1、第二章 小波多尺度圖像融合2.1 小波理論簡(jiǎn)介 由數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及工程師們多學(xué)科共同努力研究而形成的小波理論，由于它有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)和具體的物理意義，使得它的應(yīng)用在工程上隨時(shí)可見(jiàn)，而且它的發(fā)展也日異月新。從最開(kāi)始的傅里葉王國(guó)處理一維信號(hào)，到窗日傅里葉變換再到小波框架與小波基，再到小波包，同時(shí)直接由張量積擴(kuò)展得到的二維小波變換以及考慮方向性的超小波等等。它們的應(yīng)用范圍越來(lái)越廣其家族成員越來(lái)越多，當(dāng)然其理論發(fā)展越來(lái)越復(fù)雜。 小波分析的目的是檢測(cè)、表示、處理某些高維空間數(shù)據(jù)，用以對(duì)某個(gè)信號(hào)及函數(shù)給出豐富的、有效的和有用的描述。也就是說(shuō)，單純從數(shù)學(xué)意義主看，小波理論只是找到了空間上信號(hào)最優(yōu)表示的一

2、組基。由不同的基逼近信號(hào)所產(chǎn)生的誤差是一個(gè)重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)也暗示著我們?nèi)绾稳ふ遗c改進(jìn)得到更好的逼近。 按體系結(jié)構(gòu)來(lái)劃分整個(gè)小波家族，大略可以分為一代小波，二二代小波與三代小波（又稱超小波）。各代所包含的內(nèi)容從發(fā)展順序與理解層次來(lái)看大致如下：一代小波：(1)小波基本概念；(2)多分辨率分析；(3)連續(xù)小波變換；(4)二進(jìn)小波變換（非抽取小波變換、平穩(wěn)小波變換）與多孔算法；(5)離散小波變換寫(xiě)Mallat算法；(6)小波模極大值；(7)完美重構(gòu)與濾波器組；(8)雙正交小波與半正交小波；(9)類小波、小波包與自適應(yīng)小波包；(10)小波的時(shí)域和頻域構(gòu)造；二代小波：(1)多小波；(2)復(fù)小波；(3

3、)框架小波；(4)提升法；(5) 一代小波；(6)二代插值（均值、細(xì)分）；(7)第二代自適應(yīng)小波；三代小波：(1)Wedgelet; (2) Beamlet; (3) Ridgelet;(4)Curvelet;(5)Contourlet; (6)Bandelet; (7) Shearlet; (8) Platelet; (9)方向性濾波器組與完美重構(gòu)；(10)多尺度幾何分析；(11)小波與X-Let; 由于小波理論主要綜合了多分辨理論與濾波器組的構(gòu)造理論及框架理論。它們的數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)而復(fù)雜晟種類不斷的推陳出新。在此，本文進(jìn)行簡(jiǎn)要概述。 理論上講，小波展開(kāi)或者小波交換，與信號(hào)系統(tǒng)里面的傅里葉變換

4、、拉普拉斯變換、Z變換一樣，只不過(guò)小波變換不是一組變換對(duì)應(yīng)一組基，而是有很多種。特別是，其他變換的計(jì)算都是將基函數(shù)與信號(hào)做點(diǎn)積，小波變換在基函數(shù)的解析式已知時(shí)可以這樣計(jì)算，但是在大多情況下小波解析式是未知的。這就要運(yùn)用信號(hào)處理的多速率采樣來(lái)實(shí)現(xiàn)，可以這樣認(rèn)為，小波變換是一種多速率處理：下采樣結(jié)合相關(guān)運(yùn)算形成正變換，上采樣結(jié)合卷積形成逆變換。 雖然小波展開(kāi)集不是唯一的，存在很多不同的有效的小波系統(tǒng)，但是，他們具有以下的特征。 1、小波系統(tǒng)是構(gòu)造或表示一個(gè)信號(hào)或者函數(shù)的：二維展開(kāi)集合，也就是基。 2、小波展開(kāi)是信號(hào)的時(shí)頻局部化。也就是說(shuō)它能用少數(shù)展開(kāi)系數(shù)aj,k表示信號(hào)的大部分能量。 3、存在快速

5、算法可高效計(jì)算系數(shù)。也就是說(shuō)與快速傅里葉變換一樣，只需O(Nlog(N)次運(yùn)算。 4、幾乎所有有用的小波系統(tǒng)滿足多分辨條件。實(shí)際是指一個(gè)信號(hào)的集合能用 表示，那么也可以用一個(gè)更大的集合 (它包括原集合)進(jìn)行加權(quán)表示。 5、低分辨率系數(shù)可以由高分辨系數(shù)用一個(gè)濾波器組的樹(shù)結(jié)構(gòu)算法計(jì)算得到。這使得展開(kāi)系數(shù)或者離散小波變換得到有效的計(jì)算，同時(shí)把數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域聯(lián)系起來(lái)。 6、第一代小波系統(tǒng)是由一個(gè)單尺度函數(shù)或者小波通過(guò)簡(jiǎn)單的尺度化和平移得到。 實(shí)際上，小波變換像一個(gè)音樂(lè)樂(lè)譜，其時(shí)，音符的位置確定了音調(diào)和它們的頻率。其有效性原因可以大致概括如下： 1、小渡系統(tǒng)為一組無(wú)約束基。對(duì)一大類信號(hào)，它們的小波展開(kāi)

