1、第一章 晶體結構1. 氯化鈉與金剛石型結構是復式格子還是布拉維格子， 各自的基元為何寫出這兩種結構的原胞 與晶胞基矢，設晶格常數為 a。解：氯化鈉與金剛石型結構都是復式格子。氯化鈉的基元為一個Na+和一個 Cl 組成的正負離子對。金剛石的基元是一個面心立方上的原子和一個體對角線上的原子組成的原子對。由于 NaCl 和金剛石都由面心立方結構套構而成，所以，其元胞基矢都為： 相應的晶胞基矢都為：2. 六角密集結構可取四個原胞基矢a1,a2,a3與a4,如圖所示。試寫出 OA1A3、 A1A3B3B1、A2B2 B5 A5 、 A1 A2 A3 A4 A5 A6這四個晶面所屬晶面族的晶面指數hkl

2、m11 ，。所以，其晶面2所以，其晶1， ， 。所以，其晶，。所以，解： (1)對于 O A1A3面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：， 指數為 1121 。(2) 對于 A1A3B3B1面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：，面指數為 1120(3) 對于 A2B2B5A5 面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：， 面指數為 1100 。(4) 對于 A1A2A3A4 A5 A6面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：其晶面指數為 00013. 如將等體積的硬球堆成下列結構，求證球體可能占據的最大體積與總體積的比為：簡立方： ；體心立方： 3 ；面心立方：22 ；六角密集：2 ；金剛石：368661

3、6證明： 由于晶格常數為a，所以：(1)構成簡立方時，最大球半徑為 Rma，每個原胞中占有一2個原子，4Rm 3a ，每個晶胞中占有4Rm 2a ，每個晶胞占有(2) 構成體心立方時，體對角線等于倍的最大球半徑，即： 兩個原子，(3) 構成面心立方時，面對角線等于倍的最大球半徑，即：個原子，(4) 構成六角密集結構時，中間層的三個原子與底面中心的那個原子恰構成一個正四面體， 其高則正好是其原胞基矢 c的長度的一半， 由幾何知識易知 c 4 6 Rm 。原胞底面邊長為 2Rm 3每個晶胞占有兩個原子，4 3 8 32Vm 2 34 Rm3 83 Rm3 ，原胞的體積為： VRm 8 2Rm32o

4、2Rm 2 sin 60o1(5)構成金剛石結構時，的體對角線長度等于兩個最大球半徑，即：42Rm3 a，每個4晶胞包含 8 個原子，4. 金剛石結構原子間的鍵間角與立方體的體對角線間的夾角相同， 一夾角為 109o28 。證明： 如圖所示，沿晶胞基矢的方向建立坐標系，并設晶格常數 uuuv uuvu選擇體對角線 AB 和CD ，用坐標表示為 1,1, 1和 1,1,1 所以 ,其夾角的余弦為：5. 試求面心立方結構 (110) 和 (111) 晶面族的原子數面密度，設晶格 a。解：如圖所示，面 ABCD即(110)面，面 CDE即為 (111)面試用矢量分析的方法證明這設該面心立方的晶格常數

5、為常數為為。a，則在(110)面內選取只包含一個原子的面 AFGD，其ag 2 a2 a 2 ，所以其原子數面密度為：22在 (111)面內選取只包含一個原子的面 DHIG，其面積2 2 3 2( a) sin a ，2 3 4 所以其原子數面密度為：6. 若在面心立方結構的立方體心位置上也有一原 確定此結構的原胞，每個原胞內包含幾個原子，設立方邊長為 解：這種體心立方結構中有五種不同的原子。頂角、體心上的原子是兩種不同的原子，另外， 心上的原子前后、上下、左右的原子兩兩一組，是互不相同的原子。故此種結構共有五種不同的 原子，整個面心立方就是一個原胞。每個原胞中的原子數為：面積為子，試a。11

6、8 1 3 25 (個)827. 底心立方(立方頂角與上、下底心處有原子) 、側心立方(立方頂角與四個側面的中心處有 原子)與邊心立方(立方頂角與十二條棱的中點有原子)各屬何種布拉維格子每個原胞包含 幾個原子解：這三種結構都屬于簡立方結構，原胞包含的原子數分別為：底心立方： 1 8 1811側心立方： 1 8 1 4 38211邊心立方： 8 12 4 84第二章1. 由實驗測得 NaCl晶體的密度為 cm3 , 它的彈性模量為 1010 N/m2 ，試求 NaCl晶體的每對離子內聚能 Uc N解：。(已知馬德隆常數 M=, Na和 Cl的原子量分別為 23和)NaCl 晶體中 Na+和 Cl

