1、有限元分析有限元分析內容內容 彈性力學基礎知識彈性力學基礎知識 2 1. 邊界條件邊界條件 2. 彈性力學中的能量表示彈性力學中的能量表示 3. 彈性力學邊值問題彈性力學邊值問題要求要求 理解：理解： 彈性力學彈性力學邊界條件邊界條件的提法的提法 了解：了解： 彈性力學彈性力學邊值問題邊值問題的內涵的內涵 掌握：掌握： 彈性力學中的彈性力學中的能量表述能量表述課后作業課后作業 繼續檢索、閱讀彈性力學基本文獻繼續檢索、閱讀彈性力學基本文獻上節回顧上節回顧上節回顧上節回顧連續性連續性(Continuity) 線彈性線彈性(Linear elastic)均勻性均勻性(Homogeneity)4、各向

2、同性各向同性(Isotropy)5、小變形假定、小變形假定(Small deformation)彈性力學基本變量在外部力和約束作用下的變形體上節回顧上節回顧變形體的描述：變形體的描述：彈性力學基本變量上節回顧上節回顧描述變形體的三類變量：描述變形體的三類變量：上節回顧上節回顧dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpT位移（位移（displacement）是指位置的移動是指位置的移動。它在 x, y 和 z 軸上的投影用 u, v 和w。上節回顧上節回顧dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpT上節回顧上節回顧xxyxzyxyyzzxzyz上節回顧上節回顧dyuvwdzdx(x,y,

3、z)xuxdddxxxuu +duxxyxzyxyyzzxzyz彈性力學的基本方程上節回顧上節回顧上節回顧上節回顧xyzxyyzzxuxvywzuvyxvwzywuxz000000000 xyzxyyzzxxyuzvwyxzyzx LuL上節回顧上節回顧彈性力學基本方程000yxxzxxxyyzyyyzxzzzbxyzbxyzbxyz0000000000 xyxzyyxzzyxzxyzbbyxzbzyxA0AbTA L上節回顧上節回顧111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG 10001110001110001111 211 2000002 11 2000002 11

4、2000002 1xxyyzzxyxyyzyzzxzxEDD上節回顧上節回顧dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpT0LuAbDin一、彈性力學的邊界條件(Boundary condition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpTSp：力的邊界力的邊界Su：位移邊界位移邊界一、彈性力學的邊界條件邊界上已知位移時，應建邊界上已知位移時，應建立物體邊界上點的位移與立物體邊界上點的位移與給定位移相等的條件給定位移相等的條件dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpTuuuvvon Sww一、彈性力學的邊界條件邊界上給定面力時，則物體邊界上的應力邊界上給定面力時，則物體邊界上的

5、應力應滿足與面力相平衡的力的平衡條件應滿足與面力相平衡的力的平衡條件以二維問題為例以二維問題為例0X dsldy/ds，m=dx/ds一、彈性力學的邊界條件以二維問題為例以二維問題為例0Y 0M 一、彈性力學的邊界條件以二維問題為例以二維問題為例二維情形的力的邊界條件二維情形的力的邊界條件00 xxxyyyxyxypnnnnp其中：nxl；nym一、彈性力學的邊界條件擴展到三維情形的力的邊界條件擴展到三維情形的力的邊界條件000000000 xyxyzxzyxzyxyzyxzyzzxnnnpnnnpnnnpnppon S二、彈性力學中的能量表述功能原理的兩個基本概念：功能原理的兩個基本概念：

6、功（功（work）：外力功；：外力功； 能量（能量（energy）：如動能、勢能、熱能等：如動能、勢能、熱能等彈性問題中的功和能量：彈性問題中的功和能量：外力功外力功：施加外力在可能位移上所做的功：施加外力在可能位移上所做的功應變能應變能：變形體由于變形而儲存的能量：變形體由于變形而儲存的能量二、彈性力學中的能量表述work by force 彈性力學中的外力包括：面力和體力，故外力功包括：彈性力學中的外力包括：面力和體力，故外力功包括：Part 1：面力：面力pi在對應位移上在對應位移上ui上的功（上的功（on Sp）Part 2：體力：體力bi在對應位移上在對應位移上ui上的功（上的功（i

