1、2020-2021備戰中考數學專題初中數學 旋轉綜合檢測試卷含答案一、旋轉1. (1)如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點O,過點O作直線EF，BD,交 AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分/ABD. 求證：四邊形 BFDE是菱形；直接寫出/ EBF的度數；(2)把(1)中菱形BFDE進行分離研究，如圖 ，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD, H為GD的中點，連接 FH并延長，交ED于點J,連接IJ IH、IF、IG.試探究線段 IH與FH之間滿足的關系，并說明理由；(3)把中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖 ，當矩形ABCD滿足AB=AD時

2、，點E是對角 線AC上一點，連接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形， DF交AC于點G.請直接寫 出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數量關系.【答案】(1)詳見解析；60。. (2) IH= J3fH； (3) EG2=AG2+C左【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四邊形 EBFD是平行四邊形， 再證明EB= ED即可. 先證明/ABD= 2/ADB,推出/ ADB= 30°,延長即可解決問題.(2) IH= J3FH.只要證明JF是等邊三角形即可.(3)結論：EG2=AG2+cE?.如圖3中，將4ADG繞點D逆時針旋轉90。

3、得到ADCM,先證 明DE84DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOO£ BOF.,.DOEABOF7,EO= OF, 1.OB=OD, 四邊形EBFD是平行四邊形，EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四邊形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °,，/ADB=30； /ABD=

4、60 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 °.(2)結論：ih=J3fh.理由：如圖2中，延長BE至1J M,使得EM=EJ,連接MJ.V1. 四邊形EBFD是菱形，/ B= 60 °,-.EB=BF= ED, DE/ BF,/ JDH= / FGH, 在 DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GH , JDH= FGH .DH乒GHF, .DJ=FG, JHF,.EJ= BG= EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等邊三角形，.-.MJ=EM=NI, ZM = ZB=60 &

5、#176;在 BIF和AMJI中，BI=MJB= M ,BF=IM2 .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH± JF3 / BF+Z BIF= 120 :4 / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ； JIF是等邊三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°,/ FIH= 30 °, IH= 73 FH.(3)結論：EG2=AG2+C邑理由：如圖3中，將4ADG繞點D逆時針旋轉90°得到ADCM, / FA。/ DEF= 90 °, .AFED四點

6、共圓，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ； / ADF+Z EDC= 45 °, / ADF= / CDM, / CDM+Z CDE= 45 = / EDG, 在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDM , DG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 ° EC2+CM2= EM2, . EG= EM, AG=CM, .GE2=AG2+C邑【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質、正方形的性質、菱形的判定和性質，等邊三角形的判定 和性質，勾股定理等知識，

7、解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，學會轉 化的思想思'考問題.2.已知正方形ABCD的邊長為4, 一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別 與BC DC的延長線交于點 E、F,連接EF,設CE= a, CF b.(1)如圖1,當a=4j2時，求b的值；(2)當a=4時，在圖2中畫出相應的圖形并求出 b的值;(3)如圖3,請直接寫出/EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式.圖1圖2圖3【答案】(1) 4V2； (2) b=8; (3) ab=32.試題分析：(1)由正方形ABCD的邊長為4,可得AC= 472 , Z ACB= 45 °.再

8、CE= a = 4后，可得/ CAE= / AEC,從而可得/ CAF的度數，既而可得 b=AC；(2)通過證明ACD4ECA即可得；(3)通過證明 ACDECA,即可得.試題解析：(1)二正方形ABCD的邊長為4, .-.AC= 472 , Z ACB= 45 °. CE= a = 472，Z CAE= Z AEC= 45-= 22.5 °, . . / CAF= / EAF-/ CAE= 22.5 °,2/ AFC= / ACD- / CAF= 22.5，CAF= / AFQb=AC= CF= 472 ；(2) ./FAE= 45°, ZACB= 4

