1、導體與電介質的不同，在于導體中存在大量的、做無規運導體與電介質的不同，在于導體中存在大量的、做無規運動的自由電荷。因此，在導體與外電場的相互作用中，即動的自由電荷。因此，在導體與外電場的相互作用中，即使外電場不太強，在達到靜電平衡狀態前，導體中自由電使外電場不太強，在達到靜電平衡狀態前，導體中自由電荷會發生宏觀的定向運動，從而出現短暫的宏觀電流。荷會發生宏觀的定向運動，從而出現短暫的宏觀電流。前兩章我們從研究靜電現象出發，建立了靜電場理論，并前兩章我們從研究靜電現象出發，建立了靜電場理論，并研究了靜電場與物質的相互作用而達到靜電平衡的狀態、研究了靜電場與物質的相互作用而達到靜電平衡的狀態、規律

2、和性質。一言以蔽之曰，我們已建立了靜電場理論。規律和性質。一言以蔽之曰，我們已建立了靜電場理論。人類的研究結果表明，磁現象與電流有關。人類的研究結果表明，磁現象與電流有關。于是，我們自然會想，能否在導體中形成持續的宏觀電流于是，我們自然會想，能否在導體中形成持續的宏觀電流？若然，相應的電場有何規律？若然，相應的電場有何規律？ 有否應用？有否應用？ 另一方面，人類首先注意到的與靜電現象不同的簡單另一方面，人類首先注意到的與靜電現象不同的簡單電磁現象是磁石吸鐵，即磁現象。電磁現象是磁石吸鐵，即磁現象。磁現象的本質是什么？我們能否像已經對靜電現象所磁現象的本質是什么？我們能否像已經對靜電現象所做的那

3、樣，對磁現象也進行類似的思考與研究？做的那樣，對磁現象也進行類似的思考與研究？本章，我們就來研究電流與磁現象，回答上述中的一些基本問題。本章，我們就來研究電流與磁現象，回答上述中的一些基本問題。第十四章第十四章電流與磁電流與磁 場場 第第 14 章章 電流與磁場電流與磁場穩穩恒恒磁磁場場如何描述如何描述14.2 磁場及其基本描述量磁場及其基本描述量如何確定如何確定14.3 畢奧畢奧薩伐爾定律薩伐爾定律特征及規律特征及規律14.4 磁場的基本規律磁場的基本規律磁磁場場力力對載流線對載流線14.5 磁場對電流的作用磁場對電流的作用對運動電荷對運動電荷14.6 帶電粒子的運動與磁場帶電粒子的運動與磁

4、場磁場的源磁場的源14.1 電流與電源電流與電源電流的形成電流的形成及其描述及其描述一、電流一、電流1 1）、傳導電流）、傳導電流金屬導體：自由電子金屬導體：自由電子電解質溶液：正、負離子電解質溶液：正、負離子2 2）、）、 運流電流運流電流分子中電子繞原子核的運動，等效為圓電流。分子中電子繞原子核的運動，等效為圓電流。分子的等效電流稱為分子的等效電流稱為或或。電流：電流：指電荷的定向運動指電荷的定向運動載流子載流子:在電場力作用下能發生定向運動的帶電粒子在電場力作用下能發生定向運動的帶電粒子在電場力作用下電荷的定向運動在電場力作用下電荷的定向運動導電的氣體：正、負離子和電子導電的氣體：正、負

5、離子和電子半導體：電子和空穴半導體：電子和空穴等離子體：正、負離子等離子體：正、負離子帶電介質或介質中的帶電部分不是由于電場帶電介質或介質中的帶電部分不是由于電場作用而在空間中形成的電流或單個或多個電作用而在空間中形成的電流或單個或多個電荷在空間中宏觀范圍內的定向運動荷在空間中宏觀范圍內的定向運動3 3）、）、 微觀電流微觀電流物質微觀組成結構中帶電粒子在其所屬結構物質微觀組成結構中帶電粒子在其所屬結構的空間范圍中的運動的空間范圍中的運動研究電流的形成與維持研究電流的形成與維持二、持續電流的形成二、持續電流的形成 1、靜電場不可能在導體中形成持續電流、靜電場不可能在導體中形成持續電流靜電場的電

6、力線不閉合，總有端點，在任一電力線上總是靜電場的電力線不閉合，總有端點，在任一電力線上總是一端電勢高，另一端電勢低。一端電勢高，另一端電勢低。當金屬導體處于靜電場中之初時，金屬導體所在空間區域當金屬導體處于靜電場中之初時，金屬導體所在空間區域中一定存在電勢最高和最低的地方，自由電子將向靜電場中一定存在電勢最高和最低的地方，自由電子將向靜電場中電勢高的地方漂移運動，從而形成電荷的宏觀運動。中電勢高的地方漂移運動，從而形成電荷的宏觀運動。在自由電子受靜電場力作用而漂移的過程中，金屬導體中在自由電子受靜電場力作用而漂移的過程中，金屬導體中電勢較高的地方將有自由電子不斷堆積而有宏觀的負電荷電勢較高的地

7、方將有自由電子不斷堆積而有宏觀的負電荷分布，電勢較低的地方有宏觀的正電荷分布。分布，電勢較低的地方有宏觀的正電荷分布。0d LlE靜電平衡靜電平衡: 電荷靜止，電荷靜止， 導體內場強為零。導體內場強為零。自由電子因靜電場獲得的能量一般不足以使之由高電勢處自由電子因靜電場獲得的能量一般不足以使之由高電勢處運動回到低電勢處，或脫離金屬導體而運動到導體外部！運動回到低電勢處，或脫離金屬導體而運動到導體外部！自自由由電電子子不不斷斷與與導導體體中中的的格格點點碰碰撞撞而而損損失失能能量量超導體？超導體？ 這些電荷分這些電荷分布激發的電場將削弱原靜電場，從而自由電子向電勢較高布激發的電場將削弱原靜電場，