7、-的最近距離為 r0晶胞基矢長為 2r0 ， 一個晶胞中含有四對正負離子對一個原胞(一個 NaCl 分子)的體積為：2r03(23 35.45) 102.16 6.02 1023NaCl晶體中的正負離子的平衡間距為：由晶體體積彈性模量的公式：(n 1)Me2Bm436 0 r0并且由于 NaCl 晶體為面心立方結構，參數=2，故由上式可得：12 9 42.41 101036 3.14 8.85 1012 2 (0.282 10 9)41.7476 (1.6 10 19 )2NMe2 (1由平衡時離子晶體的內聚能公式：Uc將 n=代入得 NaCl 晶體的每對離子的內聚能為：19 21.7476

8、(1.6 10 19)21= 12 19 (1 )= 4 3.14 8.85 10 12 0.282 10 19 7.822. LiF晶體具有 NaCl結構，已由實驗測得正負離子間的最近距離r0=(1 摩爾的內聚能 U c mol, 以孤立離子系統的內能為能量的零點 )。試 計算該晶體的體積彈性 模量 Bm，并與它的實驗植10 26.71 1010N / m2進行比較。NMe21解： 由平衡時離子晶體的內聚能公式： Uc (1 ) ，其中 M=4 0r0n計算 1mol 的內聚能時， N=Na=1023 ，且 r0 =，計算得：n=(14 0r0Uc 12c)NMe2=14 3.14 8.85

9、 10 19 0.2014 10 9 ( 1012.8 103)6.02 1023 1.748 (1.6 10 19 )2LiF 晶體具有 NaCl結構，將(n=2，n =, r0 =代入上式得：晶體的彈性模量為1)Me = 101 0 (N/m 2)相對誤差為：7.2462.716.71 100% 7.9%Bm436 0 r03. 由氣體分子的實驗測得惰性氣體 Xe 的倫納德瓊斯勢參數 0.02eV,0.398nm 在低溫下Xe 元素形成面心立方的晶體， 試求 Xe晶體的晶格常數 a,每個原子的內聚能 UNc 及體積彈性模量 Bm。的晶格常數 a 將變為多少并求這時的內聚能若對 Xe晶體施加

10、壓力 P 6 108N / m2。試在近似假定體積彈性模量不變的情況下，計算這些晶體 Uc 將變為多少N解： 原子間的平衡間距為 ： r0 1.091.09 0.398nm 0.434nm因結構為立方晶體，則晶格常數為：a 2r0 0.614nm每個原子的內聚能為： U c8.6N體積彈性模量： Bm 75 3 758.6 0.02 0.172eV0.02 (0.398 10 9) 3 1.610 19=109 N/m2P 由體積彈性模量的定義式可知： Bm V( P)TVTP Bm dV Bmln VV0因為： V Nr3故P3Bmln rr0晶格常數a 2r 0.583nm內聚能Uc(r)

11、A628.6 Bm?N2A128.6 752A12/r1.09/0.149第三章1.一維單原子晶格， 在簡諧近似下， 考慮每一原子與其余所有原子都有作用， 求格波的色散關系。 解： 設第 n 個原子的勢能函數為其中， m為與第 n個原子的相距 ma的原子間的恢復力常數， a 為晶格常數。則，第 n 個原子的受力為其中，利用了第 n 個原子的運動方程為令其試解為代入運動方程得故，2. 聚乙烯鏈 L CH CH CH CH L 的伸張振動，可以采用一維雙原子鏈模型來描述， 原胞兩原子質量均為 M ，但每個原子與左右的力常數分別為1和 2 ，原子鏈的周期為 a證明振動頻率為解： 單鍵及雙鍵的長分別為

12、 b1和b2，而原子 (n,1)與 (n, 2)的運動方程分別為令這兩個方程的試解為把試解代入運動方程得 有非零解的條件為解得利用 b1 b2 a ，方程的解為晶體中的衍射1. 試證明面心立方與體心立方互為正倒格子 方法 1：面心立方：a2 a2(k i)a3a(i j)2由正格子和倒格子的轉換關系uur uur2(a2 a3)/uur ur2(a3 a1)/ur uur2(a1 a2)/ur uur uur其中：a1?(a2 a3) 得：ur2rrrb1( i j k)auur2r r rb2(i j k)aur2rrrb3(i j k)a1 a2(j k)在體心立方中a1)2)ura1a(

