1、、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5分）已知復數z=?1 - 2i （其中i為虛數單位），則|z|二（）丁1 ,LA. 375b. 3/2C. 2后D. 2/22. （5 分）設集合 A= （x, y） |x2+y2=1, B= （x, y） |y=3x,則 A n B 的子集 的個數是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. （5分）古代數學著作九章算術有如下問題： 今有女子善織，日自倍, 五日織五尺，問日織幾何"意思是：女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別

2、織布多少”根據上題的已知條件,可求得該女子第3天所織布的尺數為（A.2031B.354. （5分）已知正三角形 ABC的邊長為a,那么 ABC的平面直觀圖 A B' C的面積為（）A.亨a2 b.尋2 C.爭2 D.*a25. （5分）閱讀程序框圖，如果輸出的函數值在區間小1內，則輸入的實數x的取值范圍是（）D. 2, +oo)A. ( 8, - 2 B. -2, - 1 C. -1, 26. （5分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（%*、1U>/、*、事3A. 96 B. 80721 C,解+4（詆-1）n D. 6+4（

3、2aT）兀7. （5分）上海某小學組織6個年級的學生外出參觀包括甲博物館在內的 6個博物館，每個年級任選一個博物館參觀，則有且只有兩個年級選擇甲博物館的方案有（）A. A*A£種B.A3X54種030C. C"AaD.C?X54種S568. （5分）某單位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至12日值班，每人4天. 甲說：我在1日和3日都有值班； 乙說：我在8日和9日都有值班；內說：我們三人各自值班的日期之和相等.據此可判斷內必定值班的日期是A. 2日和5日B. 5日和6日 C. 6日和11日D. 2日和11日支-9. （5分）設x, y滿足條件-3式寸-6<0 ,若目標函

4、數z=ax+by （a>0, b>0）的最大值為12,則工金的最小值為（）a bA.絡B.匚 C.4D. 4o 3310. (5 分)設F1, F2是雙曲線%=1 （a>0, b>0）的左、右兩個焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使（屈+而）？H=0 （O為坐標原點）,且|PF1|=V3|PF2|,則雙曲線的離心率為()A. 6； B. V2+1 C.、行;1 D. V3+11|' I -1.11. (5 分)在AABC 中，挹'BC =BC 匚A =CA AB 則 $訪人：sinB： sinC=()321A. 5: 3: 4B. 5: 4: 3 C.近：

5、“：2 D.詆：2:M12. (5分)若函數f (x) =x3-3x在(a, 6-a2)上有最小值，則實數 a的取值范圍是()A. (-V5, 1) B. -V5, 1) C. -2, 1) D. (-2, 1)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13. （5分）若 a=log43,貝U 2a+2 a=.14. （5分）函數 f （x） =2sin2 （千+x）-Vcos2x（千&x0三）的值域為.15. （5分）已知圓x2+y2=4,B（1,1）為圓內一點,P,Q為圓上動點,若/ PBQ=90 , 則線段PQ中點的軌跡方程為.16. （5分）設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線

6、y2=2px （p>0）上任意 一點，M是線段PF上的點，且|PM|二2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為 .三.解答17. （12分）Sn為數列an前 n項和，已知 an>0, an2+2an=4Sn+3,（1）求an的通項公式；（2）設bn=,求數列bn的前n項和. anan+l18. （12分）人們常說的 幸福感指數”就是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標，常用區間0, 10內的一個數來表示，該數越接近10表示滿意度越高.為了解某地區居民的幸福感情況， 隨機對該地區的男、女居民各500人進行了調查，調查數據如表所示：幸福感指數0, 2)2, 4)4, 6

7、)6, 8)8, 10男居民人數1020220125125女居民人數1010180175125（1）在圖中繪出頻率分布直方圖（說明：將各個小矩形縱坐標注在相應小矩形邊的最上面），并估算該地區居民幸福感指數的平均值；（2）若居民幸福感指數不小于 6,則認為其幸福.為了進一步了解居民的幸福滿意度，調查組又在該地區隨機抽取 4對夫妻進行調查，用 X表示他們之中幸 福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的對數，求 X的分布列及期望（以樣本的頻率 作為總體的概率）.0.150J00.05金捻指數19. (12 分)如圖，在四棱錐 P- ABCD 中，PA，面 ABCD , AD/ BC, / BAD=90 ,AC