8、從而自由電子向電勢較高地方的漂移運動將減慢，直至導體內場強為零，自由電子地方的漂移運動將減慢，直至導體內場強為零，自由電子不再漂移。此時導體與靜電場平衡。不再漂移。此時導體與靜電場平衡。二、持續電流的形成二、持續電流的形成 2、形成持續電流的條件、形成持續電流的條件2）、在導體內建立靜電場）、在導體內建立靜電場1）、有閉合導體回路）、有閉合導體回路+-基本基本條件條件閉合導體回路閉合導體回路+靜電力靜電力3 3）、需要）、需要非靜電力非靜電力( (利用機械的利用機械的、化學的、化學的、 熱的、磁的或光的作用機制等熱的、磁的或光的作用機制等) )做做功，功， 使自由電子從電勢高的地方回到電勢低使

9、自由電子從電勢高的地方回到電勢低 的地方，以維持導體內部的電場不為零。的地方，以維持導體內部的電場不為零。因靜電場滿足：因靜電場滿足：0d LlE及自由電子會不斷與導體格點碰撞，及自由電子會不斷與導體格點碰撞，所以，上述基本條件不可能使自由電子沿閉合導體回路所以，上述基本條件不可能使自由電子沿閉合導體回路持續地漂移而形成持續電流。持續地漂移而形成持續電流。+靜電力靜電力 非靜電力非靜電力能提供非靜電力的裝置能提供非靜電力的裝置？電源外部：電源外部：提供靜電場，靜電力使正提供靜電場，靜電力使正電荷從電勢高的地方向電電荷從電勢高的地方向電勢低的地方運動。勢低的地方運動。電源內部：電源內部：兩種力同

10、時存在！方向相反。兩種力同時存在！方向相反。電源不斷通過非靜電力反抗靜電力對正電荷做功，電源不斷通過非靜電力反抗靜電力對正電荷做功，使正電荷從電勢低的地方（使正電荷從電勢低的地方（電源負極電源負極）再回到電勢）再回到電勢高的地方（高的地方（電源正極電源正極），維持導體兩端的電勢差，），維持導體兩端的電勢差，即維持外電路兩端的電壓，形成持續電流。即維持外電路兩端的電壓，形成持續電流。+-+靜電力靜電力+靜電力靜電力 非靜電力非靜電力三、電源三、電源 能提供非靜電力的裝置能提供非靜電力的裝置注意：電勢是描述靜電場的物理量注意：電勢是描述靜電場的物理量LlEdK定義電源定義電源非靜電力非靜電力把單位

11、正電把單位正電荷荷由負極由負極經電源內部移經電源內部移向正極過程中所做的功向正極過程中所做的功qFEKK非靜電力場強度非靜電力場強度2 2、電源電動勢、電源電動勢非靜電力非靜電力KF電動勢反映電源作功電動勢反映電源作功本領的大小。本領的大小。lEdK當回路中有多個電源時或非靜當回路中有多個電源時或非靜電力存在于整個導體回路時：電力存在于整個導體回路時：+-+靜電力靜電力+靜電力靜電力 非靜電力非靜電力刻畫電源內非靜電力做功本領的物理量刻畫電源內非靜電力做功本領的物理量電動勢是標量。電動勢是標量。在導體回路中，各個電源的在導體回路中，各個電源的正負極不一定依次順接，故正負極不一定依次順接，故有必

12、要給電源電動勢規定一有必要給電源電動勢規定一個正方向。個正方向。常規定電動勢的正方向常規定電動勢的正方向由電源負極指向正極。由電源負極指向正極。一、電流強度一、電流強度把單位時間內通過導體任一橫截面的電量定把單位時間內通過導體任一橫截面的電量定義為導體內的電流強度義為導體內的電流強度, ,常用符號常用符號I I表示表示電流強度是標量，但電流是有方向的，習慣上，電流強度是標量，但電流是有方向的，習慣上，規定帶正電的載流子運動的方向為電流的正方向規定帶正電的載流子運動的方向為電流的正方向tqItlim0tqdd導體內導體內電流強度與時間無關時，則稱導體內通有電流強度與時間無關時，則稱導體內通有研究

13、電流的描述研究電流的描述SISI單位單位: : 安培安培 A A導體內的電流強度表征導體內所載電流的強弱。導體內的電流強度表征導體內所載電流的強弱。上面電流強度的定義可推廣到導體中的任一曲面，上面電流強度的定義可推廣到導體中的任一曲面，即，可定義通過導體內任一曲面的電流強度。即，可定義通過導體內任一曲面的電流強度。一般情況下，導體內的電流強度隨時間變化，電流的一般情況下，導體內的電流強度隨時間變化，電流的方向也隨時間變化，電流可能連續，也可能不連續。方向也隨時間變化，電流可能連續，也可能不連續。勻速圓勻速圓周運動周運動的點電的點電荷的等荷的等效電流效電流強度強度vIpR2q一切物理量均不隨時間

14、變化！一切物理量均不隨時間變化！二、電流密度矢量二、電流密度矢量因此，需要引入精確描述導體中電流的空間分布的物理量因此，需要引入精確描述導體中電流的空間分布的物理量類似于把河流中的流水看作水流線充滿的空間一樣，類似于把河流中的流水看作水流線充滿的空間一樣，可把載有電流的導體看作是充滿電流線的空間。可把載有電流的導體看作是充滿電流線的空間。顯然，一般情況下，載有電流的導體中各處顯然，一般情況下，載有電流的導體中各處的電流線疏密情況和電流方向各不相同，因的電流線疏密情況和電流方向各不相同，因此，電流強度只是粗略刻畫了導體中電流的此，電流強度只是粗略刻畫了導體中電流的整體強弱情況，未能精確描述導體中

15、各處電整體強弱情況，未能精確描述導體中各處電流的強弱和方向。流的強弱和方向。這個物理量就是這個物理量就是電流密度矢量電流密度矢量Stqjddd|SjId|d2. 2. 電流密度和電流強度的關系電流密度和電流強度的關系SSjId方向規定為：方向規定為：SjdnddeSIjcosd|Sj電流強度是電流密度對導體截面電流強度是電流密度對導體截面 的的通量通量。1 1、 電流密度矢量的定義電流密度矢量的定義SdSdtqIddd 電流場：電流場：導體內每一點都有對應的導體內每一點都有對應的),(tzyxj二、電流密度矢量二、電流密度矢量載流導體中任一點的載流導體中任一點的電流密度矢量電流密度矢量 單位時