9、5°,/ FAJ / CAE= 45°, Z CAE+ Z AEC= 45°,/ FAC=/ AEC又 / ACF= / ECA= 135°,AACFAECAACECCF . 4.2CA '4CF4.2CF=8,即 b=8.(3) ab=32.提示：由(2)知可證ACQECAACEC_b_4> 2.ab=32.3.如圖所示，(1)正方形ABCD及等腰RtAEF有公共頂點 A, / EAF=90；連接BE、DF,將RtAEF繞點A旋轉，在旋轉過程中，BE、DF具有怎樣的數量關系和位置關系？結合圖(1)給予證明；(2)將(1)中的正方形 ABC

10、D變為矩形 ABCD,等腰RtAEF變為RtAEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他條彳不變.(1)中的結論是否發生變化？結合圖(2)說明理由；(3)將(2)中的矩形 ABCD變為平行四邊形 ABCD,將RtA AEF變為AAEF,且/BAD=/ EAF=q其他條彳不變.(2)中的結論是否發生變化？結合圖 (3),如果不變，直接 寫出結論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數量關系，用 a表示出直線BE、DF形成的銳角3.圖1圖2圖3【答案】(1) DF=BE且DFLBE,證明見解析；(2)數量關系改變，位置關系不變，即DF=kBE, DF± BE; (3)不改變.DF=kB

11、E, 3=18。“【解析】【分析】(1)根據旋轉的過程中線段的長度不變，得到AF= AE,又/ BAE與/ DAF都與/ BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE與DF相等，延長 DF交BE于G, 根據全等三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于360°求出/ EGF= 90°,所以DF± BE;(2)等同(1)的方法，因為矩形的鄰邊不相等，但根據題意，可以得到對應邊成比例，所以FAgEAB,所以DF=kBE,同理，根據相似三角形的對應角相等和四邊形的內角 和等于360°求出/EHF= 90°,所以DF, BE；(3)與(

12、2)的證明方法相同，但根據相似三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于360 °求出/£人5+/ EHF= 180 °,所以 DF 與 BE 的夾角 3= 180 -【詳解】(1) DF與BE互相垂直且相等.證明：延長 DF分別交AR BE于點P、GEc在正方形ABCD和等腰直角4AEF中AD= AB, AF= AE,/ BAD= / EAF= 90 °/ FAD= / EAB2 .FADAEABZ AFD= Z AEB, DF= BE3 / AFD+Z AFG= 180 :4 / AEG+Z AFG= 180 ；5 Z EAF 90 ；Z EGR= 18

13、0 - 90 = 90 ,DFXBEDF= kBE, DF± BE殷竺AB AE Z BAD= Z EAF=a Z FAA Z EAB FAD A EABDF AF , kBE AE.DF= kBE.FADAEAB, Z AFA Z AEB,Z AFD+Z AFH= 180 ；Z AEH+ZAFH=180 ； Z EAR= 90 °,Z EH曰 180 - 90 = 90 ；DFXBE(3)不改變.DF=kBE, 3=180 - a.延長DF交EB的延長線于點 H,. AD=kAB, AF= kAEAD k AF5ABAE(2)數量關系改變，位置關系不變.AD AFAB A

14、E6 / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB7 .FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE由 FAD EAB得 / AFD= / AEB / AFD+/ AFH= 180 ° / AEB+Z AFH= 180 ° 四邊形AEHF的內角和為360 ； / EAF+Z EHF= 180 ° / EAF= a, / EHF= 3 -a+ 3= 180 :3= 180 - a【點睛】本題（1）中主要利用三角形全等的判定和性質以及正方形的性質進行證明；（2） （3）利用相似三角形的判定和性質證明，要解決本題，證明三角形全等和三角相似是解題的

15、關鍵，也是難點所在.4 .在RABC中，AB=BC=5, / B=90°,將一塊等腰直角三角板白直角頂點放在斜邊AC的中點。處，將三角板繞點 O旋轉，三角板的兩直角邊分別交 AB, BC或其延長線于E, F兩 點，如圖與是旋轉三角板所得圖形的兩種情況.（1）三角板繞點 O旋轉，OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出OFC是等腰直角三角形時 BF的長）；若不能，請說明理由；（2）三角板繞點 O旋轉，線段OE和OF之間有什么數量關系？用圖 或 加以證明；（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊上的點P處（如圖），當AP:AC=1:4時，PE和PF有怎樣的數量關系？證明你發現