8、XBD, BC=1, AD=PA=2, E, F 分別為 PB, AD 的中點.(1)證明：ACXEF;(2)求直線EF與平面PCD所成角的正弦值.20. (12分)已知橢圓三彳三=1 (a>b>0)的離心率e=-,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程.(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點 A, B,已知點A的坐標為(-a, 0), 點Q (0, yo)在線段AB的垂直平分線上，且 金薪=4,求yo的值.21. (12分)已知函數 f (x) =lnx-ax2+ (a-2) x.(1)若f (x)在x=1處取得極值，求a的值;(2)求函數y=f (x)在a2,

9、 a上的最大值.請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4:坐標系與參數方程22. (10分)在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數方程為產”及口三口( 口為參 y=2sin<l數)，曲線C2的參數方程為P=3cosP =( B為參數),以。為極點，x軸的正半 軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線Ci和曲線C2的極坐標方程；(2)已知射線li: 8=H0<a<萼)，將射線li順時針旋轉詈得到射線12； 8=a-且射線11與曲線C1交于O, P兩點，射線|2與曲線C2交于O, Q兩點，求|OP|?|OQ的最大值.選彳4-5;不等式選講23. 設

10、不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集為M,且a, bCM.(1)證明：層a*b|<不 J O 4(2)比較|1-4abpf 2|a-b|的大小,并說明理由.2018年寧夏銀川一中高考數學一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5分）已知復數z= - ' - 2i （其中i為虛數單位），則|z|二（）A. 3百B. 3V2C. 2VSD. 2匣【解答】 解：z=l - 2i= J 呼二A、 - 2i=3 - i - 2i=3 - 3i,3+1（3+i J

11、（3-iJ則憶|二蚯,故選：B.2. (5 分)設集合 A= (x, y) |x2+y2=1, B= (x, y) |y=3x,則 A n B 的子集 的個數是()A. 4 B. 3C. 2 D. 1【解答】解：. A= (x, y) |x2+y2=1, B= (x, y) |y=3x, fx2+y2=l.AnB= (x, y) | 式 * Z如圖：由圖可知，APB的元素有2個，則AH B的子集有22=4個.故選：A.3. （5分）古代數學著作九章算術有如下問題：今有女子善織，日自倍,五日織五尺，問日織幾何"意思是：女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這

12、女子每天分別織布多少”根據上題的已知條件,可求得該女子第3天所織布的尺數為（）4尺,則數列an是等比數列，公比q=2.2-12031=5,解得&4. （5分）已知正三角形 ABC的邊長為a,那么 ABC的平面直觀圖 A B' C 的面積為（）A. a2 B.嚕 a2 C .惜a2 D.+2【解答】解：由于斜二測畫法規則是在已知圖象中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O,畫直觀圖時，畫出相應的x軸和y軸，兩軸相交于O',且使/ x，O, y，或51350,它們確定的平面表示水平面，已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫出平行于x軸和y軸的 線段，已知圖形中平

13、行于x軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度 變成原來的一半，.ABC的平面直觀圖 A B'的底邊長不變，高變為 叵3 Jx返=a, 2228.ABC的平面直觀圖 A B的面積S=-乂4乂丑自近相.2二：16故選：D.5. （5分）閱讀程序框圖，如果輸出的函數值在區間5內，則輸入的實數x的取值范圍是()A. ( 8, 2 B. -2, - 1 C. -1, 2 D. 2, +8)【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數f (x) = 2' Xt J，' 2的函數值.2,xE(-g, -2)U(2,

14、+8)又丁輸出的函數值在區間L, L 內， 42x -2, - 1故選：B.6. (5分)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視【解答】解：由三視圖可知幾何體為邊長為 4的正方體挖去一個圓錐得到的，圓錐的底面半徑為2,高為2, 圓錐的母線長為2向. 幾何體的平面部分面積為 6X42- ttX 22=96-4兀圓錐的側面積為=4 =4 2乂 2近=4,反叮.幾何體的表面積為96-4 7+42萬.故選：C.7. （5分）上海某小學組織6個年級的學生外出參觀包括甲博物館在內的 6個博物館，每個年級任選一個博物館參觀，則有且只有兩個年級選擇甲博物館的方案有（）A. A£