6、系數(shù)aj,k的大小，隨著j,k的增大，迅速減小。在圖像壓縮、去噪和檢測(cè)方面，由于它的接近最優(yōu)性而非常有效。 2、小波展開(kāi)可以允許在時(shí)間和頻率主交迭的信號(hào)分量分離，對(duì)信號(hào)的特征進(jìn)行了更精確的局部描述和分離。 3、小波是可調(diào)的和可修改的，可以將它們?cè)O(shè)計(jì)成合適的各種應(yīng)用，這個(gè)系統(tǒng)本身可調(diào)整以適合信號(hào)，并非像傅里葉變換那樣，其基是固定的。 4、小波的產(chǎn)生和離散小波交換的計(jì)算沒(méi)有涉及到微積分，只有乘法和加法，這種數(shù)字計(jì)算機(jī)的基本運(yùn)算使得它快速推廣到工程實(shí)用上。 從數(shù)學(xué)主講，信號(hào)的本質(zhì)信息可以在其奇異性或非正則結(jié)構(gòu)上反映出來(lái)。而小波分析能對(duì)信號(hào)進(jìn)行精確的奇異性分析，所以能提取或分析這些重要的信息。同時(shí)，M

7、allat已經(jīng)證明信號(hào)的局部正則性可以由小波變換幅值隨尺度參數(shù)的衰減性來(lái)刻畫(huà)，奇異性和邊緣可以通過(guò)跟蹤其細(xì)尺度下的局部極大模來(lái)檢測(cè)。 信號(hào)的最小全局正則性可以用傅里葉交換的漸進(jìn)衰減性進(jìn)行有力的度量，但不能從函數(shù)高頻段的衰減性分析出函數(shù)在特定點(diǎn)處的正則性。然而小波在時(shí)域的局部性可以給出函數(shù)在一個(gè)區(qū)間甚至一個(gè)點(diǎn)的Lipschitz正則性，奇異性可以通過(guò)尋找，使得小波模極大在細(xì)尺度下收斂的橫坐標(biāo)點(diǎn)來(lái)檢測(cè)。2.2 多尺度分析理論 小波變換中，其實(shí)具體還包含了一個(gè)尺度函數(shù)和小波函數(shù)的概念，基于理解小波中多尺度分析概念，本文從定義的尺度函數(shù)出發(fā)，再借助它定義小波函數(shù)。首先，定義一個(gè)尺度函數(shù)集，該集有一個(gè)基

8、本尺度函數(shù)經(jīng)過(guò)整數(shù)平移得到。 一般的，可以通過(guò)改變尺度函數(shù)的時(shí)間尺度來(lái)增大張成的子空間規(guī)模。如：二維函數(shù)族可以通過(guò)基本尺度函數(shù)的尺度化和平移得到。 小波的多尺度分析概念最早由S.Mallat與Y.Meyer于1986年提出，它提供了小波分解算法、了解與構(gòu)造小波基甚至構(gòu)造一些新的小波的一個(gè)很自然的架構(gòu)。 MRA分析出現(xiàn)以前，濾波器組與小波理論足沒(méi)有融合到一起的，沒(méi)有人注意到完全重構(gòu)濾波器中的高通與低通濾波器的某種迭代竟是小波的構(gòu)造和變換的快速實(shí)現(xiàn)方法，以至于小波和完全重構(gòu)濾波器的構(gòu)造走在兩條不相干的路上。最終由Mallat提出了多分辨分析，為小波的構(gòu)造提供了統(tǒng)一框架，并提供了函數(shù)分解與重構(gòu)的快速

9、算法。2.3 小波濾波器的構(gòu)造 在數(shù)字濾波器理論中，經(jīng)常涉及的概念有最小相位系統(tǒng)、線性相位、最小延遲以及完全重構(gòu)濾波器組。為了便于數(shù)字計(jì)算機(jī)的處理，一般使用有限沖擊響應(yīng)濾波器(FIR)，因?yàn)樗臎_擊響應(yīng)持續(xù)時(shí)間是確定的。也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)某個(gè)確定的時(shí)間以后，沖擊響應(yīng)將為零。 由于全通濾波器要求其傳遞函數(shù)在整個(gè)頻率域有相同的幅頻響應(yīng)。結(jié)果推導(dǎo)出其有理傳遞函數(shù)中分子分母Z變換的多項(xiàng)式有相同的階，其次它們的系數(shù)序列是互為逆序的。系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性要求傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，零點(diǎn)也位于單位圓內(nèi)則得到最小相位系統(tǒng)，它能表示傳遞函數(shù)相角范圍最小，得出信號(hào)的輸出有最小群延遲，系統(tǒng)響應(yīng)速度是最快的。從相位延

