1、§ 5.4離散時間系統狀態穩定性及判別法1. 離散時間系統的平衡狀態(點)設x(k 1) Ax(k), x(0)Xo, k 0, 1, 2, |,(5.仃)稱AXe = 0的Xe為(517)的平衡狀態(點).當A奇異時，有無數個平衡狀態.2. 平衡狀態(點)的穩定性(1)穩定：00,使當| XoXel卜&時,有|x(k)Xell ，L 0；(2)漸近穩定：0,使當X0kim|x(k)XeII時,有Xe0 ；(3)全局漸近穩定:任意X0(4)不穩定：00,無論l|x(ki)-對定常系統，漸近穩定Rn,都有 pmlMk) Xe|0；多小正數，總有ki 0,使 Xe全局一致漸近穩定

2、3.穩定性判別對定常系統x(k1)= Ax(k)若xe = 0穩定(漸近穩定)，則其它xe也穩定(漸近穩定)；若Xe = 0漸近穩定，則Xe必為一致全局漸近穩定;簡單介紹Xe = 0穩定性條件設(517)的解x(k) Akx0, k 0, 1, 2, III則漸近穩定"kim|x(kr 0 kiml|AkXo|卜 0(x 0),kk -1k=limAk0= limTJkT 10= limJk 0k：k 3: 二A的所有特征值的模全小于1-A的所有特征值都位于復平面上的單位圓內其中J為A的若當形.kJi 如 Jk=.JrJ：且再如k-.k亠 1 k1101ICkJif1011>=

3、0 ? k00K J! 00-A的所有特征值的模全小于 1-A的所有特征值都位于復平面上的單位圓內例設A有互不相同特征值 “ 2,111, n，則T,使ATT-1由此可得I i | 1,i1,2, |,n二 lim /0,i1,2,111,nk*二 lim Ak 0.k定理5.12系統為(517)的穩定性判定如下：(i) Xe= 0穩定二A所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值對應的約當塊是一階的；(ii) Xe= 0漸近穩定二A的所有特征值模全小于1.對一般非線性系統x(k 1) F(x(k), k 0, 1, 2, III (5.18)在Xe = 0(設F(0) = 0)的穩定

4、性判定方法有定理5.13對(5.18),若x(k)的標量函數V(x(k)，滿足(j)V(x(k)為正定；(ii) V(x(k) V(x(k 1) V(x(k)負定；(iii) 當 |x(k)| 時，有V(x(k).則Xe = 0全局漸近穩定的 若無(iii),則Xe 0是漸近穩定的；再若(ii)中 V(x(k)為半負定,則xe 0僅是穩定的 定理用于定常系統(517),即得定理5.14線性定常離散（5.17）的xj 0為漸近穩定二對-Q > 0,李雅普諾夫方程AtPA P Q有唯一正定解P.證只證充分性,即已有對- Q > 0,atpA p Q有唯一解p0,令 V(Xk) = x：PXk,則有V(xQ V(Xk J V(xJX： iPXk 1 - X： PXkx：(A：PA P)xr x：QXk,顯見V(Xk)為負定，故Xe = 0漸近穩定.例5.6設a x(k 1)0試分析穩定的條件解選Q = I,則有AtPA P = a0皿P12a0II II II I0-x(k)bI,即fllpi210I Ip210 '0bP21p220b整理且比較，得2Pii(1ab2r i,)1, MO ab) = 0, P22CI需滿足|a|1,|b| 1,(5.19)要