15、 6A BX54種C. C "A &種 D. C ?X54種 D0【解答】解：根據題意，分2步進行分析：，在6個年級中任選2個，去參觀甲博物館，有C62種選法，剩下4個年級中每個年級都可以在剩下的 5個博物館中任選1個參觀，都有5種選法，則剩下4個年級有5X5X5X5=54種選法，則一共有C62X 54種方案；故選：D.8. （5分）某單位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至12日值班，每人4天.甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班；內說：我們三人各自值班的日期之和相等.據此可判斷內必定值班的日期是（ ）A. 2日和5日B. 5日和6日 C. 6日和11日D

16、. 2日和11日【解答】解：由題意，1至12的和為78,因為三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和為 26,根據甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班，可得甲在 1、3、10、12 日值班，乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、5,據此可判斷內必定值班的日期是 6日和11日，故選：C.9. （5分）設x, y滿足條件-0 ,若目標函數z=ax+by （a> 0, b>0） y0的最大值為12,則的最小值為（）A.孕B.三 C.馬D. 4633【解答】解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，6)時，目標函數z=ax+by (a>0, b&g

17、t;0)取得最大 .4a+6b=12,即 2a+3b=6,.&JL= (J-4-2 ) X 2/3b =!(122!>4 a b a b66a b當且僅當史理時，的最小值為4 a ba b故選：D.7 / 一x / z r-y-h2=0Av-v-6=0/-2210. (5分)設F1, F2是雙曲線號-J=1 (a>0, a/ b12,b>0）的左、右兩個焦點,當直線ax+by=z （a> 0, b>0）過直線x - y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,若雙曲線右支上存在一點 P,使（5?+正）凈版=0 （O為坐標原點）,且|PFi|=V3|PF2|

18、,則雙曲線的離心率為（）A. '寧 1 B. V2+1 C. 'I D. V3+1【解答】解：PF PF2的中點A,則赤+可=2畝V （OP+of；）苞f=0, 血布尸=0.O是F1F2的中點OA / PFi ,PFi±PF2, .|PFi|=. ；|PF2|, .2a=|PF|PF2|=(61) |P冏，|PFi|2+|PF2|2=4c2, .c=|PF2|,e-=-J=V5+1a M3-1故選：D.1|' I -1.11. (5 分)在AABC 中，艇BC,=BCCA=CAAB ,則 $訪人：sinB: sinC=()$21A. 5: 3: 4B, 5:

19、4: 3 C.近：灰：2 D.詆：2: V3【解答】解： ABC中，: APBC=g；0=CAAB 321. ABBC85(兀-B) -BCCAs式兀Y)CAAB?？谑?-A)3=1'即加七口初=止'8式=bL85A.321'2 , 2 v2 l 2,. 22,2 , 22即- - =- =bc? 3 2ac 2 2ab2k '即 2a2+2c2 - 2b2=3a2+3b2 - 3c2=6b2+6c2 - 6a2,設 2a2+2c2 - 2b2=3a2+3b2 - 3c2=6b2+6c2 - 6a2=k,求得 a2=5k, b2=3k, c2=4k,a=J 卜,

20、b= I , c=.；YZ=21 I ,由正弦定理可得 a： b: c=sinA: sinB: sinC=/5： JI： 2, 故選：C.12. (5分)若函數f (x) =x3-3x在(a, 6-a2)上有最小值，則實數 a的取值 范圍是()A.(-近,1) B. -V5, 1) C. -2, 1) D. (-2, 1)【解答】解：由題意可得：函數f (x) =x3 - 3x,所以 f'(x) =3x2- 3.令 f'(x) =3x2-3=0可得，x=±1;因為函數f (x)在區間(a, 6- a2)上有最小值，其最小值為f (1), 所以函數f (x)在區間(a,

21、 6-a2)內先減再增，即f'(x)先小于0然后再大于 0,所以結合二次函數的性質可得：a< 1<6-a2,且 f (a) =a3- 3a>f (1) = - 2,且 6 a2 a>0,聯立解得：-2&a< 1.故選：C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13. (5分)若 a=log43,則 2a+2 a= J【解答】解：= a=log43,可知4a=3,即 2a=:所以2a+2"=丘+=尊.故答案為：誓.14. (5分)函數 f (x) =2sin2 (-+x) -V3cos2x (-<x<-)的值域為 1 , 2L

