1、數學選修2-2與數及其應用(一)第I卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中， 只有一項是最符合題目要求的.)1、若函數 y f(x)在區間(a,b)內可導，且xo (a,b)則11"上史一h)卜f(X0-h) 的值為()A. f(Xo)B.2 f (Xo)C. 2f (Xo)D.02、一個物體的運動方程為 秒末的瞬時速度是()s 1 t t2其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒3、曲線y x3 4x在點(1, 3)處的切線傾斜角為()A.-B.C.D.一42464、曲線f

2、(x)= x3+ x- 2在p0處的切線平行于直線y = 4x- 1,則p0點的坐標為()A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1, 4) D.(1,0)和(1, 4)5、若 f(x) sin cosx ,則 f ()等于()A. cosB.sinC.sin cos6、若曲線y x4的一條切線l與直線x 4yA. 4x y 3 0 B.x 4y 5 0 C.4xD.2sin8 0垂直，則l的方程為(y 3 0 D.x 4y 37、對正整數n,設曲線yxn(1 x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an,則數列-an-n 1A. 2n的前n項和的公式是()B.2n 2C.2n 1D.2n

3、 1 28、已知f(x)3 c 2ax 9x6x 7,若 f (1)4，則a的值等于(19A.1316B.310C. 313D. 39、二次函數yf(x)的圖象過原點，且它的導函數yf (x)的圖象過第一、二、三象限的一條直線，則函數y f(x)的圖象的頂點所在象限是()A.第一B.第二C第三D.第四110、已知函數y f(x)的圖象在點M(1,f(1)處的切線萬程是y x+2則f(1) f(1)的2值等于()A.1 B.5C.3D.0211、下列式子不.正確的是()2A. 3x xcosx 6x cosx xsin xC. sin 2x2cos2 xsin x D.xcosx sin x2x

4、12、設a R，函數f (x) ex a e x的導函數是f (x)，且f (x)是奇函數.若曲線 3 y f(x)的一條切線的斜率是 一,則切點的橫坐標為2ln 2D. ln 2A.ln2B. ln 2C.2第II卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題,每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上.) 13、已知函數f(x) x2 x的圖象上的一點 A( 1, 2)及臨近一點B( 1 x, 2 y)則,. x.3214、曲線y x 2x 4x 2在點(1,一3)處的切線萬程是 315、在平面直角坐標系 xoy中，點P在曲線C:y x 10x 3上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處

5、的切線的斜率為 2,則點P的坐標為.xf (x) f(x)16、已知函數f(x)是定義在 R上的奇函數，f(1) 0,-J 0 (x 0),則不 x等式f (x) 0的解集是.三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及 演算步驟.)17、(12 分)已知函數f(x) ax2 2ln(2 x)(a R),設曲線y f (x)在點(1, f (1)處的切線為221l,若l與圓C:x2 y2 一相切，求a的值.418、(12 分)，且f(x) f(x)為奇函數.設函數 f(x) cos(. 3x )(0求的值；(2)求 f (x) f '(x)的最值.19、(

6、12 分)2已知 a R，函數 f (x) x (x a),若 f (1) 1.(1)求a的值并求曲線y f (x)在點(1,f (1)處的切線方程y g(x)；(2)設h(x) f (x) g(x)，求h(x)在0,1上的最大值與最小值.20、(12 分)設函數f (x) ax3 bx c (a 0)為奇函數，其圖象在點(1,f (1)處的切線與直線x 18y 7 0垂直,導函數f'(x)的最小值為12.求a , b, c的值；f (x)一 一(2)設g(x)V，當x 0時，求g(x)的最小值.x21、(12 分)b設函數f(x) ax 9,曲線y f(x)在點(2, f (2)處的

7、切線萬程為7x 4y 12 0 . x求f (x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x 0和直線y x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.22、(14 分)2 1 2n前n項和Sn2n 1 2sin x已知關于x的萬程 k(k (0,1)在(3 ,0) U (0,3 )內有且僅有4個根從小到 x大依次為x1, x2, x3, x4.(1)求證：x4tan x4 ；(2)是否存在常數k,使得x2,x3,x4成等差數列？若存在求出k的值,否則說明理由參考答案1.B limf(x0 h) f(xo h) lim 2f(xo h)f(xo h)h 0hh 02h2lim f(

8、xo h) f(xo h) 2f (x。). h 02h2 .C s(t) 2t 1,s(3) 2 3 1 5. c 233 .A y 3x 4,k y |x 1 1,tan 1,-.48.B Q f (x)一 2 一 一，-3ax 18x 6,由 f (1) 4,得3a 18 6 4,即 a16§9 .C 設 f (x)2ax bx, f (x) 2axb,Q f (x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線故 2a 0,bb。，又 f(x) a x 2ab2 口i b b2，即項點 ,4a2a 4a在第三象限110 .C由已知切點在切線上，所以f(1)=-225，切點處的導數為切線

9、斜率，所以2以 f (1) f (1)= 3sin xxcosx sin x11.D 2xx12.A f '(x)e* x ae x, f (x)是奇函數f '(0) 1a 0,/. a1,有 f'(x)377設切點為(x0,y0),則 f'(x0) ex0 ex0,得 ex02 或 ex0213.3 x Q 2 y ( 1 x)2 ( 1 x)2-.一( 1 x) ( 1 x) 2 3 xxx1 人，.一(舍去),，x0ln 2.214. 5x y 2 0易判斷點(1,-3)在曲線y32x 2x 4x 2上，故切線的斜率3x2 4x 4 35,.切線方程為y

10、35 x 1，即 5x y 2 017.解:依題意有:f(1) a, f (x)2ax 2 (x 2), x 215.( 2,15) y3x2 10 2 x 2,又點P在第二象限內，二. x 2,得點P的坐標為15 ,15)f (x) 一 一，修 ，八，16 .( 1,0) (1,)可彳#f'(x) -,由導數的定義得，當0 x 1時， xf(x) f (1) f (x)r l的方程為2(a 1)x y 2 a 0l與圓相切， |2 a| 片知曲線在點P(x°, y°)處的切線方程為a 11,4(a 1)2 1281- a的值為. 818.解:(1) f(x) f

11、'(x) cos(V3x) v/3sin(T3x_ 七52sin(、,3x 差),又0,f(x) f'(x)是奇函數，6(2)由(1)得 f(x)f '(x)2sin( T3x) 2sin 3x.f(x) f'(x)的最大值為2,最小值為 2.219、解：(l)f(x) 3x 2ax,由 f(1) 1得3 2a 1,所以 a 1 ;當 a 1 時，f (x)x3 x1 x, f (1) 0,又 f (1) 1,所以曲線yf (x)在(1,f(1)處的切線方程為y0 1 (x 1),即 g(x) x 1;21 2 13(2)由得 h(x) 3x2 x 1 3(x

12、6)2 113又 h(0)1 ,h(1) 1,h(1),612,.一 . 一 ,13h(x)在0,1上有最大值1,有最小值 .12ax3 bx c,3.20 .解:(1) ; f(x)為奇函數，f ( x)f(x)，即 ax bx cc 0,又f'(x) 3ax2 b 的最小值為 12,，b 12;1_又直線x 18y 7 0的斜率為 一，因此，f'(1) 3a b 18,，a 2,18，a 2,b 12,c 0 為所求.(2)由得 f(x) 2x3 12x,當 x 0時，g(x) f1x) 2(x 6) 2 2./x - 476, xx xg(x)的最小值為4的.21 .解:

13、(1)方程 7x 4y 12 0可化為 y 7x 3.4,1b當 x 2時，y -.又 f (x) a 2,2x_ b 12a1于是 22解得9> f (x) x -.b 7 b 3xa _(2)設P(Xo, yO)為曲線上任一點，由y44y v。 13 32 (x Xo)，即 yXoXoXo，3 ，、12 (x xo) .Xo“-66令X o得y,從而得切線與直線X o的交點坐標為 0,.XoXo令y X得y x 2Xo，從而得切線與直線 y x的交點坐標為(2%,2Xo).所以點P(Xo,yo)處的切線與直線x o,y x所圍成的三角形面積為 - -|2xo 6.2 x 1故曲線yf

14、 (x)上任一點處的切線與直線x o,yx所圍成的三角形的面積為定值此定值為6.22.解：(1)由原方程得sin x kx(x o),設函數f(x) sin x , g(x) kx (x o),它們的圖象yO2 3如圖所示： 方程得 sin x kx(x o)在(3 ,o)U(o,3 )內有且僅有4個根，x4必是函數g (x) kx與f(x) sin x在(2 ,一)內相切時切點的橫坐標，即切點為(X4,sin X4), g(x) kx是f(x) sin x的切線.由 f'(x) cosx ,.,. k cosx4,又sin x4kx4，于是 x4 tan x4.(2)由題設知X2X3

15、，又X2 , X3, X4成等差數列，得 2X3 X2X4 ,. X3- X4.3由 sin x3由題設x4/口 11 口kx3,得 sinM 5kX4,即 sinx4(2，),*(彳+)，233 613sin - x4.X4 .sin 一3(2,.x4,33、.3、r .,33:3、. 一，有 3sin一 (一，)，即 sin x4 (,)，與 sin x41 矛盾!32222故不存在常數k使彳導x2, x3, x4成等差數列224.D 設切點為 P0(a,b), f (x) 3x 1,k f (a) 3a 1 4,a1,把 a 1,代入到f(x)= x2 3+ x- 2得b 4;把a 1 ,代入到f(x)= x3+x- 2得b 0,所以 爾1,0)和(1, 4).5.B f (x) sin x, f ( ) sin .6.A與直線x 4y 8 0垂直的直線l為4x y m 0 ,即y x4