10、遲的角度出發(fā)，傳遞函數(shù)的相位的系統(tǒng)稱為線性相位系統(tǒng)，其對(duì)應(yīng)物理意義為原信號(hào)x(t)被日(w)濾波后其時(shí)間延遲了k。從線性系統(tǒng)來(lái)講，分解的各頻率的延遲時(shí)間是一個(gè)常數(shù)，在信號(hào)輸出時(shí)直觀上是完全不失真。離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的性質(zhì)表明一個(gè)對(duì)稱的FIR濾波器具有線性相位。 全通濾波器和線性相位濾波器似乎是不相容的。因?yàn)槿V波器有理傳遞函數(shù)要求分子分母必須為同階，那么它一定具有無(wú)限沖擊響應(yīng)，即為無(wú)限沖擊響應(yīng)濾波器(IIR)。而一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的IIR不可能找到它的對(duì)稱中點(diǎn)，所以必須為FIR。然而用一組串聯(lián)和并聯(lián)排列的濾波器組卻可以突現(xiàn)全通和相位。當(dāng)這兩個(gè)條件同時(shí)滿足，這樣的濾波器組就稱為完全重構(gòu)濾波

11、器組。 結(jié)合多尺度分析理論，假設(shè)在某個(gè)尺度上對(duì)某信號(hào)進(jìn)行下一級(jí)的分解時(shí)，用一個(gè)高通和一個(gè)低通來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而推導(dǎo)尺度函數(shù)能完全重構(gòu)所滿足的關(guān)系。這種結(jié)合多分辨理論的雙通道濾波器組，其2分帶分析組如圖2-3所示。2分帶綜合組如圖2-4所示。由完全重構(gòu)的條件可以得出以下結(jié)論： 從應(yīng)用角度來(lái)講，是如何選擇現(xiàn)有的小波基，而不是對(duì)它進(jìn)行設(shè)計(jì)。一般來(lái)講，除了關(guān)注小波基的消失矩和正則性外，綜合起來(lái)可以這樣考慮： l、短小波比長(zhǎng)小波在檢測(cè)信號(hào)突變時(shí)更有效，因此檢測(cè)信號(hào)中斷點(diǎn)可采用Haar小波。對(duì)稱的小波可以避免圖像處理中的相移。 2、對(duì)于一個(gè)在j階導(dǎo)數(shù)上的突變，應(yīng)選擇一個(gè)至少有j個(gè)過(guò)零點(diǎn)的規(guī)則小波。 3、對(duì)奇異值

12、的檢測(cè)，選擇的小波必須足夠規(guī)則。 4、壓縮帶有噪聲的n階多項(xiàng)式信號(hào)，需選擇有n+1個(gè)過(guò)零點(diǎn)的小波。 5、在去噪聲方面，小波包比小波能更好的去除噪聲并減少高頻信息的損失。 6、從信號(hào)中分離不同頻率成分，與小波的尺度有關(guān)。 而對(duì)于二維數(shù)據(jù)的圖像，其小波變換則可分離為兩通道濾波器，先應(yīng)用于某一維，再應(yīng)用于另外一維即可。在圖像處理中經(jīng)常用到的五種小波基如表2-1所示。在歷史主最簡(jiǎn)單的Harr小波因其連續(xù)牲太差得不到好的應(yīng)用，Meyer試圖證明光滑連續(xù)的小波不存在，卻意外得到了具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)伸縮和平移構(gòu)成了L2空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，緊隨其后更多好的性質(zhì)小波被設(shè)計(jì)出來(lái)。但是小波變換的有限方向

13、性和圖像幾何表達(dá)有限性等，隨后引入超小波。2.4 輪廓波及非下采樣輪廓波2.4.1 超小波理論簡(jiǎn)介 在人的視覺(jué)系統(tǒng)中，視覺(jué)神經(jīng)接受域的特征為局部性、方向性和帶通性。而晟實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了一個(gè)這樣的假設(shè)：人類視覺(jué)系統(tǒng)是能調(diào)諧的，用最小數(shù)量的活動(dòng)視覺(jué)細(xì)胞來(lái)捕捉自然景象中重要的信息。結(jié)論意味著計(jì)算機(jī)視覺(jué)表示要有效，則應(yīng)該基于局部的、方向性的與多尺度擴(kuò)展的。 綜合色彩的推測(cè)與相關(guān)人類視覺(jué)系統(tǒng)的研究加上自然圖像的統(tǒng)計(jì)，可以列出新的圖像表示的期望特性： 1、多尺度性和局部性。醺像表示能由粗到細(xì)的連續(xù)近似，表示的基能在空域和頻域中局部化。 2、臨界采樣性。對(duì)于一些應(yīng)用比如圖像壓縮，圖像表示能構(gòu)成一個(gè)基或者小冗余性的