22、- -【解答】 解：函數 f (x) =2sin2 (+x) - V3cos2x= - cos ( +2x) 42卜；cos2x+1=sin2x - ： ；cos2x=2sin （2x-也） 31兀x w2當乂=昱L時，函數取得最大值為:122.函數取得最小值為:1.所以函數的值域為：1, 2.故答案為：1, 2.15. (5分)已知圓x2+y2=4,B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上動點,若/ PBQ=90 , 則線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0 .【解答】解：設PQ的中點為N (x, y),在 RtzXPBQ 中，|PN|=|BN|,設O為坐標原點，則ONXPQ,所以

23、|OP2=|ON|2+|PN二|ON|2+|BN|2,所以 x2+y2+ (x1) 2+ (y 1) 2=4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2- x- y - 1=0.故答案為：x2+y2 - x - y - 1=0.16. (5分)設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px (p>0) 意 一點，M是線段PF上的點，且|PM|二2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為【解答】解：設P (2pt, 2pt), M (x, y),則上JL 2上2 36V3當且僅當t二一時取等號，2t直線OM的斜率的最大值為 亨.故答案為：* 三.解答17. (12分)Sn為數列an前 n 項和,

24、已知 t>0, an2+2an=4Sn+3,(1)求an的通項公式；(2)設bn=i,求數列bn的前n項和. anan+l【解答】解：(1) &>0, an2+2an=4Sn+3,n)2時，a_1+2an-1=4Sn-1+3,相減可得：an2+2an -(陵 +2an 1)=4an, an-l，化乂J: (&+an-1)(怎an -1 - 2) =0, a>0, 分a 一 2=0,即 an an 1=2,又+2%=4曰+3, a>0,解得 a1二3.數列an是等差數列，首項為3,公差為2.an=3+2 (n- 1) =2n+1.h 111 r 11.(2

25、) bn=-=-,%日的 Qn+l)(2n+3)2 l2n+l 2"3 ''數列bn的前n項和4Ci4)+44)+.+(_i_)Z o o rznTl zntj=6n+9 .18. （12分）人們常說的 幸福感指數”就是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標，常用區間0, 10內的一個數來表示，該數越接近10表示滿意度越高.為了解某地區居民的幸福感情況， 隨機對該地區的男、女居民 各500人進行了調查，調查數據如表所示:8, 10125125幸福感指數0, 2)2, 4)4, 6)6, 8)男居民人數1020220125女居民人數1010180175（

26、1）在圖中繪出頻率分布直方圖（說明：將各個小矩形縱坐標注在相應小矩形 邊的最上面），并估算該地區居民幸福感指數的平均值；（2）若居民幸福感指數不小于 6,則認為其幸福.為了進一步了解居民的幸福 滿意度，調查組又在該地區隨機抽取 4對夫妻進行調查，用 X表示他們之中幸 福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的對數，求 X的分布列及期望（以樣本的頻率 作為總體的概率）.頻率八 藕0.25- Q.沙 0.150.100.05-T I幸福最旨數【解答】解：（1）頻率分布直萬圖如右圖.所求的平土譏S為X 2X1 + X2X3+ X2X5+X2X7+X2X9=,（2）男居民幸福的概率為：=.女居民幸福的概率為： 當

27、欒祖=， 500故一對夫妻都幸福的概率為：x=,因此X的可能取值為0, 1, 2, 3, 4,且XB (4,)于是P (X=k)X的分布列為4321 O-K(k417 -1(k3k 4cA璋是 頻組J一二十II I 一尸一M- 5 Q 5 o 2 2 11 d - o o o o幸福晟旨數19. （12 分）如圖，在四棱錐 P- ABCD 中，PA，面 ABCD , AD/ BC, / BAD=90 ,ACXBD, BC=1, AD=PA=2, E, F 分別為 PB, AD 的中點.(1)證明：ACXEF;(2)求直線EF與平面PCD所成角的正弦值.P D【解答】解：(1)易知AB, AD,