16、的結論.圖圖圖®【答案】（1） OFC是能成為等腰直角三角形，（2） OE=OF （3） PE PF=1: 3.【解析】【小題1】由題意可知， 當F為BC的中點時，由AB=BC=5,可以推出CF和OF的長度，即可推出BF的長度，當B與F重合時，根據直角三角形的相關性質，即可推出OF的長度，即可推出 BF的長度；【小題2】連接OB,由已知條件推出 OEg4OFC,即可推出OE=O【小題3】過點P做PMAB, PN± BC,結合圖形推出 PNF PME, AAPMAPNC, 繼而推出PM: PN=PE PF, PM: PN=AP: PC,根據已知條彳即可推出 PA: AC=PE

17、 PF=1: 4.5 .如圖：在 4ABC中，Z ACB=90°, AC=BC / PCQ=45,把/ PCQ繞點C旋轉，在整個旋 轉過程中，過點 A作AD, CP,垂足為D,直線AD交CQ于E.(1)如圖，當/PCQ在/ACB內部時，求證： AD+BE=DE(2)如圖，當CQ在/ACB外部時，則線段 AD、BE與DE的關系為 ；(3)在(1)的條件下，若 CD=6, Sabce=2Saacd,求 AE 的長.【答案】(1)見解析【解析】(2) AD=BE+DE(3) 8試題分析：(1)延長DA到F,使DF=DE,根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距 離相等可得CE=CF,再求出

18、ZACF=Z BCE,然后利用 邊角邊”證明 ACF和 BCE全等，根 據全等三角形的即可證明AF=BE,從而得證；(2)在AD上截取DF=DE,然后根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF,再求出/ACF=/BCE，然后利用 邊角邊”證明4ACF和4BCE全等，根據全等三角形 的即可證明AF=BE,從而得到AD=BE+DE;(3)根據等腰直角三角形的性質求出 CD=DF=DE,再根據等高的三角形的面積的比等于底 邊的比求出AF=2AD,然后求出AD的長，再根據 AE=AD+DE代入數據進行計算即可得解. 試題解析：(1)證明：如圖，延長DA到F,使DF=DE. -. CD

19、)± AE,CE=CF,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 ；/ ACD+Z ACF=Z DCF=45 :又/ ACB=90 ； / PCQ=45 ；Z ACD+ZBCE=90 - 45 =45 :，/ACF=/BCE 在 AACF 和 ABCE 中，CE CFACF BCE , .AC陣 BCE (SAS ,AF=BE, . AD+BE=AD+AF=DF=DE,即AC BCAD+BE=DE;(2)解：如圖，在 AD上截取 DF=DE. CD，AE,CE=CF,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 ；/ ECF=Z DCE/ DCF=90 ；/ BCEZ BCF=Z ECF=9

20、0 :又 / ACB=90 ；/ ACF+Z BCF=90 ；/ ACF=Z BCE 在 ACF和 BCE中,CE CFACF BCE , .AC陣 BCE (SAS , ，AF=BE, . AD=AF+DF=BE+DE,即 AC BCAD=BE+DE;故答案為：AD=BE+DE.(3) / DC- DCF=Z PCQ=45°,. / ECF=45°+45°=90°,， ECF是等腰直角三角形，.CD=DF=DE=6.Sbce=2Saacd,，AF=2AD, . AD= X 6=2 . . AE=AD+DE=2+6=8.1 2點睛：本題考查了全等三角形的

21、判定與性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離 相等的性質，等腰直角三角形的性質，綜合性較強，但難度不是很大，作輔助線構造出全 等三角形是解題的關鍵.6.如圖，正方形 ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，連接 AE,將線段AE繞點A逆時 針旋轉90。，得到AF,連接EF,交對角線BD于點G,連接AG.(1)根據題意補全圖形；(2)判定AG與EF的位置關系并證明；(3)當AB=3, BE=2時，求線段 BG的長.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3) 25 .2【解析】【分析】(1)根據題意補全圖形即可；(2)先判斷出ADFABE,進而判斷出點 C, D, F共線，即可判斷出 DF8