14、框架。 3、方向性。圖像表示能包含具有方向性的基的各種方向，而不是僅僅少量的幾個(gè)類似離散小波的三個(gè)方向。 4、各向異性。為了充分利用圖像的幾何正則性，捕獲圖像的光滑輪廓，圖像表示使用的基元素應(yīng)該利用各種不同的長(zhǎng)寬比的狹躍楔形。 離散小波能滿足以主兩條，但最后兩條需要新的構(gòu)建，它并不能充分利用數(shù)據(jù)本身所特有的幾何特征、并不是最優(yōu)的或者是“最稀疏”的函數(shù)表示方法，沒(méi)有充分利用特定函數(shù)類本身的信息，而達(dá)到最優(yōu)逼近。其表示具有一維奇異性的邊緣、紋理、輪廓等方問(wèn)信息時(shí)，其效果并不理想。本質(zhì)上，小波善于捕捉點(diǎn)狀奇異性的零維信息，能最優(yōu)或者最稀疏表示具有點(diǎn)奇異性的目標(biāo)函數(shù)，但是具有一維奇異性的輪廓，小波基不

15、是最優(yōu)，挖掘不到圖像的邊緣方向信息。 而且，主要的挑戰(zhàn)是從定義在矩形網(wǎng)格采樣圖像得到的離散數(shù)據(jù)中捕獲矧像的幾何特性和方向性。比如，除了水平和垂直方向外，能在一個(gè)矩形格子中它們方向看起來(lái)很不相同。由于像素的原因，光滑輪廓在采樣圖像里面很不明顯。因此，人們開(kāi)始在離散域構(gòu)建形式然后研究它的收斂性再擴(kuò)展到連續(xù)域中，而不像其他的變換，從連續(xù)域出發(fā)進(jìn)而采樣得到離散形式。圖像數(shù)據(jù)的一個(gè)重要特點(diǎn)是數(shù)據(jù)的某些重要特征集中體現(xiàn)于其低維子集中（如曲線、面等）。比如，對(duì)于二維圖像，其主要特征可以用邊緣所刻畫(huà)，而在三維圖像中，其重要的特征又體現(xiàn)為絲狀物和管狀物。二維超小波變換應(yīng)運(yùn)而生。基于現(xiàn)代調(diào)和分析的理論和方法，利用

16、一系列高維“脊函數(shù)”的迭加實(shí)現(xiàn)高維奇異性的有效描述的Ridgelet變換，它特別適合二維圖像的線奇異性的處理，能較好描述直線或者超平面奇異性的高維信號(hào)，比小波更好的稀疏表示圖像的紋理特征。Ridgelet作為基本逼近函數(shù)的高效性，使其在數(shù)學(xué)逼近、信號(hào)處理和統(tǒng)計(jì)估計(jì)等多方面有著很大的作用。以它為開(kāi)端從此開(kāi)扇了第三代小波的大門。其中，Contourlet變換與非下采樣Contourlet變換有著廣泛的應(yīng)用。2.4.2Contourler變換原理 2002年，M.N.Do等人提出了一種圖像二維表示方法的Contourlet變換(Contourlet Transform，CT)，它用類似輪廓段的基結(jié)構(gòu)

17、來(lái)逼近圖像，其基的支撐區(qū)間是具有隨尺度變化民寬比的長(zhǎng)條形結(jié)構(gòu)，具有方向性和各向異性，即用不同尺度（不同頻率）的子帶來(lái)準(zhǔn)確捕獲圖像中的分段二次連續(xù)曲線，它的方向性和各向異性使得圖像的邊緣輪廓的CT系數(shù)能量耍為集中，也就是說(shuō)對(duì)于益線有更稀疏的表示。因而，在CT域中選擇合理的特征信息進(jìn)行融合將得到更好的效果。 由于二維小波是直接由一維奪波張量積構(gòu)建而得，它缺乏方向性與各向異性。只能用正方形支撐區(qū)間來(lái)描述輪廓益線，不同大小的正方形對(duì)應(yīng)小波不同分辨率結(jié)構(gòu)。但是當(dāng)分辨率由粗到細(xì)，細(xì)到足夠精度時(shí)，小波就變成點(diǎn)來(lái)捕獲輪廓，兩種變換對(duì)曲線的描述如圖2-6所示，可以看出CT充分利用原函數(shù)的幾何正則性，以達(dá)到最小系

