邊后衛，2人既能打中后衛又能打邊后衛，主教練決定選派 4名后衛上場比賽，假設可以隨機選派球員.(1)在選派的4人中至少有2人能打邊后衛的概率;(2)在選派的4人中既能打中后衛又能打邊后衛的人數 E的分布列與期望.【解答】解：(1)設事件A表示 選派的4人中至多有1人能打邊后衛”,則 P (A)=C； 35,事件B表示 選派的4人中至少有2人能打邊后衛”, . P (B) =1 P (A) =1 4 .3135 35(2)細勺可能取值為0, 1, 2,C4<=力1曝+r3 r 152 20 _4r2r292

36、 10 2一士的分布列為:012P74_72749 8EE =1 v+2x4=7-77 711 .由于霧霾日趨嚴重，政府號召市民乘公交出行.但公交車的數量太多會造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客需求.為此，某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中進行隨機抽樣，共抽取 10人進行調查反饋，所選乘客情況如下表所示:組別候車時可(單位：min)人數一0, 5)1二5, 10)5二10, 15)3四15, 20)1(I )估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數;(H)現從這10人中隨機取3人，求至少有一人來自第二組的概率；(m)現從這10人中隨機抽取3人進行問卷調查，設這3個人共來自X個組,求X的

37、分布列及數學期望.【解答】解：(I)候車時間少于10分鐘的人數為60X (R)設 至少有一人來自第二組為事件 A"，則P (A) =1 -：十一10 10口5 _c3 一 vio)=36 (人).1112(明X的可能值為1,2, 3,p(X=1)誓喝,P (X=2)=皤+C：) X2+C看 7P (X=3)=%X 2+C1+C； 3g12 .數獨游戲越來越受人們喜愛，今年某地區科技館組織數獨比賽，該區甲、乙、丙、丁四所學校的學生積極參賽，參賽學生的人數如表所示:中學甲乙丙丁人數30402010為了解參賽學生的數獨水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學的參賽 學生中抽取30名參加

38、問卷調查.（I）問甲、乙、丙、丁四所中學各抽取多少名學生？（II）從參加問卷調查的30名學生中隨機抽取2名，求這2名學生來自同一所 中學的概率；（田）在參加問卷調查的30名學生中，從來自甲、內兩所中學的學生中隨機抽取2名，用X表示抽得甲中學的學生人數，求 X的分布列.【解答】（本小題共14分）解：（I）由題意知，四所中學報名參加數獨比賽的學生總人數為100名，抽取的樣本容量與總體個數的比值為 反，100 10所以甲、乙、丙、丁四所中學各抽取的學生人數分別為9, 12, 6, 3.乂？分）（R）設從30名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所中學 ”為事 件A,從30名學生中隨機抽取兩名學

39、生的取法共有 茂帝435種，（5分）來自同一所中學的取法共有-（7分）所以PCA）二裝福答:從30名學生中隨機抽取兩名學生來自同一所中學的概率為出（8分）（田）由（I）知，30名學生中，來自甲、內兩所中學的學生人數分別為 9, 6.依題意得，X的可能取值為0, 1, 2,但分）cl 1P（心 0）二/二/，15 1rli -p （y- ）-_匕5C2P（X=2）=-=|.（12 分）C15所以X的分布列為:X012P工181273535（14 分）13.某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現 1次故障，且每臺機 器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修.每臺機器出現

40、故障需要維修的概率為3（1）問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于90% ?（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人 1萬 元的工資.每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修， 就使該廠產生5萬元的 利潤，否則將不產生利潤.若該廠現有 2名工人.求該廠每月獲利的均值.【解答】解：（1） 一臺機器運行是否出現故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障設為事件 A,則事件A的概率為9； ,J該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復試驗，可設出現故障的機器臺數為 X,則XB（4, 9），p（x=o）=c；e）m，P（X=1）=

41、c；二普， J 0 olP（X=2）二C； 母）“0）哈,則X的分布列為:X01234P明3121|8|LJJ Isi81SL31設該廠有n名工人，則 機臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修為 XW n,則X=0, X=1, X=2,，X=n,這n+1個互斥事件的和事件，則n01234P (X< n)164872801SI81gl81至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維 修的概率不少于90%;(2)設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18, 13, 8,P(Y=18) =P (X=0) +P(X=1HP熊2)名,olP(Y=13)-P(X=3

42、)T， olP(Y=8)=P *4)金； ol則Y的分布列為：Y181381P72 乳8SIIT貝 E(Y)=導 13 然得+8乂小；olol qL q!故該廠獲利的均值為14 .甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝.投籃進行到有人獲勝或每人都已投球3次時結束.設甲每次投籃命中的概率為 名，乙每次投籃命 5中的概率為晟，且各次投籃互不影響.現由甲先投.(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結束時甲的投籃次數 X的分布列與期望.【解答】解：(1)由題意甲獲勝的概率:2 p=1231 312 62X-X-+X4-XX-K-=-.35 5 3 535 125(2)由題意知投籃結束時甲的投籃