22、HEG, 得出FG=EG即可得出結論；(3)先求出正方形的對角線 BD,再求出BH,進而求出 DH,即可得出HG,求和即可得出 結論.【詳解】(1)補全圖形如圖所示,(2)連接 由旋轉知，DF,AE=AF, / EAF=90 ,四邊形ABCD是正方形，AB / CD, AD=AB, / ABC=Z ADC=BAD=90 ,° / DAF=Z BAE, .ADFAABE (SAS , ，DF=BE /ADF=/ ABC=90 / ADF+Z ADC=180 ,°.點C, D, F共線， .OF/ AB,過點E作EH/ BC交BD于H,/ BEH=Z BCD=90 ,°

23、; DF/ EH,/ DFG=Z HEG,BD是正方形ABCD的對角線,/ CBD=45 ； .BE=EH / DGF=Z HGE, .DF8 4HEG (AAS), .FG=EG .AE=AF, AGXEF;(3) .BD是正方形的對角線，.BD= 72 AB=3 V2，由(2)知，在 RtBEH中，BH=6bE=2&, ，dg=bd-bh=、2由(2)知，ADFGAHEG,.DG=HG,.HG=1DH=, 22BG=BH+HG=2無 + =52 .此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性 質，勾股定理，作出輔助線是解本題的關鍵.7.如圖，在OAB

24、CD中，AB=10cm, BC=4cm, /BCD=120°, CE平分/BCD交 AB于點 E.點P從A點出發，沿AB方向以1cm/s的速度運動，連接 CP,將 PCE繞點C逆時針旋轉60°,使CE與CB重合，得到 AQUB,連接PQ.(1)求證：4PCQ是等邊三角形；(2)如圖，當點P在線段EB上運動時，4PBQ的周長是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周長的最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖，當點P在射線AM上運動時，是否存在以點P、B、Q為頂點的直角三角形？【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析；(3) t為2s或者14s. 【解析】分析：(1)根據

25、旋轉的性質，證明 PC®4QCB,然后根據全等三角形的性質和等邊三 角形的判定證明即可；(2)利用平行四邊形的性質證得 4BCE為等邊三角形，然后根據全等三角形的性質得到 PBQ的周長為4+CP,然后垂線段最短可由直角三角形的性質求解即可；(3)根據點的移動的距離，分類討論求解即可 .詳解：(1) :旋轉.-.PCEAQCB .CP=CQ Z PCE =/ QCB, / BCD=120 ,° CE平分 / BCD,/ PCQ=60 ； / PCE 吆 QCE=Z QCB+Z QCE=60 . PCQ為等邊三角形.(2)存在. CE 平分 / BCD,/ BCE=60 , 在

26、平行四邊形 ABCD中， .AB/ CD/ ABC=180 - 120 =60 ° BCE為等邊三角形BE=CB=4;旋轉.,.PCEAQCB，EP=BQCapbcfPB+BQ+PQ=PB+EP+PQfBE+PQ=4+CPCP，AB時，PBC周長最小當 CP，AB 時，CP=BCsin60 =273.PBQ周長最小為4+ 2J3(3)當點B與點P重合時，P,B,Q不能構成三角形當0W6時，由旋轉可知，/ CPEfZ CQB,/ CPQ=/ CPB+Z BPQ=60 °則：/BPQ+/ CQB= 60°,又 / QPB+Z PQC+Z CQB+Z PBQ=180/

27、CBQ=180-60 -60 =60 °/ QBP=60 ； B BPQ< 60 °,所以/ PQB可能為直角由(1)知，4PCQ為等邊三角形，/ PBQ=60 ； C CQB= 30 ° / CQB= / CPB/ CPB=30 °/ CEB= 60 ；/ ACP= / APC=30 °PA=CA=4,所以 APfAE-EP=6-4=2所以t=2 1 2s當6v tv 10時，由/ PBQ= 120 °> 90°,所以不存在 當t>10時，由旋轉得： /PBQ=60°,由(1)得/CPQ=60&