18、數(shù)表示曲線。其基的支撐區(qū)間表現(xiàn)為“長(zhǎng)條形”，這也是方向性的一種體現(xiàn)，也稱這種基具有“各向異性”。這種變換就是所謂的多尺度幾何分析。 CT利用拉普拉斯金字塔分解(LP)和方向?yàn)V波器組(DFB)來(lái)實(shí)現(xiàn)的一種多分辨、局部、多方向的圖像表示方法（如圖2-7），它繼承了Curvelet變換的各向異性的多尺度關(guān)系，在一定程度上可以認(rèn)為是Curvelet變換的另一種快速、有效的數(shù)字實(shí)現(xiàn)。它稱為Contourlet的本質(zhì)在于，它能捕獲點(diǎn)狀奇異性，然后利用方向?yàn)V波器組(DFB)將分布在同方向上的不連續(xù)點(diǎn)連接成線，最終以類似于線的結(jié)構(gòu)來(lái)逼近原圖像。拉普拉斯金字塔分解和方向?yàn)V波器的結(jié)合就實(shí)現(xiàn)了CT的多尺度多方向的分

19、解：塔形方向?yàn)V波器組。單獨(dú)的任何一個(gè)都不能很好的得到圖像描述：金字塔分解不具有方向性，麗方向?yàn)V波器對(duì)高頻部分能很好分解，對(duì)低頻都分不行。二者的結(jié)合恰好能彌補(bǔ)對(duì)方的不足，從而得到了很好的圖像表示方式，如圖2-8所示。圖2-9為CT在其頻譜上的劃分示意圖。CT使用拉普拉斯金字塔變換來(lái)獲得對(duì)圖像的多尺度分解。LP變換把原始圖像分解為近似子圖像和細(xì)節(jié)子圖像。近似子圖像，類似于二維傅里葉變換，是由原始圖像經(jīng)過(guò)二維低通濾波與隔行隔列下采樣產(chǎn)生。圖2-10(a)顯示了這種分解過(guò)程關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其中H和G分別為分解和合成濾波器，M是采樣矩陣。在較粗尺度的低通信號(hào)主通過(guò)拉普拉斯塔形分解進(jìn)行迭代，可以得到較細(xì)尺度的頻

20、率劃分。 細(xì)節(jié)子圖像是原始圖像減去經(jīng)過(guò)上采樣和低通濾波后的近似子圖像形成的。類似的，通過(guò)對(duì)近似子圖像重復(fù)進(jìn)行此過(guò)程，從而得到圖像的多尺度分解。 CT的多方向性由方向?yàn)V波器組來(lái)完成。通過(guò)對(duì)雙通道五點(diǎn)梅花形濾波器組進(jìn)行修剪操作，可以實(shí)現(xiàn)方向?yàn)V波器L級(jí)的二叉樹(shù)分解，產(chǎn)生2L個(gè)楔形的頻率劃分，這種結(jié)構(gòu)使得CT可以在每個(gè)尺度層上進(jìn)行任意多方向進(jìn)行分解，從而使得CT具備多方向性。圖2-lO(b)所示為梅花形濾波器的二尺度劃分，其中黑色區(qū)域代表每個(gè)濾波器的理想頻率劃分，Q為采樣矩陣。對(duì)應(yīng)于多方向?yàn)V波器，M.N.Do定與傳統(tǒng)的小波變換相比，CT最突出的特點(diǎn)是具有很強(qiáng)的各向異性和方向性，它允許每個(gè)尺度上有不同數(shù)

21、目的方向，能夠把高頻細(xì)節(jié)信息分解成多個(gè)方向的信息來(lái)顯示，這使得CT有較優(yōu)的非線性逼近性能，可以近似地逼近任意含線奇異的二維分段光滑函數(shù)。 具體來(lái)講，CT具有幾個(gè)重要的獨(dú)特性： 1、CT的擴(kuò)展定義在矩形網(wǎng)格上，因此在離散域里是準(zhǔn)確無(wú)誤的變換，即圖像的像素在矩形網(wǎng)格內(nèi)被采樣。為了達(dá)到這種數(shù)字友好的特性，CT核函數(shù)不得不因不同方向而不同，并非是通過(guò)單一的函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)而得到。這也是它與Curvelet系統(tǒng)不同的核心之處。 2、由于定義在矩形網(wǎng)格上，CT具有二維中心正方形的頻率分離性，而不是Curvelets的中心圓形，也不是其他定義在單級(jí)坐標(biāo)上 3、既然CT的函數(shù)定義是通過(guò)像小波一樣的濾波器迭代

