1、分類號 O153 編 號 2013010130 畢業論文 題 目模n剩余類環及其應用 學 院 數學與統計學院 專 業 數學與應用數學 姓 名 蘇安兵 班 級 09數應一班 學 號 291010130 研究類型 基礎研究 指導教師 唐保祥 副教授 提交日期 2013年5月19日 原創性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導教師的指導下獨立進行研究所取得的成果。學位論文中凡是引用他人已經發表或未經發表的成果、數據、觀點等均已明確注明出處。除文中已經注明引用的內容外，不包含任何其他個人或集體已經發表或撰寫過的科研成果。本聲明的法律責任由本人承擔。論文作者簽名： 年 月 日論文指導教師簽名： 年

2、月 日模n剩余類環及其應用 蘇安兵(天水師范學院數學與統計學院, 甘肅天水 741001)摘要: 模n剩余類環是一種比較透徹的特殊環. 本文主要從模n剩余類環的定義和性質出發, 系統論述了模n剩余類環及其相關性質, 并列舉了模n剩余類環在純代數證明和完全及簡化剩余系的性質方面的一些應用.關鍵詞: 模n剩余類環; 模n剩余類子環; 冪等元; 理想 中圖分類號: O153 Modulo n Residue Class Ring and Its ApplicationSU An-bing ( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal

3、University, Tianshui Gansu,741001,China )Abstract: Modulo n residue class ring is a kind of thorough special ring. In this thesis, mainly based on the definition of modulo n residue class ring and its primary property, the author first completely expounds it and its relative properties. Then, some a

4、pplication in the proof of pure algebraic and the simplification of the remaining coefficients is listed. Key words: Modulo n residue class ring; Modulo n residual class ring; Idempotent element; Sub-ring ideal 目 錄1引言12 基本知識12.1 模n剩余類環的基本概念12.2 模n剩余類環的基本性質23 主要結果及其證明33.1 模n剩余類環的一般性質33.2 模n剩余類子環的相關命題

5、43.3 模n剩余類加群相關性質列舉83.4 模n剩余類乘法群及其冪等元的簡單求法93.5 模n剩余類環的理想113.6 剩余類環的應用13參考文獻16 數學與統計學院2013屆畢業論文 模n剩余類環及其應用1引言 自從1910年狄德金和克隆尼克共同創立環論以來, 學者們就對各種環進行了深入系統的研究, 開辟了許多新的研究領域, 并取得了許多有意義的研究成果. 環是兩個二元運算建立在群的基礎上的一個代數系統, 因此它的許多基本概念與理論與群相似, 也是對群的相應內容的推廣. 模n剩余類環就是環中研究比較透徹的一類環, 常見于各類論著之中, 同時, 它也有很重要的應用. 2 基本知識在集合中,

6、固定(可以是任意形式), 規定中元素間的一個關系為, 則, 當且僅當. 其中, 表示能整除. 易見, 這是一個等價關系, 記這個等價關系為模的同余關系, 并用來表示. 我們知道一個等價關系決定一個分類, 所以該等價關系便決定了集合的一個分類, 我們將如此得來的分類就叫作模的剩余類.2.1 模n剩余類環的基本概念 定義2.1.1 對, 令, 任取, 規定, 為的兩個代數運算, 可知作成一個環, 是一個階有單位元的交換環, 我們稱其為以為模的剩余類環, 或簡稱模剩余類環. 顯然, 該環關于加法作成一個階循環群, 從而是階循環環. 定義2.1.2 對, 類中若有一個整數與互素, 則這個類中的所有整數

7、都同互素, 我們就說類與互素. 定義2.1.3 對, 若存在中的元素,使得, 則稱 為環的一個左零因子. 同樣可定義右零因子, 若的左零因子與右零因子相等, 稱其中任意一個為的零因子.定義2.1.4 中, 若使得, 有, 則稱元素為環的單位元, 記作.定義2.1.5 中, 若, 有, 使得, 則稱是的逆元, 與互逆.定義2.1.6 對, (對加法)有最大的階, 則稱為的特征.定義2.1.7 對于的任一非空子集, 若滿足: , ; , .則稱集合為的一個理想子環, 簡稱的理想. 定義2.1.8 設為任意一個環, 是的理想. 則對陪集的加法和乘法作成一個環, 稱該環為關于的商環. 定義2.1.9