28、 A P兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB, AD, AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設 AB=t,則相關各點的坐標為：A (0, 0, 0), B (t, 0, 0), C (t, 1, 0), D (0, 2, 0), P (0, 0, 2),嗚,0, 1)F (0,1, 0).(2分) 從而而=L / 1, T),應=(t, 1, 0),廊=(-t, 2, 0).因為ACLBD,所以庭痂=-t2+2+0=0.解得tS或t=S （舍去）.（4分）于是面上（跡，1, 1）,麻=（叵,1,0）. 2因為菽?而=-1+1+0=。，所以菽，而，即ACLEF.（6分）（2）由

29、（1）知，|PC=（版,1, -2）, PD= （0, 2, -2）.設£ （x, y, z）是平面PCD的一個法向量，則&*l2h。 ZyHZwO令"衣，則:=（1,衣,、回）.（9分）設直線EF與平面PCD所成角為9,則sin 81cos曰，而|.5即直線EF與平面PCD所成角的正弦值為（12分）20. （12分）已知橢圓三匹二1 （ab0）的離心率ejl,連接橢圓的四個 ” d2頂點得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的方程.（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點 A, B,已知點A的坐標為（-a, 0）,點Q （0, y0）在線段AB的垂直平分線上，且QA?&#

30、174;=4,求y0的值.【解答】解：（1）由e事應,得3a2=4c2. a 2再由 c2=a2 - b2,解得 a=2b.由題意可知 X2aX2b=4,即ab=2.a解方程組 卜'2b得a=2, b=i.此二22所以橢圓的方程為亍+ /二1.（2）由（I ）可知點A的坐標是（-2, 0）.設點B的坐標為（xi, yi）,直線l的斜率為k. 則直線l的方程為y=k （x+2）.尸k（H2）于是A、B兩點的坐標滿足方程組J土消去 y并整理，得(1+4k2) x2+i6k2x+ (16k2-4) =0.9得工產生笑.從而341 1“芹1 l+4k2所以1的二（_令x=0,解得嗎。（8;二個

31、Y IHk21十以上1十4K設線段AB的中點為M,2則M的坐標為（，" 編） l+4k2以下分兩種情況：當k=0時，點B的坐標是（2, 0）,線段AB的垂直平分線為y軸,于是贏=2, -yQ）, ®=（2，-y0）由欣，誣二4,得y廣土班.當kw0時，線段AB的垂直平分線方程為)2k 1,，8k"y 5"=i(工"91+4 k2 卜 l+4k?6ky(i=-2l+4kJ由 QA-(-2, -y0)，QB=(QA*QB=-2i1 -yQ Cy t -yc)=-，： I1H4£l+4k? l+4k2 l+4k24(161?十 15k2-1

32、)(1+4/整理得7k2=2.故依士半所以2后 曠士飛一.,2VR 3土飛一 '二 土 2y 或21. (12分)已知函數 f (x) =lnx-ax2+ (a-2) x.(1)若f (x)在x=1處取得極值，求a的值；(2)求函數y=f (x)在a2, a上的最大值.【解答】解：(1) f (x) =lnx - ax2+ (a-2) x, .函數的定義域為(0, +8).f'(x) = - - 2ax+ (a- 2) =-5-口( a肝 1.X工f (x)在x=1處取得極值，即 f'(1) =- (2-1) (a+1) =0, a= - 1.當 a=- 1 時，在(爭

33、 1)內 f'(x) <0,在(1, +oo)內 f，(x) >0,.x=1是函數y=f (x)的極小值點. a= - 1.(2) s2<ai,0<a< 1.f，(x) = - 2ax+ (a-2) =一'*1)(型豈).Xxx (0, +oo),ax+1 >0, .f (x)在(0,那上單調遞增；在(+ OO)上單調遞減,當0a0丁時,f (x)在a2, a單調遞增, fmax (x) =f (a) =lna J+a2 2a；當，即一a孚時，f (x)在(a2, I)單調遞增，在(2，a)單2調遞減，fmax (x) =f () = - l

34、n2 - -+=-=- - 1 - ln2 ； 24 24當a2,即苧&a< 1時，f (x)在a2, a單調遞減， fmax (x) =f (a?) =2lna a'+a 2a?.綜上所述，當0<a0時，函數y=f (x)在a2, a上的最大值是lna-3+a2-2a； 當二<2<等時，函數y=f (x)在a2, a上的最大值是錄T - ln2；當T時, 函數y=f (x)在a2, a上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4:坐標系與參數方程22 . （10分）在直角坐標系x