22、，那么CT也存在快速濾波器簽組算法與最佳樹(shù)結(jié)構(gòu)。 4、由于FIR濾波器使得迭代CT濾波器組具有緊框架。即扁平棋子形子集鋪滿二維平面的每一個(gè)尺度和方向。 5、CT的構(gòu)建提供一個(gè)空域多尺度方案，這為空域多尺度和角度多尺度提供一個(gè)靈活的改進(jìn)。M.N.Do用框架理論和過(guò)采樣濾波器組分析了拉普拉斯塔形的分解結(jié)果，表明用正交濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn)的LP分解算法是一個(gè)框架界為1的緊框架，并且CT的復(fù)雜度由LP決定，冗余度是1.33。此外CT還可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)線性重構(gòu)。然而，CT在圖像處理時(shí)卻有個(gè)致命的缺陷就是缺乏平移不變性，在處理圖像的奇異信息時(shí)，往往會(huì)引起振鈴效應(yīng)。為消除此現(xiàn)象，A.L.Cunha等受到構(gòu)造非采樣小波

23、的啟發(fā)，應(yīng)用a-Trous算法提出了一種非采樣Contourlet變換(NSCT)，它具有一定的冗余性，不但繼承了CT的多尺度、多方向的性質(zhì)，還具有平移不變性，在圖像融合和圖像增強(qiáng)中得到了很好的應(yīng)用。2.4.3 非下采樣輪廓波(NSCT)2.4.3.1引言 非下采樣輪廓波(NonsubSample Contourlet Transform，NSCT)為輪廓波變換(Contourlet Transform，CT)進(jìn)行非下采樣操作，它們的特點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)： 1、CT相對(duì)于以往的小波變換最突出的特點(diǎn)為，它能有效最優(yōu)逼近二維圖像的線的奇異性，從而更好的稀疏表示圖像，特別是圖像中物體輪廓曲線的跟蹤。其

24、具體表現(xiàn)為：(1)很強(qiáng)的各向異性，小波變換高頻信息只有水平、垂直、對(duì)角線三個(gè)方向分量。(2) CT通過(guò)方向?yàn)V波器對(duì)高頻部分的信號(hào)進(jìn)行處理，能夠把高頻信息分解成多個(gè)的方向性的分量的組合，這種結(jié)構(gòu)使得CT有較優(yōu)的非線性逼近性能，可以近似最優(yōu)地逼近任意含線性奇異的二維分段光滑函數(shù)。 2、NSCT相對(duì)于CT則是針對(duì)圖像處理至關(guān)重要平移不變性特點(diǎn)而改進(jìn)的，其具體表現(xiàn)為：(1)由于CT的構(gòu)造過(guò)程，在拉普拉斯塔和方向?yàn)V波器中都存在下采樣操作，造成CT不具有平移不變性，不可避免的會(huì)引起振鈴效應(yīng)。(2) NSCT不進(jìn)行下采樣操作，而采用à-Trous算法對(duì)濾波器進(jìn)行改進(jìn)而得到。雖然隨之帶來(lái)了的冗余，但

25、在圖像融合等領(lǐng)域卻不是主要問(wèn)題。同時(shí)繼承了CT的多尺度、多方向性。NSCT采用的是非下采樣的塔式分解（NSPFB）和非下采樣DFB(NSDFB）結(jié)構(gòu)。NSPFB主要是通過(guò)雙通道的非下采樣的二維的濾波器組實(shí)現(xiàn)的。NSDFB是通過(guò)交換在DFB樹(shù)結(jié)構(gòu)每個(gè)雙通道濾波器組的下采樣和上采樣并相應(yīng)的對(duì)濾波器上采樣實(shí)現(xiàn)的。因而NSCT具有平移不變性并且比CT能更好的采集頻率且具規(guī)律性。圖2-11展示的是NSCT的多尺度分解框架。其頻潛分解圖與CT一樣如圖2-9所示。2.4.3.2NSCT的原理 在CT中，由于拉普拉斯金字塔變換和方向?yàn)V波器都存在下采樣操作，使得CT不具有平移不變性，因?yàn)槠揭坪蟮牟蓸硬坏扔诓蓸雍?/p>

26、的平移，從而在圖像融合中不可避免的會(huì)引起吉布斯現(xiàn)象，進(jìn)一步使得融合圖像失真。為解決CT的不足，A.L,Cunha等采用à-Trous算法的思想，通過(guò)綜合非下采樣的塔式分解(NonsubSampled PyramidFilter Bank，NSPFB)和非下采樣的DFB(NonsubSampledDirectional Filter Bank，NSDFB)，實(shí)現(xiàn)了NSCT。NSCT不僅繼承了CT的多尺度、多方向性，同時(shí)還具備平移不變特性，可以有效消除CT缺乏平移不變性而產(chǎn)生的振鈴效應(yīng)，這些特性非常有力于圖像融合。NSPFB是通過(guò)取消拉普拉斯分解過(guò)程中的下采樣環(huán)節(jié)，對(duì)濾波器進(jìn)行相應(yīng)的上采