28、#176;/ BPQ=/ CPQ+/ BPC=60+°/ BPC,而/ BPC> 0°, / BPQ> 60 °/ BPQ=90 ；從而 / BCP=30BP=BC=4所以 AP=14cm所以t=14s綜上所述：t為2s或者14s時，符合題意。點睛：此題主要考查了旋轉圖形變化的應用，結合平行四邊形、等邊三角形、全等三角形 的判定與性質，進行解答即可，注意分類討論思想的應用，比較困難8.如圖1, Y ABCD和Y AEFG是兩個能完全重合的平行四邊形，現從AB與AE重合時開始，將YABCD固定不動，YAEFG繞點A逆時針旋轉，旋轉角為 a (0°

29、;< /V 360 °), AB=a,BC=2?并發現：如圖2,當Y AEFG旋轉到點E落在AD上時，FE的延長線恰好通過 點G探究一：(1)在圖2的情形下，求旋轉角 ”的度數; 探究二： 如圖3,當Y AEFG旋轉到點E落在BC上時，EF與AD相交于點M,連接CM, DF, 請你判斷四邊形CDFM的形狀，并給予證明；探究三：(3)如圖1,連接CF, BF,在旋轉過程中4BCF的面積是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面積，如果不存在，請說明理由.【答案】(1) a =120； (2)四邊形CDFM是菱形，證明見解析；(3)存在4BCF的面積最大的情形，S. bcf =3_a

30、a22【解析】試題分析：(1)由平行四邊形的性質知/D=/B, AB=CD=a,可得 /D=/DEC,由等角等邊知 CD=CE 由 AE=AB=a, AD=BC=2q可得DE=CE即可證得CDE是等邊三角形，/D=60,由兩直線平行，同位角相等可得ZDAB=120即可求得 a；(2)由旋轉的性質以及 /B=60°,可得 ABE是等邊三角形，由平行線的判定以及兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABEM是平行四邊形，再由由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；(3)當點F至I BC的距離最大時，4BCF的面積最大，由于點 F始終在以A為圓心AF為半 徑的圓上運動，故當 FG

31、與。A相切時，點F到BC的距離最大，過點 A作AHLBC于點 H,連接 AF,由題意知 /AFG=90°.由/ABH=/G=60°, AB=a, AG=2a,可得 AH、AF 的值.可 求得點F到BC的最大距離.進而求得 臣BCF的值.試題解析：(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形，Z D=Z B, AB=CD=a Z AEF=Z B, Z AEF=Z DEQ Z D=Z DEQ.CD=C.1 AE=AB=a, AD=BC=2a,.DE=CE,，CD=CE=DBACDE是等邊三角形，Z D=60 ；1. CD/ AB,Z D+ZDAB=180 ,°Z DAB=12

32、0 ,° a =120;.(2)四邊形CDFM是菱形.證明：由旋轉可得 AB=AE,Z B=60 ,°.ABE是等邊三角形，Z BAE=60°,Z BAG=Z BAE+Z GAE=60+120 =180 ,°點G, A, B在同一條直線上，.ME / AB, BE/ AM ,四邊形ABEM是平行四邊形，.AM=AB=ME,.CD=DM=MF,1. CD / AB/ MF,二四邊形CDFM是平行四邊形， Z D= 60 , D=DM,CDM是等邊三角形，.CD=DM,，四邊形CDFM是菱形；(3)存在4BCF的面積最大的情形.CB的長度不變，二當點F到BC

33、的距離最大時，4BCF的面積最大.點F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運動, 當FG與。A相切時，點F到BC的距離最大， 如圖，過點 A作AHLBC于點H,連接AF,則 / AFG=90. / ABH=Z G=60 ； AB=a, AG=2a, .AH=ABX sin60 a, AF=AGX sin60=百 a. 二點F到BC的最大距離為 J3 a+ a= a.22.Sa Bcx2a -a=a2.222點睛：此題考查了旋轉的洗澡那個會、平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質，三 角形的面積的求法，關鍵是運用旋轉前后，圖形的對應邊相等、對應角相等的性質解題9.在正方形ABCD中，連接BD.(1