7、n ）外力總功為：外力總功為：ddpxyzxyzSWp up vp wSbu b v b w二、彈性力學中的能量表述strain energy 設加載緩慢，系統設加載緩慢，系統功能功能可忽略，同時略去其它能量（如可忽略，同時略去其它能量（如熱熱能能等）的消耗，則所做的功全部以等）的消耗，則所做的功全部以應變能應變能的形式儲存于內部。的形式儲存于內部。Part 1：對應于正應力與正應變的應變能：對應于正應力與正應變的應變能Part 2：對應于切應力與切應變的應變能：對應于切應力與切應變的應變能 對應于微元體的兩種變形：對應于微元體的兩種變形：線應變線應變和和切應變切應變，亦有兩種形，亦有兩種形式

8、的應變能：式的應變能：Part 1：對應于正應力與正應變的應變能：對應于正應力與正應變的應變能x，x Part 2：對應于剪應力與剪應變的應變能：對應于剪應力與剪應變的應變能xy，xy 二、彈性力學中的能量表述由疊加原理，將所有方向正應力正應變、剪應力剪應變所產生的變形能疊加0222222022222220121122122xxyyzzxyxyyzyzzxzxijxyzxyyzzxxyyzzxijxyzxyyzzxUUEEGUeGG 應變能密度應變能密度0222222022222220121122122xxyyzzxyxyyzyzzxzxijxyzxyyzzxxyyzzxijxyzxyyzzx

9、UUEEGUeGG 其中：其中：i,j x,y,z。,稱為拉梅常量，其與工程彈性常數 E,的關系為：32,2E不難發現：應變能密度的性質應變能密度的性質0ijijijU0ijijijU彈性應變能密度U0(ij)（或U0(ij) ）對任一應變分量（或應力分量）的改變率等于相應的應力分量（或應變分量）。三、彈性力學邊值問題求解彈性力學問題的目的：求解彈性力學問題的目的：求出物體內部各點的應力、應變和位移，即應力場、應變場和位移場。彈性力學問題的提法：彈性力學問題的提法：給定作用在物體全部邊界或內部的外界作用（包括溫度影響、外力等），求解物體內由此產生的應力場和位移場。具體要求：（1）在物體內部各點

10、：應力分量、應變分量和位移分量滿足：（2）在物體邊界：應力分量、應變分量和位移分量滿足： 平衡方程（3個） 幾何方程（6個） 物理方程（6個） 位移邊界條件 力的邊界條件基本方程組，普遍規律定解條件，特定規律。每一個具體每一個具體問題反映在問題反映在各自的邊界各自的邊界條件上條件上三、彈性力學邊值問題彈性力學邊值問題提法：彈性力學邊值問題提法：0Lu AbinDuuuvvon Swwnppon S求求u，滿足：滿足：基本基本方程：方程：邊界邊界條件：條件：已經證明：該已經證明：該問題有解，而問題有解，而且解唯一。且解唯一。關于彈性力學解的唯一性的討論圣維南原理由彈性力學由彈性力學解的唯一性解的

11、唯一性可知，可知，邊界條件不同，則解不同，邊界條件不同，則解不同，但實際應用中出現的但實際應用中出現的事實是：事實是：圣維南圣維南發現了這一事實，并總結為：發現了這一事實，并總結為：關于彈性力學解的唯一性的討論圣維南原理圣維南原理：圣維南原理：如作用在彈性體表面某一如作用在彈性體表面某一不大的局部面積上不大的局部面積上的力系，的力系，為作用在同一局部面積上為作用在同一局部面積上的另一的另一靜力等效力系靜力等效力系所所代代替替，則荷載的這種重新分，則荷載的這種重新分布只在力荷載作用處布只在力荷載作用處很近很近的地方的地方才是應力的分布發才是應力的分布發生生顯著顯著變化，在離荷載變化，在離荷載較較

12、遠處遠處只有只有極小極小的影響。的影響。關于彈性力學解的唯一性的討論圣維南原理圣維南原理的應用：圣維南原理的應用：可將邊界條件簡化可將邊界條件簡化, 將不容易積分的方程變成近似將不容易積分的方程變成近似的容易積分的邊界條件方程的容易積分的邊界條件方程.關于彈性力學解的唯一性的討論圣維南原理利用Ansys初步體會圣維南原理的正確性上機實驗安排 時間時間：第4周 星期三第12節（8:009:40） 地點地點：C302 上機實驗題目上機實驗題目：桿梁結構Ansys有限元分析（2） 實驗目的實驗目的：利用Ansys具體計算桿梁結構的力學響應 實驗內容實驗內容： 照書操練照書操練 教材P125，Ansys算例5.1(1),(2) 利用Ansys后處理器，提取