27、樣（插值）而獲得的，這樣對(duì)圖像進(jìn)行多尺度分解時(shí)無(wú)需再對(duì)濾波器重新設(shè)計(jì)。對(duì)于臨界采樣濾波器組來(lái)說(shuō)這樣的條件比精確重構(gòu)條件更容易滿足，所以允許我們?cè)O(shè)計(jì)更好的濾波器組。 類似的，NSDFB是通過(guò)在DFB二通道濾波器中取消下采樣環(huán)節(jié)，并對(duì)濾波器進(jìn)行相應(yīng)的上采樣操作來(lái)實(shí)現(xiàn)的。NSDFB中所有的濾波器是由單個(gè)的扇形濾波器得到的，而且NSDFB中的每個(gè)濾波器計(jì)算復(fù)雜度與原濾波器相當(dāng)。其NSDFB的同樣，NSPFB中的每個(gè)濾波器與第一級(jí)中采用的濾波其也有相同的復(fù)雜度。因而，NSPFB與NSDFB的復(fù)雜度決定了NSCT的復(fù)雜度。NSPFB與NSDFB其濾波結(jié)構(gòu)分別如圖2-12所示，其從NSCT的結(jié)構(gòu)可以看出，N

28、SCT的核心是二二通道濾波器組的設(shè)計(jì)。由于NSPFB和NSDFB都滿足Bezout恒等式，只是為了實(shí)現(xiàn)多尺度的分解，需要采用濾波器組迭代，在下一分解級(jí)上對(duì)所有的濾波器在每個(gè)維數(shù)上進(jìn)行2倍的上抽樣，所以NSPFB與NSDFB是可以完全重構(gòu)的。 非下采樣方向?yàn)V波器組在實(shí)際應(yīng)用中，為了得到受精確的分解與方便計(jì)算，利用了迭代的方法，對(duì)下一級(jí)的濾波器采用梅花矩陣Q進(jìn)行上采樣來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于NSCT允許在每個(gè)尺度層主具有2l個(gè)方向分解，因而可以通過(guò)每隔一個(gè)尺度增加一倍方向的分解數(shù)目，使NSCT具有各向異性特性，因此NSCT能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)圖像的稀疏表示。因此，聯(lián)合NSPFB和NSDFB其分解結(jié)構(gòu)就如圖2-11所示。

29、2.4.3.3 NSCT濾波器設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn) NSCT濾波器的設(shè)計(jì)和小波濾波器設(shè)計(jì)原理大體相同。只是由信號(hào)的下采樣變成了濾波器的上采樣，具體實(shí)現(xiàn)為第二代小波中的提升法。從NSCT的構(gòu)造可以看出，NSCT的核心是不可分離的雙通道濾波器組。然而，這種結(jié)構(gòu)的下一級(jí)分解中的濾波器可以通過(guò)對(duì)上一級(jí)相對(duì)應(yīng)的濾波器進(jìn)行上采樣得到。NSCT采用FIR型濾波器，該型濾波器易多維實(shí)現(xiàn)。對(duì)于2-D(two-dimensional)雙通道FIR濾波器，首先要滿足精確重構(gòu)的Bezout恒等式。但是，具有緊支撐的FIR濾波器難以2-D實(shí)現(xiàn)。為了找到滿足一組精確重構(gòu)的2-D濾波器，NSCT放寬緊支撐約束而采用非緊支撐2-D F

30、IR濾波器，通過(guò)McClellan變換（一種映射方法）可將一組1-D濾波器（也稱為原型濾波器）轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的2-D濾波器。這種非緊支撐FIR濾波器具有線性相位，允許進(jìn)行邊界的對(duì)稱延拓。2.5 小波多尺度圖像融合框架 利用小波多尺度分解對(duì)圖像進(jìn)行融合，Li等人做過(guò)大量研究，其本質(zhì)主來(lái)講是把空域中像素的數(shù)據(jù)變換到小波域中，然后對(duì)其對(duì)應(yīng)的系數(shù)進(jìn)行映射得到融合圖像的小波系數(shù)，再反變換得到空域圖像。即它提取了圖像的小波特征，比如場(chǎng)景的目標(biāo)信息，圖像的輪廓細(xì)節(jié)信息。其融合規(guī)則一般把兩幅圖像分解成同樣的N尺度，那么將有3N+1幅子帶圖像，一幅低頻子帶和3N幅不同尺度的高頻子帶（超小波還可以對(duì)各高頻再進(jìn)行不同方

31、向的分解）。其一般的融合框圖如圖2-16所示。如果設(shè)兩幅圖分別為A圖與B圖，融合后的圖為F，其融合步驟如下： 1、根據(jù)圖像要融合的特征與總體復(fù)雜度確定可選用的小波基與分解的層數(shù)N，分別對(duì)兩幅圖像進(jìn)行同樣的離散小渡分解。 2、對(duì)不同的層的高頻小波系數(shù)分別進(jìn)行融合處理，同時(shí)對(duì)低頻小波系數(shù)進(jìn)行融合處理，最終得到整個(gè)的融合的小波系數(shù)。3、對(duì)整個(gè)的小波系數(shù)進(jìn)行反變換，即重構(gòu)得到最后融合的圖像。小波多尺度的圖像融合的物理意義主要有以下幾點(diǎn)： l、小波的多尺度分解與人眼視覺(jué)系統(tǒng)由粗到細(xì)的多分辨性是一脈相承。其分解圖像是這樣的，先得到圖像的低頻、粗糙的低頻特征信息和剩余高頻細(xì)節(jié)信息，再由低頻信息分解出某個(gè)更粗