16、間內流過該點所在的、單位時間內流過該點所在的、且與該點正電荷定向移動方向垂直的單位面積且與該點正電荷定向移動方向垂直的單位面積截面的電量。截面的電量。大小定義為：大小定義為：該點正電荷定向移動的方向該點正電荷定向移動的方向。SIddneJJJJJ為任一曲面時：為任一曲面時：I I可能為負可能為負能流能流能流密度能流密度電流均勻時電流均勻時SIj三、電流連續性方程三、電流連續性方程由電荷守恒定律：由電荷守恒定律：0dSSj穩恒電流條件：穩恒電流條件：Sj線線0ddtqinS均勻電流：導體中各處的電流密度矢量相同均勻電流：導體中各處的電流密度矢量相同穩恒電流：穩恒電流：0ddtqinS對任意一個閉

17、合曲面對任意一個閉合曲面 乃自然界的精確規律之一乃自然界的精確規律之一電荷不可能產生，也不可能消滅電荷不可能產生，也不可能消滅單位時間內流出單位時間內流出的電量一定等于的電量一定等于該面內該面內單位時間單位時間內內電荷的減少量電荷的減少量tqinSddSj dS導體中各處的電流密度矢量不隨時間變化導體中各處的電流密度矢量不隨時間變化一切物理量均不隨時間變化！一切物理量均不隨時間變化！電流連續性方程電流連續性方程四、金屬導體中的電流密度矢量與載流子的平均漂移速度四、金屬導體中的電流密度矢量與載流子的平均漂移速度在導體兩端加上電壓時，會在導體兩端加上電壓時，會在導體內部形成在導體內部形成。在這種在

18、這種自由自由電子將有電子將有。 設每個載流子電量為設每個載流子電量為:q載流子數密度為載流子數密度為:n 平均漂移速度的大小平均漂移速度的大小:dv電子漂移方向電子漂移方向Evd t SdvjI d金屬導體中自由電子在做熱運金屬導體中自由電子在做熱運動動, ,并不斷地與并不斷地與晶格離子碰撞。晶格離子碰撞。與與晶格離子的碰撞使自由晶格離子的碰撞使自由電子不能被電子不能被很小。很小。在載流導體中任一點處沿電流密度方向取一柱體元在載流導體中任一點處沿電流密度方向取一柱體元平均速度的統計平均值平均速度的統計平均值電流的簡化圖像：電流的簡化圖像： 在各處的所有電在各處的所有電子以該處的平均漂移速度運動

19、子以該處的平均漂移速度運動考考慮慮某某個個載載流流導導體體tStvnqI)(ddSIjd矢量式矢量式dvnqj, 0qjdv（1）同向同向Sqnv d, 0qdv（2）反向反向jdnqv 設每個載流子電量為設每個載流子電量為:q載流子數密度為載流子數密度為:n 平均漂移速度的大小平均漂移速度的大小:dv在載流導體中任一點處沿電流密度方向取一柱體元在載流導體中任一點處沿電流密度方向取一柱體元多種電荷參與導電的情形多種電荷參與導電的情形與與與與 SdvjI dvd tnqe電荷體密度電荷體密度dvedvq具有量綱具有量綱Amiiiivqnjd五、五、歐姆定律的歐姆定律的“微分形式微分形式”mEea

20、碰撞過程可忽略外電場力，碰撞過程可忽略外電場力，考慮金屬導體，考慮金屬導體，導體中載流子的平均漂移速度應與導體中的電場有關導體中載流子的平均漂移速度應與導體中的電場有關因而，導體中任一點的電流密度應與該點電場場強有關因而，導體中任一點的電流密度應與該點電場場強有關則載流子為自由電子則載流子為自由電子自由電子在導體中做熱運動，且不斷與晶格碰撞，自由電子在導體中做熱運動，且不斷與晶格碰撞，, eqdvenj?dv在無外電場時，在無外電場時， 在在相鄰相鄰兩次碰撞之間，自由電子自由飛行兩次碰撞之間，自由電子自由飛行當有外電場時，當有外電場時， 在在相鄰相鄰兩次碰撞之間，自由電子的加速度為兩次碰撞之間

21、，自由電子的加速度為晶格很密，自由程小，可近似認為飛行時外電場均勻晶格很密，自由程小，可近似認為飛行時外電場均勻設與晶格碰后離開速度為設與晶格碰后離開速度為0v則到再碰時刻則到再碰時刻t的的位移位移為為2/20t atvr對包含某點的微小區域內的大量電子求平對包含某點的微小區域內的大量電子求平均速度的統計平均值，有均速度的統計平均值，有2/0tavv故由于碰撞的隨機性，有故由于碰撞的隨機性，有00 v t乃自由電子的自由飛行時間的統計平均值，乃自由電子的自由飛行時間的統計平均值，近似等于自由電子的平均自由程與熱運動平均速率的比值近似等于自由電子的平均自由程與熱運動平均速率的比值vt故得故得Em

22、eavv22ddvenjEmne22載流子的遷移率載流子的遷移率dvnqj經經典典圖圖像像)(1014m/s 勻速勻速平均速度平均速度tv/eq一般一般平均速度的統平均速度的統計平均值計平均值五、五、歐姆定律的歐姆定律的“微分形式微分形式”考慮金屬導體，考慮金屬導體，導體中載流子的平均漂移速度應與導體中的電場有關導體中載流子的平均漂移速度應與導體中的電場有關因而，導體中任一點的電流密度應與該點電場場強有關因而，導體中任一點的電流密度應與該點電場場強有關則載流子為自由電子則載流子為自由電子, eqdvenj?dvdvnqjEmqv2dEmnqj22mnq22E多種電荷參與導電的情形多種電荷參與導

