1、3.2.3 直線與平面的夾角直線與平面的夾角2aaOAB一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入aOABCDE,AOBAOCAODAOE中最小的角是哪一個(gè)？行行二、新課探究二、新課探究1AlBOM 探究一探究一 已知已知OAOA是平面是平面 的的斜線段，斜線段，O O為斜足，線段為斜足，線段ABAB 于于B B，則直線，則直線OBOB是斜線是斜線OAOA在平面在平面 內(nèi)的正射影，設(shè)內(nèi)的正射影，設(shè)OMOM是是 內(nèi)通過內(nèi)通過O O點(diǎn)的任意一條點(diǎn)的任意一條直線，直線，OAOA與與OBOB所成角為所成角為1 1( (1 1 是銳角）是銳角）,OB,OB與與OMOM所所成角為成角為2 2，OAOA與與OMOM所成角為所

2、成角為。那么那么，1 1，2 2 之間之間有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？2 OAmOBmBAm由于由于 是單位向量，故有是單位向量，故有 m因此因此 OAOBBA OAmOBm在直線在直線OMOM上取單位向量上取單位向量 ，則，則 ，即，即 。 m0 BAm BAm2|cos|cos OAOB2|coscos| OBOA1|cos| OBOA12coscoscos所以所以二、新課探究二、新課探究1AlBOM最小角定理：最小角定理：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是斜斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角。線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角。212cosco

3、scos20cos11cososc1斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是唯一的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是唯一的二、新課探究二、新課探究概念：斜線與平面所成角定義概念：斜線與平面所成角定義 平面的一條斜線和它在平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的平面上的射影所成的銳角銳角，叫做叫做這條斜線和這個(gè)平面所這條斜線和這個(gè)平面所成的角成的角( (斜線與平面的夾角斜線與平面的夾角) )。直線和平面所成角的范圍是直線和平面所成角的范圍是。范圍（范圍（）二、新課探究二、新課探究探究二探究二. .求直線與平面所成角的基本方法求直線與平面所成角的基本方法(1)(1)幾何（定義）法：幾何（定義）法：例題：例題：

4、 正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，（中，（1 1）求）求A A1 1B B與平面與平面ABCDABCD所成所成的角（的角（2 2）求）求A A1 1B B與平面與平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角思路：找出思路：找出A A1 1B B在平面內(nèi)的射影在平面內(nèi)的射影A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1M M所以所以A A1 1M M是是A A1 1B B在平面在平面A A1 1B B1 1CDCD內(nèi)的射影，內(nèi)的射影，解：連接解：連接BCBC1 1，交，交B B1 1C C于于M M，連接，連接A

5、 A1 1M M。111平面BCBCC B11111111111111平面ABBCABB BABBCC BBCB BB111平面BCABCD111A BBC1111ABBCB11BCB Ca在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，各面均為正方形，設(shè)其棱長為中，各面均為正方形，設(shè)其棱長為所以所以A A1 1B B與平面與平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角為所成的角為3030BABA1 1M M為為A A1 1B B與平面與平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角122 ,2A Ba BMa111sin2BMBA MA B130B

6、A M在在RtRtBABA1 1M M中，中，二、新課探究二、新課探究探究二探究二. .求直線與平面所成角的基本方法求直線與平面所成角的基本方法 變式：正方體變式：正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，若若，分別是，分別是1 11 1, ,1 11 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求求A A1 1B B與平面與平面BDBD所成的角？所成的角？A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1M MA A1 1B B在平面在平面BDBD內(nèi)的射影不好找，內(nèi)的射影不好找，怎么辦？怎么辦？二、新課探究二、新課探究ancos,| ana nan|sin|

7、cos,| a na na n(2)(2)直線的方向量與平面的法向量所成角的關(guān)系：直線的方向量與平面的法向量所成角的關(guān)系：設(shè)斜線的方向向量為設(shè)斜線的方向向量為 ，平面，平面 的法向量為的法向量為 ，則向量，則向量 與與 的夾角為的夾角為 anan,2n a ,2n a 或二、新課探究二、新課探究(2)(2)向量求法：向量求法： 變式：正方體變式：正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，若若，分別是，分別是1 11 1, ,1 11 1的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，求求A A1 1B B與平面與平面BDBD所成的角？所成的角？ 思路：利用法向量與直線方向思路：利用法向量

8、與直線方向量所成角。量所成角。A AB BC CD DD D1 1x xy yB B1 1D DA A1 1C C1 1M M解：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為解：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1 1，則，則020 xnDMyznDBxy11(0,1, 1),( ,1,1),(1,1,0)2 ABDMDB令令 則則1(1, 1, )2n1xA A1 1(1,0,1),B(1,1,0),M(1/2,1,1),N(0,1/2,1),D(0,0,0)(1,0,1),B(1,1,0),M(1/2,1,1),N(0,1/2,1),D(0,0,0)( , , )nx y z設(shè)平面設(shè)平面A A1 1

9、B B1 1CDCD的法向量為的法向量為113(1, 1, ) (0,1, 1)22 n AB13| |,|22 nAB1112cos,2| | n ABn ABn AB2sin|cos,|2 a n設(shè)設(shè)A A1 1B B與平面與平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角為所成的角為。(0,)245故故A A1 1B B與平面與平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角為所成的角為4545。思考思考三、新知應(yīng)用三、新知應(yīng)用例例2.2.如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，側(cè)棱是正方形，側(cè)棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCP

10、D=DC，E E是是PCPC的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求EBEB與底面與底面ABCDABCD所所成的角正切值。成的角正切值。 P PA AB BC CD DE E解：取解：取DCDC中點(diǎn)中點(diǎn)H H，連結(jié)，連結(jié)EHEH，HBHB，易知，易知EH/PDEH/PD22215HBHBHB為斜線為斜線EBEB在平面在平面ABCDABCD上的射影，上的射影，15tan55EHEHBHBEBHEBH為斜線為斜線EBEB與底面與底面ABCDABCD所稱的角。所稱的角。55EHEH平面平面ABCDABCD，設(shè)設(shè)PD=DC=2PD=DC=2，RtRtEHBEHB中，中，EH=1EH=1，EBEB與底面與底面ABCDABC

11、D所成的角正切值為所成的角正切值為P PA AB BC CD DE EF F幾何法幾何法解：解：D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)底面底面ABCDABCD的法向量為的法向量為|sin|cos,|2662 6 nEBn EBnEB2 nEB(0,0,2)nDP5tan5EBEB與底面與底面ABCDABCD所成的角正切值為所成的角正切值為P PA AB BC CD DE EX XY YZ Z向量法向量法三、新知應(yīng)用三、新知應(yīng)用例例2.2.如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，是正方形，側(cè)棱側(cè)棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求EBEB與底面與底面ABCDABCD所所成的角正切值。成的角正切值。 E EA AC