34、)如圖1, AEXBDT E.直接寫出/BAE的度數.(2)如圖1,在(1)的條件下，將 4AEB以A旋轉中心，沿逆時針方向旋轉 30°后得到 AB' E'AB'與BD交于M, AE'的延長線與 BD交于N.依題意補全圖1 ; 用等式表示線段 BM、DN和MN之間的數量關系，并證明.(3)如圖2, E、F是邊BC CD上的點，4CEF周長是正方形 ABCD周長的一半， AE、AF 分別與BD交于M、N,寫出判斷線段 BM、DN、MN之間數量關系的思路.(不必寫出完 整推理過程)【答案】(1) 45° (2) 補圖見解析；BM、DN和MN之間的

35、數量關系是BM2+MD2=MN2,證明見解析；(3)答案見解析.【解析】(1)利用等腰直角三角形的性質即可；(2)依題意畫出如圖1所示的圖形，根據性質和正方形的性質，判斷線段的關系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可；(3)利用4CEF周長是正方形 ABCD周長的一半，判斷出 EF=EG再利用(2)證明即可.解：(1) BD 是正方形 ABCD 的對角線，/ABD=/ ADB=45 ,AE± BD,/ ABE=Z BAE=45 ；(2) 依題意補全圖形，如圖 1所示，BM、DN和MN之間的數量關系是 BM2+MD2=MN2 ,將 AND繞點D順時針旋轉9

36、0°,得到AEB,/ ADB=Z FBA, / BAF=Z DAN, DN=BF, AF=AN,.在正方形 ABCD 中，AE± BD, . . / ADB=/ABD=45/ FBM=Z FBA+Z ABD=ZADB+Z ABD=90 ；在RtA BFM中，根據勾股定理得，FB2+BM2=FM2, 旋轉 4ANE 得至 U AB1E1, ，/EABi=45；/ BABi+/DAN=90° 45 =45 °, / BAF=DAN/ BAB + / BAF=45°,/ FAM=45°,/ FAM=Z E1AB1, .AM=AM, AF=A

37、N, AAFMAANM, . FM=MN ,. fb2+bm2=fm2,dn2+bm2=mn2,(3)如圖2,將ADF繞點A順時針旋轉 90°得到AARG,DF=GB 正方形 ABCD的周長為4AB, 4CEF周長為EF+EC+CF CEF周長是正方形 ABCD周長的一半，4AB=2 (EF+EC+CF , ，2AB=EF+EC+CF EC=AB- BE, CF=AB- DF,2AB=EF+AB- BE+AB- DF,EF=DF+BE DF=GB, .1. EF=GB+BE=GE 由旋轉得至U AD=AG=AB),AM=AM,AAEGAAEF / EAG=/ EAF=45,°

38、;和(2)的一樣，得到dn2+bm2=mn2.尊睛”此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、旋轉的性質，三角形的全等，判斷出(AFNANM,得到FM=MM是，是解題的關鍵10.如圖，4ABC是等邊三角形， AB=6cm, D為邊AB中點.動點 P、Q在邊AB上同時從 點D出發，點P沿 AA以1cm/s的速度向終點 A運動.點Q沿 ABfD以2cm/s的速度 運動，回到點D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形 PQNI.將4PQN繞QN的中點旋 轉180°得到4MNQ.設四邊形PQMN與4ABC重疊部分圖形的面積為 S (cmt= (2)二當點N到點A、B的距離相等時，點 N在邊

39、AB的中線上,),點P運動的時間為t (s) (0vtv3).(1)當點N落在邊BC上時，求t的值.(2)當點N到點A、B的距離相等時，求t的值.(3)當點Q沿D-B運動時，求S與t之間的函數表達式.(4)設四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點分別是 E、F,直接寫出四邊形 PEMF與四邊形PQMN的面積比為2: 3時t的值.1H 卜_7,，=十15.”九3(4)【答案】(1) " (2) 2 (3) S=S菱形 pqmn=2S/pnq= * t2；42415t=1 或 r【解析】試題分析：(1)由題意知：當點 N落在邊BC上時，點Q與點B重合，此時DQ=3;(2)當點N到點A