23、電的情形在載流導體中任一點處沿電流密度方向取一柱體元在載流導體中任一點處沿電流密度方向取一柱體元IdSdl dVVVdjSjIddSjdSEdlSlEddd)d/(ddSlV則對一長為則對一長為d dl、截面為、截面為S S和載流均勻的導體元，和載流均勻的導體元，VSlIddSSSjIIddSSjdSSjd有有jSESlSlEdd)/(ddSlV對一段長為對一段長為l的的載流均勻的導體，有載流均勻的導體，有llVSlIddVlSlRdVIR此即歐姆定律此即歐姆定律此為歐姆定律的微分形式此為歐姆定律的微分形式 電導率電導率 其倒數叫電阻率其倒數叫電阻率1Emeavv22dEmnej22設所載電流

24、穩恒設所載電流穩恒II1I2I六、焦耳定律的微分形式六、焦耳定律的微分形式電場力作功功率電場力作功功率(對單位體積內對單位體積內 的載流子的載流子)ddvEnqvf則熱功率則熱功率密度：密度：2EwRIP2焦耳定律焦耳定律由于晶格離子對電子的碰撞，使電子損失能量，由于晶格離子對電子的碰撞，使電子損失能量，晶格離子獲得能量，并以熱量的形式釋放出來。晶格離子獲得能量，并以熱量的形式釋放出來。在平衡狀態下，電場力作功與導體釋放的熱量相等。在平衡狀態下，電場力作功與導體釋放的熱量相等。EvnqdEjEE2E焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式END本頁不要求本頁不要求當空間中存在穩恒電流時當空間中存在

25、穩恒電流時1 1、電源兩極、電源兩極、載流載流導體不均勻處及某些表面處有凈余導體不均勻處及某些表面處有凈余電荷。但在任一有電荷。但在任一有凈余電荷分布的區域里，凈余電荷分布的區域里， 流進流出的流進流出的電量相同，因此，空間中（包括導體區域）宏觀凈余電電量相同，因此，空間中（包括導體區域）宏觀凈余電荷分布確定，與時間無關。荷分布確定，與時間無關。電流穩恒條件電流穩恒條件0dSSj七、穩恒電流電路七、穩恒電流電路2 2、分布在電源兩極、分布在電源兩極、載流載流導體不均勻處及某些表面處導體不均勻處及某些表面處的凈余電荷決定空間中的電場，因而，場強分布與時間的凈余電荷決定空間中的電場，因而，場強分布

26、與時間無關。穩恒電流電路的電場叫做穩恒電場，與靜電場規無關。穩恒電流電路的電場叫做穩恒電場，與靜電場規律相同：律相同：GaussGauss定理和環流定理。導體內電場場強不為定理和環流定理。導體內電場場強不為零，導體表面附近場強一般也不與表面垂直。零，導體表面附近場強一般也不與表面垂直。載流回路中電荷定向運動。載流回路中電荷定向運動。0ddtqinSI12ISab0 j0ddbaSbbSaaSjSjajbjIIIba1j2j兩不同導體交界面兩側兩不同導體交界面兩側02211SdjSdj0dd21SjSj21jj 均勻導體內的場強平行于導體表面。均勻導體內的場強平行于導體表面。Ej 0in E0i

27、n2211EE導電介質導電介質ED aSdaSd0d LlElEELd)(K而而LlEdK3 3、閉合電路的環流定理、閉合電路的環流定理對穩恒電場：對穩恒電場：閉合電路的環流定理閉合電路的環流定理（1）在電源內部）在電源內部歐姆歐姆定律定律推廣推廣)(KEEj（2）在電源外部）在電源外部0KEEj本頁不要求本頁不要求一段含源電路一段含源電路計算計算ab、兩端的電勢差：兩端的電勢差：baablEVVdcalEd ) 1 (4 4、穩恒電流、穩恒電流電路中兩點的電勢差電路中兩點的電勢差bccabalElElEdddljcadcaslIdcaRIdIR)(Ejljcadlsjscad。 r ,RIc

28、ba。 本頁不要求本頁不要求bclEd ) 2(dlsjsbc IrbcrId)( KEEJKEJEIRlEcad ) 1 (lEjKbcd)(bclEdK。 r ,RIcba。 本頁不要求本頁不要求baablEVVdIR IrbccalElEdd IrbcrIdIRlEcad ) 1 (本頁不要求本頁不要求0abVV對于閉合電路，可將對于閉合電路，可將 看作一點。看作一點。ba,0IrIR閉合電路的歐姆定律閉合電路的歐姆定律5 5、閉合、閉合電路歐姆定律電路歐姆定律IrIRVVab0iiiiiir IRI當回路有多個電當回路有多個電阻和電源時：阻和電源時：。 r ,RIcba。 本頁不要求本

29、頁不要求。11,r1RI。 22,r2Rba簡單電路（如圖所示）簡單電路（如圖所示）設電路中有如圖示電流。設電路中有如圖示電流。依據閉合電路的歐姆定律依據閉合電路的歐姆定律：0222111IRIrIrIR221121RrrRI討論討論（1）如果）如果 I 0，電路中電流如圖所示；，電路中電流如圖所示；（2）如果）如果 I 0, 磁力線穿出磁力線穿出0, 磁力線穿入磁力線穿入傳導電流：傳導電流：lId由畢奧由畢奧薩伐爾定律：薩伐爾定律：30d4drrlIB p p S0d)(dsSBd任意電流系統可分為任意電流系統可分為21d,dlIlI各自產生磁場各自產生磁場21d,dBB通過閉合面之磁通量通

30、過閉合面之磁通量21d,d 通過閉合面之總磁通量通過閉合面之總磁通量 21mdddSSB0 此結論對運動電荷及永久磁體的磁場也成立！此結論對運動電荷及永久磁體的磁場也成立！微電流元的磁場通過閉曲面微電流元的磁場通過閉曲面S的磁通的磁通1B1dS2B2dS|12BB磁力線管磁力線管:B二、磁高斯定理二、磁高斯定理 穩恒磁場高斯定理：穩恒磁場高斯定理：sSB0dsSBd2211SdBSdB2211dSBdSB0BBBBI長直密繞螺線管的磁場長直密繞螺線管的磁場二、磁高斯定理二、磁高斯定理 穩恒磁場高斯定理：穩恒磁場高斯定理：sSB0dz軸線上軸線上zenIB00O載流體系的軸對稱性載流體系的軸對稱