32、糙的信息和另外次高頻的信息，這樣逐級(jí)分解。因此對(duì)不同尺度的高頻和低頻信息分別融合，就是對(duì)細(xì)節(jié)輪廓與基本背景信息進(jìn)行融合處理，這樣將得到較好視覺(jué)效果。 2、由小波的本質(zhì)可以知道，它對(duì)信號(hào)的奇異性非常敏感，以及較好的信號(hào)頻域和空域局部性。比如捕獲圖像中物體邊緣輪廓，同時(shí)還可以定位到某尺度的高頻的細(xì)節(jié)信息。而圖像中需要融合的特征的信息往往就包含于此。 3、小波的高頻信息具有方向性，人眼對(duì)不同方向的信息也是具有不同分辨率的，充分針對(duì)這一特性進(jìn)行融合處理，將會(huì)得到較好的效果。 4、一般來(lái)講，針對(duì)不同類型和不同目的的融合，處理時(shí)可以有針對(duì)性地處理某一個(gè)頻段，比如進(jìn)行突出、強(qiáng)化所感興趣的特征和細(xì)節(jié)。 5、小

33、波基的分解層數(shù)不宜過(guò)多，也不能太少。通常如果圖像分辨率不是非常高，不超過(guò)四層為宜。分解過(guò)多則有可能把原本圖像中具有幾何結(jié)構(gòu)信息強(qiáng)行分解，或者說(shuō)該小波分解不是圖像的最優(yōu)逼近或最稀疏表達(dá)，那幺會(huì)損失和丟失大量的有用信息，再進(jìn)行小波系數(shù)的融合處理，可能達(dá)不到預(yù)期的目的。2.6 小波多尺度圖像融合規(guī)則 l、平均法（即低頻取平均，高頻取最大） 即對(duì)低頻重要的主要能量信息進(jìn)行平均，使圖像的總體效果介于兩者之間，如果低頻信息變化不大則效果穩(wěn)健；而對(duì)高頻取最大的系數(shù)，使得細(xì)節(jié)輪廓、邊緣信息直接加強(qiáng)。即針對(duì)兩個(gè)不同頻率，一個(gè)線性處理，一個(gè)非線性處理。 2、基于局部方差 方差是數(shù)據(jù)中重要的特征統(tǒng)計(jì)量，它主要描述某

34、一區(qū)域的數(shù)據(jù)變化程度和分散程度，方差越大則數(shù)據(jù)整體偏離其平均值越大，反之越小。它能反映圖像細(xì)節(jié)和邊緣的信息量大小，而在小波系數(shù)中，高頻段系數(shù)的特征正好能代表圖像的細(xì)節(jié)和邊緣特征，因此，高頻段的方差能代表細(xì)節(jié)信息的多少。而以作為衡量融合結(jié)果的參考標(biāo)準(zhǔn)。其融合規(guī)則如下： 以當(dāng)前處理的圖像A中某個(gè)像素為中心，選取一個(gè)局部區(qū)域（邊緣像素用插值方法填充）計(jì)算它們的方差，對(duì)應(yīng)的B圖像也計(jì)算相同的區(qū)域大小的方差，取方差最大的圖像的高頻系數(shù)作為融合圖像的系數(shù)。而低頻系數(shù)用加權(quán)平均得到。 3、基于局部梯度一般圖像出現(xiàn)突變，或有較大變化的地方，都能由梯度值來(lái)反映。所以，梯度可以用來(lái)檢測(cè)高頻系數(shù)顯著特征（邊緣，輪廓等）信息。基于局部梯度的圖像融合規(guī)則為，以某點(diǎn)為中心，計(jì)算不同大小的鄰域或半徑的梯度值。取梯度最大的原圖像分解系數(shù)作為融合結(jié)果系數(shù)。同樣，常見(jiàn)的是奇數(shù)尺寸( 3x3，5x5，7x7)的Sobel最小濾波器掩膜。2.7 基于改進(jìn)局部Scharr算子的小波多尺度圖像融合法 在圖像融合中，圖像配準(zhǔn)的精確度直接影響圖像融合的結(jié)果，常見(jiàn)的有圖像平移和旋轉(zhuǎn)，同時(shí)在多尺度分解與重構(gòu)過(guò)程中，出現(xiàn)的模糊效應(yīng)也影