40、、B的距離相等時，點 N在邊AB的中線上，此時 PD=DQ3131 131(3)當0D麗寸，四邊形 PQMN與 ABC重疊部分圖形為四邊形 PQMN;當Wt如，四 邊形PQMN與 ABC重疊部分圖形為五邊形 PQFEN3112(4) MN、MQ與邊BC的有交點時，此時n<t< 5 ,列出四邊形 PEMF與四邊形PQMN的 面積表達式后，即可求出 t的值.試題解析：(1)4PQN與4ABC都是等邊三角形,，當點N落在邊BC上時，點Q與點B重合.DQ=3 .-2t=3 .PD=DQ, !當 0vtv|2時,此時，PD=t, DQ=2t2 .t=2t3 t=0 (不合題意，舍去)，3當3

41、時，此時，PD=t, DQ=6 - 2t4 .t=6 - 2t,解得t=2;綜上所述，當點 N到點A、B的距離相等時，t=2；(3)由題意知：此時， PD=t, DQ=2t當點M在BC邊上時，5 .MN=BQ,. PQ=MN=3t, BQ=3- 2t.-3t=3 -2t3，解得t3如圖，當0wt如Sa pncf PQ2=斗 t2；.$=5菱形 pqmn=2Spnq= " t2,3 3如圖，當s<t刎，設MN、MQ與邊BC的交點分別是 E、F,6 MN=PQ=3t, NE=BQ=3- 2t,.ME=MN - NE=PQ- BQ=5t- 3,EMF是等邊三角形，Saemf= ME2

42、= I (5t3)(4) MN、MQ與邊BC的交點分別是 E F,12此時5<t< S ,考點：幾何變換綜合題11.如圖1,在RtABC中，/ACB=90°, E是邊AC上任意一點（點 E與點A, C不重合），以CE為一直角邊作 RtA ECD» /ECD=90,連接BE, AD.（1）若 CA=CB CE=CD猜想線段BE, AD之間的數量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論； 現將圖1中的RtECD繞著點C順時針旋轉銳角 ”，得到圖2,請判斷 中的結論是否 仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（2）若CA=8,CB=6 CE=3, CD=4,

43、Rt ECD繞著點C順時針轉銳角 ”，如圖3,連接BD, AE,計算用" +月爐的值.【答案】（1）BE=AD, BEX AD;見解析；（2） 125.【解析】試題分析：根據三角形全等的判定與性質得出BE=AD, BEX AD;設BE與AC的交點為點F, BE與AD的交點為點G,根據/ ACB=Z ECD=9。得出/ ACD=Z BCE，然后結合 AC=BC CD=CE得出AC*4BCE 貝U AD=BE, / CAD=/ CBF,根據 / BFC=/ AFG,/ BFC+/ CBE=90得出/ AFG+/ CAD=90 ,0從而說明垂直；首先根據題意得出 ACDABCEL,然后說明

44、/ AGE=/ BGD=90°,最后根據直角三角形的勾股定理將所求的線 段轉化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）解：BE=AD BEX ADBE=AD, BEX AD仍然成立證明：設BE與AC的交點為點F, BE與AD的交點為點G,如圖1. /ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ' AC=BC CD=CE. AC* BCE . AD=BE / CAD=/ CBF v / BFC玄 AFG / BFC-+Z CBE=90 °，/ AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD(2)證明：設BE與

45、AC的交點為點F, BE的延長線與 AD的交點為點 G,如圖2. /ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ; AC=8, BC=6, CE=3 CD=4 ACgBCE/ CAD=Z CBE / BFC=Z AFG / BFC+Z CBE=90 / AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD. / AGE=/ BGD=90 ° /爐=力+ EG1 RD2 = fiG2 + DG士.+ AE = AG 4-/ + W +. .八fX + HG'AP +- BD 工 + AE2 = AB1 + ED1 = CA

46、2 + CB3 + CD2 + CE2 = 125考點：三角形全等與相似、勾股定理.12.如圖所示，在 4ABC中，D、E分別是AR AC上的點，DE/ BC,如圖，然后將 ADE繞A點順時針旋轉一定角度，得到圖 ，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM=4bd, en= ±ce,得到圖 ，請解答下列問題：J?J?(1)若AB=AC,請探究下列數量關系： 在圖 中，BD與CE的數量關系是 ；在圖中，猜想AM與AN的數量關系、/ MAN與/ BAC的數量關系，并證明你的猜想；(2)若AB= k AC(k> 1),按上述操作方法，得到圖 ，請繼續探究：AM與AN的數量關系、/ M