31、性zzpeBeBeBB)()()(npBBzBR下S側S上S取同軸封閉柱面為取同軸封閉柱面為Gauss面面0dddd下側上SBSBSBSBs下上SBSBddlBSBSBp2)(d)(d側側l02)(ddlBSBSBsp側0)(BzzpeBeBB)()(考慮任意場點考慮任意場點pzzpeBeBeBzB),(并總可設并總可設進一步用環路定理可得前述結論進一步用環路定理可得前述結論略略二、磁高斯定理二、磁高斯定理 SSB0dGauss定理定理0 Bxkxjxi 磁場為無源場！磁場為無源場！線線無無頭頭無無尾尾B穩恒磁場穩恒磁場靜電場靜電場 sqSE0/d Gauss定理定理0/ E靜電場為有源場！靜

32、電場為有源場！線出自正電荷，線出自正電荷， 聚于負電荷聚于負電荷E磁場與電場不同等的磁場與電場不同等的原因：自然界無磁單極原因：自然界無磁單極狄拉克磁單極狄拉克磁單極（1931年，至今年，至今未發現）未發現）, SVSdAdVA德國柏林亥姆霍茲材料與能源研究中心與來自德累斯頓德國柏林亥姆霍茲材料與能源研究中心與來自德累斯頓、圣安德魯斯、拉普拉塔和牛津的研究人員在、圣安德魯斯、拉普拉塔和牛津的研究人員在2009年年9月月于柏林進行的中子散射實驗中，找到了自旋冰中磁單極于柏林進行的中子散射實驗中，找到了自旋冰中磁單極子的類似物，但這并非狄拉克所預言的基本粒子。子的類似物，但這并非狄拉克所預言的基本

33、粒子。/wiki/Spin_ice二、磁高斯定理二、磁高斯定理 通過任意閉合曲線通過任意閉合曲線L的磁通量的磁通量如圖，以該閉合曲線如圖，以該閉合曲線L為邊界為邊界作任意兩個不相交的曲面作任意兩個不相交的曲面S1、S2。它們的各個面元方向。它們的各個面元方向分別如圖所定。顯然，它們組分別如圖所定。顯然，它們組成一個閉曲面成一個閉曲面S。由磁高斯定理。由磁高斯定理有有 0d SSB0dd2121 SSSBSB故故 2121ddSSSBSB因因S1、S2任意，所以閉合曲線任意，所以閉合曲線L決定了通過以它為邊界決定了通過以它為邊界的任何曲面的磁通量，從而

34、，可稱之為通過該閉合曲的任何曲面的磁通量，從而，可稱之為通過該閉合曲線線L的磁通量。的磁通量。磁矢勢磁矢勢A三三 、安培環路定理、安培環路定理靜電場：靜電場： llE0dStokes定理定理0 E無旋場無旋場單位正點電荷沿單位正點電荷沿l運動時電場力所做的功運動時電場力所做的功穩恒磁場：穩恒磁場：BlldlBd llBd環量環量? 物理意義為何？物理意義為何？若任選一根磁力線為閉合回路若任選一根磁力線為閉合回路 llBd llBd0 對任意閉合回路的情形對任意閉合回路的情形, 由畢由畢薩薩定律可得結果定律可得結果安培環路定理安培環路定理。不知道。不知道。下面通過以長直電流的磁場為例來下面通過以

35、長直電流的磁場為例來研究這個問題研究這個問題,并作為該并作為該定理的定理的說明。說明。長直電流的磁場的環量：長直電流的磁場的環量：安培安培環路環繞載流線一次環路環繞載流線一次（一次鏈套）：（一次鏈套）：IllldrB e p p erIB20 cosddlBlB d dBr llBd lI p p d20I0 l 繞向相反或電流反向，繞向相反或電流反向，IlBl0d N次鏈套：次鏈套：llBd dddreerlr極坐標系極坐標系ddrle平面安培環路：平面安培環路：此對空間安培環路情形亦成立。此對空間安培環路情形亦成立。lBrdpd20rrIlIN0pp220NI非非鏈套情形鏈套情形(回路不環

36、繞任何載流線回路不環繞任何載流線)：lba1l2l2211ddd21lBlBlBlll )dd(221210 llI p p 0 任意安培任意安培環路環路的非的非鏈套情形：鏈套情形： llB0d空間有多個電流：空間有多個電流：I2IiI6I1I5l llBd jjBBlBljjd jljlBd iiI0 iiI0 iiI：被積分回路所鏈套的電流強度之代數和被積分回路所鏈套的電流強度之代數和1 1B1dl1d 2 2B2dl2d 安培環路定理安培環路定理 iilIlB0d iI：被積分回路所鏈套的電流強度被積分回路所鏈套的電流強度;注意：注意：1. 代數和代數和, 例如例如(見圖見圖),3I1I

37、2I)(d210IIlBl由由所所有有電電流流共共同同產產生生B但安培環路定理表達式中的電流但安培環路定理表達式中的電流強度是指穿過閉合曲線的電流，強度是指穿過閉合曲線的電流，不包括閉合曲線以外的電流。不包括閉合曲線以外的電流。2. 安培環路定理可嚴格證明，上述只是說明。安培環路定理可嚴格證明，上述只是說明。3. iilIlB0d Stokes定理定理jB0磁場為有旋場！磁場為有旋場！電流是磁場的渦旋中心電流是磁場的渦旋中心!4. 僅適用穩恒電流產生的磁場。僅適用穩恒電流產生的磁場。5. 可用于確定具有某些對稱性的載流系統的磁場分布。可用于確定具有某些對稱性的載流系統的磁場分布。磁場無源有旋。