13、 ri2( ir jrk)uurarrra2a2(rijk)urarrr由（ 2）式可得b3a2(ijk)ur2rrb12a ( rjk)uur2rra22a ( ki)uur2rra32a (ij)比較（ 1）與（ 5），（ 3）與（ 4）便可得面心立方與體心立方互為正，倒格子。方法 2： 由方法一中的（ 1）可知正格子與倒格子之間存在如下關系：4）5）urb12ar(ir jrk)uur2rrrb2a(ijk)ur2rrrb3a(ijk)ur b12ar(jr k)uura22ar(kr i)uura32 ar(ir j)由此可得面心立方的倒格子基矢：同理可得體心立方的倒格子基矢：比較可得

14、面心立方和體心立方互為正倒格子。2.解：a,b,c 為簡單正交格子的基矢，試證明晶面族（ h k l）的晶 面間距為 ur ck,a ai,b bj,ca?(b c) abc3.由 p19(2.2.7) 知可得：再由d hklp22 中uurk h 和 dhkl 的關系：uurkh 2 /dhkl 可得：2kh( ah)2 ( kb)(cl)2設一二維格子的基矢 a1 0.125nm , a2 0.250nmh 2 k 2 l 2( ah )( kb )( cl ) 得證。ur uura1與a2 夾角 a=120o ，試畫出第一與第二布其中，此函數為偶函數，只考慮0 的情況，下式右邊乘 2 。

15、d 區間振動模式數目為其中， gradd dqcosqa2122故色散關系為 其中， l 為單鏈總長，a 為晶格常數，因此，N 為原子個數。2 若格波沒有色散，既只有一個 E （愛因斯坦模型） 。而且振動模式密度函g 數滿足下面ur uur里淵區。二維倒格子基矢 b1,b2 與正格子基矢間有如下關系： 解：ur ur ruurr r令 a1a,則a1aia2ai3aj中間矩形為第一布里淵區，陰影部分為第二布里淵區。晶格振動和晶體的熱學性質1， 求一維單原子鏈的振動模式密度 g ，若格波的色散可以忽略，其 g 具有什么形式， 比較這兩者的 g 曲線。解 : 1 一維單原子鏈的晶格振動的色散關系為

16、sin qa2關系故， g 為 函數1 2 色散關系的曲線圖如下：4. 金剛石（碳原子量為2 m12）的楊氏模量為 1012 N22)-1/2/m，密度 3.5gcm試估算它的德拜溫度 D ? 解： 德拜溫度為將 D6V2N13VsY ，代入上式5. 試用德拜模型求晶體中各聲頻支格波的零點振動能解：在德拜模型中， 縱波與橫波的最大振動頻率均為6 2NV13Vs，其中13 Vl123 3 。3 V 3一維情形由電子的 Schrdinger 方程：得自由電子波函數解：dz2 L dk L dk2L 2m dE22 且有： E h k2m由周期性邊界條件：(xL) (x) 得：在k2mE /h 到

17、kdk 區間：那么：dZ Lg1(E)dE ，其中： g1(E) 22mh E二維情形同上，由電子的 Schrdinger方程：得自由電子波函數解：(r)1 ik r 2S eikr ，S L2且： E(k) h2mk2m2hm (kx2 ky2)2mx22x縱波的零點振動能為 同理，兩支橫波的零點振動能均為 故，總的零點振動能為7. Na和Cl的原子量分別為 23和37。氯化鈉立方晶胞邊長為 0.56nm ，在 100 方向可以看作是一組平行的離子鏈。離子間距 d 0.28nm 。 NaCl 晶體的楊氏模量為 5 1010N m 2，如 果全放射的光頻率與 q 0 的光頻模頻率相等，求對應的光波波長(實驗值為 61 m)。解： 在一維雙原子鏈模型中， q 0時，光頻模頻率為楊氏模量為故，光波波長為金屬電子論1. 導出一維和二維自由電子氣的能態密度。 解：由周期性邊界條件：ky2Lnydk 區間：2 得： kx L nx ，在 k 2mE /h 到 k那么： dZ Sg2(E)dE其中： g2(E) h2. He3是費米子， 液體 He3在絕對零度附近的密度為 gcm3。計算它的費米能 EF和費米溫度 TF。 解： He3的數密度：其中 m 是單個 He3 粒子