8、的乘法群(為素數時, 中的所有非零元做成, 為合數時, 中的所有可逆元做成)中, 對于, 若滿足:, 則稱為的一個冪等元1. 定義2.1.10 對于, 若, 使得, 則稱整除, 記作,否則, 不整除.2.2 模n剩余類環的基本性質 性質2.2.1 對, 若, 則. 性質2.2.2 對, .性質2.2.3 設, .在以下內容中, 表示的正因子的個數, 為Euler函數, 表示不超過, 與互素的元素的個數. 3 主要結果及其證明 3.1 模n剩余類環的一般性質 （1）是交換環. （2）中非零元是可逆元, 且可逆元的個數為個. 證明 設是的可逆元, 則, 使得, , 即, 使得, , . 反之, 若

9、,且,則, 使, =, 故是的可逆元, 故可逆元個數為個. （3）對, 若, 則為的零因子, 且共有個零因子.證明 當時, 令, , . 易見, , 故是的零因子. 又由于中, 對于, 不是可逆元就是零因子, 故共有個零因子. （4）中,其左右零因子均為零因子. （5）是無零因子環為素數. （6）設為無零因子, 且, 則中所有非零元素(對加法)的階必相同. （7）對于,（1）是特征為的有單位元的可交換環; （2）環是域為素數; （3）若為合數, 則環有零因子, 從而不是域. （8）, 則. （9）除去零乘環外, 同構意義下, 循環環有且僅有整數環及其子環以及剩余類環及其子環. （10）設, 若

10、, , 則. （11）的循環子群可由的所有因子作為生成元生成（或可由n與其所有因子的差作為生成元生成), 且共有個.證明 設的所有因子為. 任取一個由生成的循環子群; 設; 即是的因子, 設該因子為, , 且(), 的階為, 又, , 則該循環子群可由的任一因子作為生成元生成, 可知這樣的循環子群共有個.3.2 模n剩余類子環的相關命題 命題3.2.1 環有且僅有個子環, 且是一個階循環環. 證明 由于=對加法作成循環群, 所以為階循環環; 又因為階循環群有且僅有個子群, 所以階循環環有且僅有個子環, 即有且僅有個子環. 命題3.2.2 中任意兩個不同的子環彼此不同構. 證明（1）若的兩個子環

11、不同階, 成立. （2）設為的任意階子環, 則. 而為階循環群, 故對的每個正因數, 有且僅有一個階子群, 則有且僅有一個階子環. 故的任意兩個不同子環彼此不同構. 命題3.2.3 當, 為素數時, 的階子環是含零因子無單位元的環.證明 設的階子環, 先證它是含有零因子的環. （1）當時,對, , , ,故是有零因子的環. （2）當時,取, , , 故是有零因子的環.下證是無單位元的環. 設有單位元, 則對, , 有, 即有:, , 取, 則, 由, 所以, 而不整除, 因此, 則不是整數, 故無單位元.命題3.2.4 若, 是素數, 是大于的正整數,則: (1)當時, 的階子環是域; 且;

12、(2)當時,的階子環是零環.證明 設的階子環,（1）當時, 令, 故是零環. （2）當時, 則對 只要, , 由, 即是無零因子環,又由于有限, 所以為域.設是的單位元, 則對,有, 即, 取, 得到. 因為為整數,只需選取適當的使為整數, 就可求得單位元.命題3.2.5 設, 是合數, 則的階子環是含零因子的無單位元的環.證明 是合數, 令,的階子環, 取，, 其中, , 故含有零因子. 設有單位元, 且,對, 則有, 即, ,（1) 設時, 在式中取, 若有整數解, 即方程:中有整數解, 所以上述方程有整數解, 矛盾, 所以無單位元.（2） 設, 在式中取, , 則有整數解即為整系數方程:

13、有整數解, 而有整數解. 又由于, 故不整除, 矛盾, 故無單位元.商環也是一種重要的子環, 這里我們探討一下商環在什么情況下是域或者有零因子無單位元的環.命題3.2.6 設是正整數, 是由生成的環, 則商環（是正整數, 且)是含零因子無單位元的環.證明 當時, 此時是有限零環. 事實上,對, 取, ; 當時, 取, 所以是含零因子的環. 設有單位元, 則對, 有, 即, 取, 因為,不整除1,不整除, 故不存在整數, 即無單位元.命題3.2.7 設是正整數,為素數,是由生成的環, 則商環,（1）當時是域, 且;（2）當時,是零環.證明 設,（1） 當時, 對, 取, 若, 又, 所以, 當時

14、, 亦即, 所以是無零因子的環, 則中消去率成立, 又因為有限, 所以是域. 設是的單位元, 對,有對應于、, 即可得. （2）當時, 令,對, 有,所以是零環.命題3.2.8設是正整數,且是合數,是由生成的環,則商環是含零因子無單位元的環.證明設是階環.設,取,則,所以是有零因子的環.設有單位元,則對,有，即:,所以 , 那么當時, 在式中取 , 則有,即可找到正整數,使得,有整數解的充要條件是,而,與假設矛盾,所以無單位元.3.3 模n剩余類加群相關性質列舉 定理2.1中元素是的生成元的充分必要條件是,且生成元的個數為個.證明若, 則存在整數 使, 于是便有:,所以,且 是的生成元. 反過

15、來,若是的生成元，則,而,所以,，即.故的生成元個數為個. 定理2.2有個子群. 證明只需證明對的每個正因數,有且只有一個階子群. 易知為階循環群,令, 則,設,令,則,故是的一個階子群,令,則是循環群,且,但的階為,從而,又由于,得到,且,于是,則,但, 的階均為,故=,換句話說的階子群唯一. 由上述知：剩余類加群的子群個數為. 定理2.3自同構的個數為個. 證明設為的任一自同構,并設=,則 ,由于是自同構,故,從而有,即在同構映射下生成元的象仍為生成元. 反之, 設是的兩個生成元,易知, 是的一個自同構,所以的生成元完全決定了的自同構,即有多少個生成元,它就有多少個自同構,而由定理3.1知

16、 有個生成元,故有個自同構.3.4 模n剩余類乘法群及其冪等元的簡單求法 設是一個模剩余類環,考察環中的乘法群（當為素數時,中非零元作成乘法群;當為合數時,中可逆的元作成乘法群）.由定義2.1.8知,群中的單位元是的一個冪等元, 且有, 反之,若是環的一個冪等元,則必然是的一個乘法群的單位元;例如是一元群的單位元.在一個低階的模的剩余類環,例如中,不難通過測試的方法來確定其冪等元;一般地,在模剩余類環中可如下考慮: 設是環中的一個冪等元, 那么,我們有, 則, 即和是互素且相鄰的整數;若為整數, 則有;若為合數,不妨設, 不考慮的冪等元（換句話說e既非環的零元也非單位元）,或將分別是的因子的倍

17、數;此時便可考慮取用該因子的倍數判斷是否為環的冪等元. 例2.1 設,于是在中若是取,首先我們有或, 即是中的一個冪等元;其次,由于和互素,故在上式兩端分別加上, 則可推算出, 并得到適合式的兩個相鄰整數和, 則由,又可得到中的另一個冪等元. 對于上述中的兩個冪等元和, 容易看出它們具有如下的性質:（），0(), 從而, 我們有以下命題: 命題設是一個有單位元的環,是的非零非單位元的冪等元, 則也是的冪等元, 并且具有性質:.證明事實上，由知:是的一個冪等元;又, .故得證.運用該命題, 我們可以容易地從中的一個非零非單位元冪等元求出另外一個冪等元. 例2.2 已知是的一個冪等元,則由知:也是

18、的一個冪等元. 由該命題, 我們還可以得出關于中的冪等元與元素之間另一關系如下:設, 且冪等元是或倍數,則中每一個元素均可表成中冪等元和的唯一組合:, 其中, . 例2.3 在上述中, ,冪等元;任取, 則由有: 其中, 而. 以上討論了模剩余類環中冪等元的存在和求法.那么,對于給定的一個整 數,可以是哪一個模剩余類環的冪等元呢? 若要為的冪等元,則應有:,于是對任意給定的一個整數,取定一個的因子,便可在模的最小非負剩余系中確定以為冪等元的包含于的群.為此,對,令,則:中以冪等元為單位元的乘法群;中屬于的元必須是一個關于和共同單位元的有逆元的元.為此,令:,則是一個滿足要求的,由的可逆元作成的

19、,包含冪等元的乘法群. 例2.4 設=25，則是的一個因子,不妨設=,則有，而又由式得 ,不難判斷中關于單位元的可逆元為,因此為所求中包含冪等元的乘法群.至此,上面我們對模剩余類環及其乘法群的進行了一些討論,闡述了群與環的部分關系;由群的單位元導出了其冪等元,并且給出了如何在中去確定其冪等元;反之,對于給定的任一整數,也可以確定以其為冪等元的環及其所構成的乘法群.3.5 模n剩余類環的理想 定理3.5.1模剩余類環的所有理想都是主理想. 證明對循環子群(對加法), ,根據理想的定義,有: （1）; （2）. 同理：; 所以作為一個理想,顯然是主理想. 由定理及上敘定理的證明過程可以看出:循環子

20、群(對加法)加上乘法是模剩余類環的主理想. 定理3.5.2模剩余類環的子加群,子環,理想是一致的. 定理3.5.3設是模剩余類環,則: （1）是素數,是域,則只有零理想和單位理想; （2）是域充分必要條件是()是的極大理想. 證明(1)顯然成立. （2）由上述定理知是域的充分必要條件是為素數. 因此只需要證明是的極大理想的充分必要條件是為素數.由于是有單位元的交換環,設主理想,若為極大理想,如果不是素數,則必有,于是,但, 則是的真包含的理想.由為極大理想知.但, 矛盾,所以是素數.反之,設是素數,是的理想,且,則存在. 因為是素數, 所以與互素,則存在,使,由可知.因為, 所以是極大理想.3

21、.6 剩余類環的應用 在此我們主要給出剩余類環對Euler函數關系式, Eisenstein判別法, 整系數多項式無整數根,Euler定理及Fermat小定理等數論的古典結果給出純代數的證明.并從代數的角度觀察熟知完全及簡化剩余系的一些性質. 例2.5 (Euler函數關系式)為Euler函數,當時,.證明當時, 而,所以.注:為方便起見下面出現的函數,都是函數.例2.6 (Eisenstein判別法)設是一個整系數多項式,如果有一個素數,使得滿足條件: 不整除; |(); 不整除.那么在中不可約.證明首先,令,其中表示的模剩余類.假設在中可約,令, 其中,.于是,而另一方面.因為|(),不整除,故, 令, 即的常數項,的常數項,那么|, 且|,則|, 這與不整除矛盾,故不可約.例2.7 (整系數多項式無整數根)設是整系數多項式,且和都是奇數,則無整數根.證明令,其中表示的模剩余類,假設有一整數根,而或,若, 則有,故有|矛盾.若,則有, 故|, 矛盾.故假設不成立,即無整數根.例2.8 (Euler定理)設是大于的整數, 則.證明因為,但單位群的階為,所以,即, 所以).例2.9 (Fermat小定理)若是素數,則.證明若,由Euler定理及得,所以,若,則,故.下面從代數的角度來觀察