38、磁場無源有旋。 LSl dASdA)(SlSdjlB0d長直密繞螺線管的磁場長直密繞螺線管的磁場不能引入標量函數來描述磁場！不能引入標量函數來描述磁場！同軸電纜同軸電纜 RjrjrlBl2 dp載流柱體載流柱體lII 1l2lI長直密繞螺線管的磁場（例長直密繞螺線管的磁場（例14-5）z軸線上軸線上zenIB00OnpBBzBR下S側S上Sl0)(BzzpeBeBB)()(考慮任意場點考慮任意場點pzzpeBeBeBzB),(并總可設并總可設安培環路定理安培環路定理 iilIlB0d 1l常量常量1lp2)(d11BlBlzzpeBB)(2l2labinzBB)(3lab3loutzBB)(常

39、量常量nIBBin004l4labnbIbBbBoutin00outBzpenIB0（管內）（管內）0pB（管外）（管外）00Bea/zeb/120)()(2122bBbBdlBzzl略略繞軸勻轉的勻繞軸勻轉的勻電柱面、柱體電柱面、柱體對稱性分析對稱性分析(見圖見圖,俯視俯視)例例14-4 無限長圓柱面上直電流的磁場無限長圓柱面上直電流的磁場RI安培環路定理的應用安培環路定理的應用解：解：PBdBdIdIdro磁場分布的對稱性：磁場分布的對稱性： 線為圓心在線為圓心在載流柱面的軸上且垂直于該軸的圓載流柱面的軸上且垂直于該軸的圓B取圓心在柱軸、圓面垂直于柱軸取圓心在柱軸、圓面垂直于柱軸且半徑為且

40、半徑為r的圓周為安培環路的圓周為安培環路,則則IlBl0 d )( , 20RrrIB p p 此相當于電流全部集中于柱軸的情形此相當于電流全部集中于柱軸的情形)( , 0RrB Br曲線如圖。曲線如圖。rBRoRIp p 20討論：柱對稱分布的均勻載流體。討論：柱對稱分布的均勻載流體。補償法：習題補償法：習題14-15，14-18IrBlBl02 d p p 長直載流線長直載流線 p p erIB20 長直電流磁場長直電流磁場1、分析磁場分、分析磁場分 布的對稱性布的對稱性2、適當選擇安、適當選擇安 培環路培環路3、運用安培環、運用安培環 路定理路定理步驟：步驟：llBdrINBp2002d

41、rBlBlp0 B環內：環內：環外：環外：解：解：空心圓環上的螺旋形線圈（螺繞環）電流的磁場。空心圓環上的螺旋形線圈（螺繞環）電流的磁場。補充例補充例安培環路定理的應用安培環路定理的應用設密繞設密繞N圈，載流圈，載流I，如圖，如圖若環細，若環細， r可近似為平均半徑可近似為平均半徑R 。磁場分布與電流分布具有相同的磁場分布與電流分布具有相同的軸對稱性，磁力線為與環共軸的軸對稱性，磁力線為與環共軸的圓周。圓周。單位長度匝數單位長度匝數討討論論1、環截面可不是圓周，如，托卡馬克的螺繞環截面為豆形；、環截面可不是圓周，如，托卡馬克的螺繞環截面為豆形；2、長螺線管與螺繞環有類似結果，但管內磁場總是勻強

42、。、長螺線管與螺繞環有類似結果，但管內磁場總是勻強。nI0 此載流體系具有軸對稱性，可類似于長直螺線管進行分析。此載流體系具有軸對稱性，可類似于長直螺線管進行分析。取之為安培環路，則取之為安培環路，則1R2RINr?磁感應強度分布的對稱性及其與截面形狀無關。磁感應強度分布的對稱性及其與截面形狀無關。rBp2llBdNI0 ：電流線密度電流線密度lI ddBddBllBd1012lBl 20 BBabcd1l2l無限大平面電流的磁場。無限大平面電流的磁場。例例14-6 解：解：單位長度的電流強度單位長度的電流強度對于矩形回路對于矩形回路lI無限大載流面兩側為兩個磁場方向無限大載流面兩側為兩個磁場

43、方向相反的相反的勻強勻強磁場區域。磁場區域。討論：討論：長直載流螺線管長直載流螺線管nI對載流面對稱的面上的對載流面對稱的面上的B大小相等大小相等 又叫面電流密度又叫面電流密度勻流柱面勻流柱面RIp2/LI /均勻軸流柱體？均勻軸流柱體？2/ RIjp2/dRrIp 11d2llB22d2llB10 lB垂直于載流面，且等分為二垂直于載流面，且等分為二 1、兩無限大平行載流面：、兩無限大平行載流面： 1)、電流同向：中間磁場為零；、電流同向：中間磁場為零；2)、電流反向：兩側磁場為零。、電流反向：兩側磁場為零。2、無限大載流厚板：、無限大載流厚板： 載流面疊加載流面疊加第十二次平時作業第十二次

44、平時作業PZ45：習題：習題14: 14-12;共共6題題PZn：表示第表示第n道平時作業題道平時作業題各次所布置的平時作業題將連續排序各次所布置的平時作業題將連續排序PZ44：習題：習題14: 14-11;PZ47：習題：習題14: 14-14;PZ46：習題：習題14: 14-13;PZ49：習題：習題14: 14-19。PZ48：習題：習題14: 14-18;14.5 磁場對載流導線的作用磁場對載流導線的作用一、安培力公式一、安培力公式一個載流子受力：一個載流子受力：BvqF L)(ddBvqlnSF vnqj SjI jl/dBlIBjlSF d)(dd llBlIFF)d(d電流元受

45、力：電流元受力：1、載流導體所受磁力的、載流導體所受磁力的Lorentz力本質：力本質：定向運動的自由電子受定向運動的自由電子受Lorentz力而附加側向運動力而附加側向運動自由電子因與導體晶格不斷碰撞而給導體以側向沖量自由電子因與導體晶格不斷碰撞而給導體以側向沖量大量自由電子所施側向沖量的結果表現為載流體受到磁力大量自由電子所施側向沖量的結果表現為載流體受到磁力Ampere力乃大量自由電子力乃大量自由電子Lorentz力之和力之和2、安培力公式、安培力公式勻強勻強磁場中的直電流磁場中的直電流 sinIBlF 教材教材P69略略略略BlIdFdllBlIdFdF例例14-7 求勻強磁場中載流導