43、次數X的可能取值為1, 2, 3,P (X=1)-2J '= =53 5'P (X=2) =1W4/x"KX=3=+ -、，-+3 2553535535353535s 5，- X的分布列為:X123P&4152525EX>IX 言+3 乂蚩嘿.15 .某公司的兩個部門招聘工作人員，應聘者從Ti、T2兩組試題中選擇一組參加測試，成績合格者可簽約.甲、乙、丙、丁四人參加應聘考試，其中甲、乙兩 人選擇使用試題Ti,且表示只要成績合格就簽約；丙、丁兩人選擇使用試題T2, 并約定：兩人成績都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.已知甲、乙考試合格 的概率都是9，丙、丁

44、考試合格的概率都是 得,且考試是否合格互不影響.(I)求丙、丁未簽約的概率；(II)記簽約人數為 X,求X的分布列和數學期望EX.【解答】解：(I)分別記事件甲、乙、丙、丁考試合格為A, B, C, D.由題意知 A, B, C, D 相互獨立,且 P(A)：P(B)4, P(C)-PCD)=4. 士.L-1記事件為、丁未簽約”為F, 由事件的獨立性和互斥性得：P (F) =1- P (CD)(3 分)= 14X母吟(4分)(II) X的所有可能取值為0, 1, 2, 3, 4.分) P(X=O)=P(AB)P(F)=-X-XT,上 上 y Ou1P(X=1)= P(RB)P(F)+P(AB)

45、P(F)=2XMXe$， Z Z y 1 o1151199 1P(X-2)=P(ABF)+P(ABCD：- X - X-4- X-X-X, xzyzxjii ? 7P（X=3）=P（ABCD）+P（ABCD）=2Xx-x-x-,b 上 J J 31i9 9 1P（X=4）=P（ABCD）yX XX- £/1o on所以，X的分布列是：X01234P551213618499（12分）X的數學期望EX=0X各+1乂冬+2><；+3><春+4X!/（13分） 3b io q y y y16.在公園游園活動中有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球和2個黑球, 乙箱子

46、里裝有1個白球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這 兩個箱子里各隨機地摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.（每次游 戲結束后將球放回原箱）（1）在一次游戲中：求摸出3個白球的概率；求獲獎的概率；（2）在兩次游戲中，記獲獎次數為 X:求X的分布列；求X的數學期望.【解答】解：（1）記 在一次游戲中摸出k個白球”為事件Ak （k=0, 1, 2, 3）.c|cl I p（&3）二告（2 分）c|c?+clcicl 1 7 p【均J+ 志二為 （5 分）（2）p（x=Q）*>4J，Pg）=c>4卷,pixmax擊端.X的分布列為X0112P9 1002150

47、49100（8分）X的數學期望E（X）=0X-77-H X魯+2X魯】.10050100 5(10 分)17. 一個箱中原來裝有大小相同的5個球，其中3個紅球，2個白球.規定：進 行一次操作是指 從箱中隨機取出一個球，如果取出的是紅球，則把它放回箱中； 如果取出的是白球，則該球不放回，并另補一個紅球放到箱中. ”(1)求進行第二次操作后，箱中紅球個數為 4的概率；(2)求進行第二次操作后，箱中紅球個數的分布列和數學期望.【解答】解：(1)設Ai表示事件 第一次操作從箱中取出的是紅球”，Bi表示事件 第一次操作從箱中取出的是白球”，A2表示事件 第二次操作從箱中取出的是紅球”，B2表示事件 第二

48、次操作從箱中取出的是白球 則A1B2表示事件 第一次操作從箱中取出的是紅球，第二次操作從箱中取出的是 白球”.由條件概率計算公式得 P (A1B2) =P (A1) P (B2IA1)二xZJL.55 25B1A2表示事件第一次操作從箱中取出的是白球，第二次操作從箱中取出的是紅 球”.由條件概率計算公式得p(B1A2)=p(B1)p(A2IB1)=|x4=-55 25A1B2+B1A2表示 進行第二次操作后，箱中紅球個數為 4"，又A1B2與B1A2是互斥事件. P (A1B2+B1A2) =P (A1B2) +P (B1A2) =2 I 2 春25 25 25(2)設進行第二次操作后，箱中紅球個數為 X,則X=3, 4, 5.14,、33 9,、P (XN) =1 乂卷展，P (X=4)=25，55 25212P(X=5 444-進行第二次操作后，箱中紅球個數 X的分布列為:進行第二次操作后，箱中紅球個數 X的數學期望914EX=:12 9325 25 ,X345P(X)925142522518 .袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球，今從袋子里隨機取球.(1)若有放回地取3次，每次取一個球，求取出2個紅球1個黑球的概率；(2)若無放回地取3次，每次