47、AN與/ BAC的數量關系，直接寫出你的猜想，不必證【答案】(1)BD=CE; AM=AN , / MAN= / BAC理由如下：在圖中，DEBC, AB=AC .AD="AE."AR = AC, = £.CAEf.A -A _ , AD - AE_在 ABD 與 AACE 中AABDAACE.BD=CE /ACE玄 ABD.在ADAM與 EAN中,11111 / AEN=Z ACE-+Z CAE,DMBD, ENCE, BD=CE，DM=EN, / ADM= / ABD+Z BAD,/ AEN=Z ADM.y.' AE=AD,AADMAAEN.'

48、.AM=AN, / DAM=/EAN.，/ MAN= / DAE=/BAC.AM=AN, /MAN=/BAC.(2) AM=kAN, /MAN=/BAC.【解析】(1) 根據題意和旋轉的性質可知 AE®4ADB,所以BD=CE; 根據題意可知 Z CAE=BAD AB=AC, AD=AE,所以得到 BA4 4CAE,在 ABM和 ACN 中，11DM= BD, EN= CE：,可證ABM0ACN,所以 AM=AN ,即 / MAN= / BAC. 工人(2)直接類比(1)中結果可知 AM=k?AN, /MAN=/BAC.13.如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC, CD上

49、，且BE=DF點P是AF的中 點，點Q是直線AC與EF的交點，連接 PQ, PD.(1)求證：AC垂直平分EF;(2)試判斷4PDQ的形狀，并加以證明；（3）如圖2,若將4CEF繞著點C旋轉180°,其余條件不變，則（2）中的結論還成立 嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2） 4PDQ是等腰直角三角形；理由見解析（ 3）成立；理 由見解析.【解析】試題分析：（1）由正方形的性質得出 AB=BC=CD=AD /B=/ADF=90,Z BCA=Z DCA=45 ,°由BE=DF，得出CE=CF CEF是等腰直角三角形，即可得出結論；111

50、 II（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質得出PD=AF, PQ=AF,得出PD=PQ再證明/DPQ=90 ；即可得出結論；111 II（3）由直角三角形斜邊上的中線的性質得出PD=AF, PQ?AF,得出PD=PQ再證明點A、F Q、P四點共圓，由圓周角定理得出/DPQ=2/ DAQ=90°,即可得出結論.試題解析：（1）證明：二四邊形ABCD是正方形， . AB=BC=CD=AD / B=Z ADF=90 ,° / BCA=Z DCA=45 ；,.BE=DR.CE=CF AC垂直平分 EF;(2)解：4PDQ是等腰直角三角形；理由如下： 點P是AF的中點，/ADF=90

51、, 11 .PD= AF=PA/ DAP=/ ADP,.AC垂直平分 EF,/ AQF=90 ；RPQ= AF=PA / PAQ土 AQP, PD=PQ, / DPF=Z PAD+Z ADP, / QPF=Z PAQ+Z AQP,/ DPQ=2/ PAD+2/ PAQ=2 ( / PAD+Z PAQ =2 X 4590 ；.PDQ是等腰直角三角形；(3)成立；理由如下：點 P 是 AF 的中點，/ADF=90,°11，PD= AF=PA BE=DR BC=CQ / FCQ=/ ACD=45 ,° / ECQ4 ACB=45 , .CE=CF /FCQ=Z ECQ.-.CQ&

52、#177; EF, /AQF=90,°1PQ= AF=AP=PFPD=PQ=AP=PF 點A、F Q、P四點共圓，/ DPQ=2/ DAQ=90 ； PDQ是等腰直角三角形.考點：四邊形綜合題.14.在4AOB中，C, D分別是 OA, OB邊上的點，將 OCD繞點O順時針旋轉到 OC' D'(1)如圖1,若/AOB=90, OA=OB, C, D分別為OA, OB的中點，證明： AC =BD； ACBD'(2)如圖2,若AOB為任意三角形且 /AOB=6, CD/ AB, AC與BD交于點E,猜想 ZAEB=程否成立？請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析【解析】試題分析：(1)由旋轉的性質得出 OC=O