46、線受力。求勻強磁場中載流導線受力。BABl解：解：l lBlIF)d(BlIl )d(BABI 在均勻磁場中，一段載流曲線和在均勻磁場中，一段載流曲線和 相應的相應的AB 段直電流受力相同！段直電流受力相同！顯然，在均勻磁場中，任一顯然，在均勻磁場中，任一閉合閉合載流曲線受力為零！載流曲線受力為零！考慮在均勻磁場中的半徑為考慮在均勻磁場中的半徑為R的載流圓環，如圖，的載流圓環，如圖，設想其被設想其被AB所在直線截成兩個半圓所在直線截成兩個半圓BABRI則則AB下方那下方那個半圓所受磁場力與載有相同個半圓所受磁場力與載有相同電流電流強度且方向如圖的強度且方向如圖的AB線段所受磁場力大線段所受磁場

47、力大小相等方向相反，大小為小相等方向相反，大小為2RBI這兩這兩個半圓所受磁場力是一對平衡力個半圓所受磁場力是一對平衡力其中任一半圓所受平衡力則是該其中任一半圓所受平衡力則是該半圓所受半圓所受磁場力和另一半圓在兩個端點處所施的等大磁場力和另一半圓在兩個端點處所施的等大拉力，即圓環中張力。拉力，即圓環中張力。TTIBRT Ampere力公式力公式BlIdFd長直電流磁場中的載長直電流磁場中的載流線所受流線所受Ampere力力I1I2 BFF共面共面2212ddlIBF 單位長度單位長度受力：受力：aIIIBlFp p 2dd2101211 aIIIBlFp p 2dd2102122 1A的定義：

48、的定義：/mA1211N/m102207 p p 270N/A104 p p 同同時時確確定定：1dF2dFa補充例補充例 求兩平行長直載流線間的相互作用力。求兩平行長直載流線間的相互作用力。 解：解：電流同向相吸電流同向相吸,異向相斥異向相斥真空中兩條截面積可略的相距真空中兩條截面積可略的相距1米的平行長圓直米的平行長圓直載流線間相互作用力每米長度上為載流線間相互作用力每米長度上為210-7N時時,則則每根導線中的電流為每根導線中的電流為1A。1I2I22dlI11dlIdIB 20p p BlIdFd二二 、載流線圈在磁場中受到的磁力矩、載流線圈在磁場中受到的磁力矩(Ampere力矩力矩)

49、勻強磁場中的剛性矩形載流線圈勻強磁場中的剛性矩形載流線圈 如圖，邊長如圖，邊長l2與磁場強垂直與磁場強垂直 sin111BIlFF 222BIlFF cos12lFM N 匝：匝：NISmmBNBISM sinsin 磁力矩：磁力矩：BmBemM n磁矩 1F2F1l2lBI由右手定則根據電流繞向由右手定則根據電流繞向 規定線圈正法向規定線圈正法向一般情形亦成立一般情形亦成立討論：討論：1、力矩與力矩與 ;2、邊長、邊長l1、 l2與磁感應強度均不垂直與磁感應強度均不垂直比較：比較：EpM ne （俯視）（俯視）B1lne 2F2FM cos21lBIlcosBISsinBISB沿水平線沿水平

50、線2l鉛直鉛直1l水平面水平面1F2F 11 FF、鉛直共線鉛直共線22 FF、水平、不共線水平、不共線在線圈平面內在線圈平面內不在線圈平面內不在線圈平面內一對平衡力一對平衡力一對力偶一對力偶見后見后大小不同的同形載流線圈共軸固定地排在平面內大小不同的同形載流線圈共軸固定地排在平面內時的磁矩和磁力矩時的磁矩和磁力矩線圈載流反向線圈載流反向BlIdFdBen順磁性順磁性 )(2)(2)(2)(2BbIaBaIbBbIaBaIb)()(BbIaBaIbldr)d(BlIrMar2b b在勻強磁場中在勻強磁場中的矩形載流圈的矩形載流圈簡便算法：簡便算法：任一邊上各電流微元任一邊上各電流微元所受磁力方

51、向相同，所受磁力方向相同，其合力作用于該邊中點其合力作用于該邊中點2b b2a矩形載流圈在磁場中的方位任意時矩形載流圈在磁場中的方位任意時)()()()(baBBabBbaabBI)()(BbaBabIBbaI)()(baImBmM考慮對任一點考慮對任一點OO的力矩，則的力矩，則bcdcbddbcdcb)()()()(與與O O點無關，乃力偶矩點無關，乃力偶矩對對稱中心對對稱中心O)d()(BlIrooMo)d()d(BlIrBlIooBmBlIoo)d(Bm略略2. 勻強磁場中之任意形狀平面載流線圈勻強磁場中之任意形狀平面載流線圈0)d()d( BlIBlIFll小矩形：小矩形：總磁力矩：總

52、磁力矩： ,ddBmM BeSI)d(nBeISn非勻強磁場：非勻強磁場：)(,0BmFM 指指向向弱弱場場區區域域指指向向強強場場區區域域FF,0p p 應用：直流電動機（如無軌電車，電氣機車）應用：直流電動機（如無軌電車，電氣機車）, 磁電式電流計磁電式電流計IBBBnddeSIm nene思考：非平面載流線圈的受力情況思考：非平面載流線圈的受力情況（微載流線圈）（微載流線圈）磁鏡原理磁鏡原理(見后）見后）BM m )d(Bm )d(M dBeSIn)d( BmlS磁力矩：磁力矩：三、三、 Ampere力的功力的功BIlF xFA：m 穿過閉合回路的穿過閉合回路的磁通之增量磁通之增量SBI

53、 )( mimf I1. 運動的載流導線運動的載流導線運動的載流導線運動的載流導線ab與兩與兩平行導軌構成閉合回路平行導軌構成閉合回路, I保持不變。勻強磁場垂保持不變。勻強磁場垂直于閉合回路。直于閉合回路。 m I取閉合回路所圍平面區域取閉合回路所圍平面區域為計算磁場穿過該回路磁為計算磁場穿過該回路磁通的曲面，通的曲面，xIlabFoixfxxifxx xBIl)(ifxxBIlifBIlxBIlx 其上各面元正其上各面元正向取為與電流繞向成右手向取為與電流繞向成右手螺旋關系的平面區域法向螺旋關系的平面區域法向mmimf)( 或穿過或穿過掃過面積的磁通量掃過面積的磁通量2. 轉動的載流線圈轉

54、動的載流線圈BmM sinISBM d sindISBA ?0d , 0d A則則若若 )cos(d)(cosdd BSIIBSA d轉動轉動d磁力矩對剛體所做的微功為磁力矩對剛體所做的微功為M線圈在勻強磁場中線圈在勻強磁場中選與電流繞向呈右手螺旋關系的線圈平面法向為選與電流繞向呈右手螺旋關系的線圈平面法向為 線圈平面區域中面元的正向線圈平面區域中面元的正向md I|d| )d(Bm21 21dsin BISA)(12mmm II時磁通量為正，反之為負。時磁通量為正，反之為負。d 2m1mmdI)(mimfI dsindISBA )cos(d)(cosdd BSIIBSA 選與電流繞向呈右手螺

55、旋關系的線圈平面法向為選與電流繞向呈右手螺旋關系的線圈平面法向為 線圈平面區域中面元的正向線圈平面區域中面元的正向md I0d , 0d A則則若若 2/0p p 小線圈在外磁場中的能量：小線圈在外磁場中的能量：BmWm)d(Bm12coscosIBSIBSmW)cos(IBS)(Bm)(BmWFm粒子與磁場的相互作用能粒子與磁場的相互作用能電子的自旋電子的自旋-軌道相互作用軌道相互作用當載流回路在非勻磁場中轉動保持當載流回路在非勻磁場中轉動保持I不變時，此式亦可用。不變時，此式亦可用。例例14-8 如圖，如圖，電流電流I2的等腰直角三角形線圈的等腰直角三角形線圈ABC。若將線圈從圖。若將線圈

56、從圖示位置以示位置以AC邊為軸轉過邊為軸轉過180并保持其電流不變，并保持其電流不變，求無限長直電流磁場所做的功。求無限長直電流磁場所做的功。解：解：bablalIId2102pABABCSBIIAd2m2在無窮長直電流在無窮長直電流I1的磁場中放置一通有的磁場中放置一通有1IbBAdIB 20p p ABC在長直電流激發的磁場中轉動在長直電流激發的磁場中轉動ABC轉動過程中轉動過程中I2不變化，磁場力對不變化，磁場力對之所做功等于磁通量增量與之所做功等于磁通量增量與I2之積之積直電流激發的直電流激發的磁場不均勻磁場不均勻則則取面元方向與電流繞向成右手螺旋關系取面元方向與電流繞向成右手螺旋關系

57、 BCB2IaABCABCSBSBddmiCBACBASBSBddmf故故CBASBdmABCSBdABABCSBd無限長直電流磁場在無限長直電流磁場在ABC翻轉中對之所做的功為翻轉中對之所做的功為lal dbbaaIIln2120p2IlIIIII 補充例補充例 兩條半徑為兩條半徑為R的長平行導軌相距的長平行導軌相距l,另一長為另一長為l的導的導線通過圓環導線套于導軌。兩導軌通以反向電流線通過圓環導線套于導軌。兩導軌通以反向電流I時，導線中時，導線中流有微弱電流流有微弱電流I。如圖。導軌中電流沿表面分布。求垂直導線。如圖。導軌中電流沿表面分布。求垂直導線受到的安培力。受到的安培力。解：解：1

58、2o1rdr1電流電流 1 在電流元處產生磁場在電流元處產生磁場1012 rIBp p 1dF各個電流元的各個電流元的dF1的方向相同！的方向相同！RRlIIrIrIFRlR ln2 d201101p p p p 各個電流元的各個電流元的dF2的方向相同，且與的方向相同，且與F1同向！同向！FRRlIIFF ln 201p p 應用：船舶、潛艇的電磁推進裝置，電磁炮應用：船舶、潛艇的電磁推進裝置，電磁炮II 補充例補充例 平行于外磁場插入一無限大載流薄片，總磁場已知，平行于外磁場插入一無限大載流薄片，總磁場已知，求外磁場求外磁場 、薄片中電流密度、薄片上磁壓。載流與、薄片中電流密度、薄片上磁壓

59、。載流與 垂直垂直 。B0BB0BB1BB2B解：解： 由圖知，由圖知，21 BB 薄片電流方向薄片電流方向：垂直向外垂直向外: 0B方向：同總磁感應強度方向方向：同總磁感應強度方向0B0B設薄片的磁場為設薄片的磁場為 （勻強，上（勻強，上下反向）。由場強迭加原理下反向）。由場強迭加原理BBBB 01BBB 022210BBB 電流線密度：電流線密度：abcd取矩形回路，如圖，由安培環路定理，有取矩形回路，如圖，由安培環路定理，有abBBabcdBabB )(02121 021 BB 可否不用可否不用Ampere環路定理求之？環路定理求之？薄片所受磁壓：單位面積薄片所受壓力薄片所受磁壓：單位面

60、積薄片所受壓力,2210BBB 021 BB 面積為面積為dl1dl 的薄片所受壓力的薄片所受壓力(下標下標“up”和和 “down”分別代表薄片分別代表薄片“上方上方”和和“下方下方”)：01, 0111dd dddBldlBldlBldlBldlfupdownup，由上向下，由上向下磁壓強為磁壓強為2)()(ddd2102101BBBBBllfp)(2122210BB 討論：討論：1、 的情況；的情況；21 BB 2、上述公式也適用于有限曲面；、上述公式也適用于有限曲面；3、無外場情形。、無外場情形。dl1長直載流柱面長直載流柱面第十三次平時作業第十三次平時作業PZ51：習題：習題14: