1、.第二章(2)（2008年10月9日）15速度為的風吹在迎風面積為的風車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風車獲得的功率與、S、的關系.解: 設、S、的關系為， 其量綱表達式為:P=, =,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數.16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數和重力加速度有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設, 的關系為,=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=

2、MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常數.16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數、特征尺寸和重力加速度有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設,， 的關系為.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量

3、綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數. 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設阻尼擺周期,擺長, 質量,重力加速度，阻力系數的關系為其量綱表達式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數 . 考慮物理模擬的比例模型，設和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質量分別為,；,;,. 又 當無量綱量時， 就有 .數學模

4、型作業解答第三章1（2008年10月14日）2建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型設生產速率為常數，銷售速率為常數，在每個生產周期內，開始的一段時間一邊生產一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產，畫出貯存量的圖形.設每次生產準備費為，單位時間每件產品貯存費為，以總費用最小為目標確定最優生產周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費為 又 , 貯存費變為 于是不允許缺貨的情況下，生產銷售的總費用（單位時間內）為 . , 得 易得函數取得最小值，即最優周期為： . 相當于不考慮生產的情況. . 此時產量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3在3.3節森林

5、救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關，試假設一個合理的函數關系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢有關，可知火勢越大，滅火速度將減小，我們作如下假設: ，分母而加的.總費用函數最優解為 5在考慮最優價格問題時設銷售期為T，由于商品的損耗，成本隨時間增長，設，.又設單位時間的銷售量為.今將銷售期分為兩段，每段的價格固定，記作.求的最優值，使銷售期內的總利潤最大.如果要求銷售期T內的總售量為，再求的最優值. 解：按分段價格，單位時間內的銷售量為 又 .于是總利潤為=, 得到最優價格為:在銷售期T內的總銷量為于是得到如下極值問題： 利用拉格朗日乘數法，解得：即為的最優值.第

6、三章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，不允許缺貨.目前每30天定購一次，每次定購的費用為2500元.每天每噸角鋼的貯存費為0.18元.假設當貯存量降到零時訂貨立即到達.問是否應改變訂貨策略？改變后能節約多少費用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸);每次訂貨費2500（元）;每天每噸角鋼的貯存費0.18（元）.又現在的訂貨周期T30（天）根據不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實際意義知：當（即訂貨周期為）時，總費用將最小. 又300100k =35333100k（353.33100k）（300100k）5333.故應改變訂貨策略.改變后的訂貨策略（周期

7、）為T=，能節約費用約5333元.數學模型作業解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產甲、乙兩種產品,一件甲產品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產品用原料2千克, 原料4千克.現有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產品每件售價分別為20元和30元.問如何安排生產使收入最大？解：設安排生產甲產品x件,乙產品y件，相應的利潤為S則此問題的數學模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個整線性規劃問題，現用圖解法進行求解可行域為：由直線：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區域. 直線：20x+30y=c在可行域內 平行移動. 易知：當過

8、與的交點時， xS取最大值. 由 解得 此時 20350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數分別為,所獲利潤為則問題的數學模型可表示為 這是一個整線性規劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 3某微波爐生產企業計劃在下季度生產甲

9、、乙兩種型號的微波爐.已知每臺甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個單位.而生產一臺甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,所需工時分別為4和2個單位.若允許使用原料為100個單位,工時為120個單位,且甲型、乙型微波爐產量分別不低于6臺和12臺.試建立一個數學模型,確定生產甲型、乙型微波爐的臺數,使獲利潤最大并求出最大利潤.解：設安排生產甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應的利潤為S.則此問題的數學模型為： max S=3x +2y s.t. 這是一個整線性規劃問題 用圖解法進行求解可行域為：由直線：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區域. 直線：3

10、x+2y=c在此凸四邊形區域內平行移動. 易知：當過與的交點時, S取最大值. 由 解得 . 3100.數學模型作業解答第五章1（2008年11月12日）1.對于5.1節傳染病的模型，證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方與甲方戰斗有效系數之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰雙方時刻t的士兵人數,則正規戰爭模型可近似表示為: 現求

11、(1)的解: (1)的系數矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數為又令注意到. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為數學模型作業解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1節捕魚模型中，如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規律，而單位時間捕撈量為常數h(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩定狀況(2)如何獲得最大持續產量，其結果與6.1節的產量模型有何不同解：設時刻t的漁場中魚的數量為，則由題設條件知：變化規律的數學模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點及其穩

12、定性：由，得 即 ，(1)的解為：當，(1)無實根，此時無平衡點；當，(1)有兩個相等的實根，平衡點為.， 不能斷定其穩定性.但 及 均有 ，即不穩定；當，時，得到兩個平衡點：， 易知： ， ， ，平衡點不穩定，平衡點穩定x(2)最大持續產量的數學模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩定這是與6.1節的產量模型不同之處要獲得最大持續產量，應使漁場魚量，且盡量接近，但不能等于2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規律的是Gompertz模型：其中r和N的意義與Logistic模型相同設漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為討論漁場魚量的平衡點及其穩定性，求最大持續產

13、量及獲得最大產量的捕撈強度和漁場魚量水平解：變化規律的數學模型為 記 令，得 ，平衡點為 . 又， 平衡點是穩定的，而平衡點不穩定. 0 最大持續產量的數學模型為：由前面的結果可得 ，令得最大產量的捕撈強度從而得到最大持續產量，此時漁場魚量水平3設某漁場魚量(時刻漁場中魚的數量)的自然增長規律為：其中為固有增長率,為環境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數.1求漁場魚量的平衡點,并討論其穩定性;2試確定捕撈強度,使漁場單位時間內具有最大持續產量,求此時漁場魚量水平.解：1變化規律的數學模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當時，（1）無實根，此時無平衡點； 當時，（1）有兩個

14、相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩定性.但 及 均有 ，即不穩定； 當時，得到兩個平衡點： ， 易知 ， ， 平衡點不穩定 ，平衡點穩定. 2最大持續產量的數學模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩定.要獲得最大持續產量，應使漁場魚量,且盡量接近,但不能等于. 數學模型作業解答7. 右下圖是5位網球選手循環賽的結果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當方法排出5位選手的名次.21345解：這個5階競賽圖是一個5階有向Hamilton圖.其一個有向Hamilton圈為3.所以此競賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競賽圖的鄰接矩陣為 令，各級得分向量為， ，

15、 ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網球選手排名次也可由計算A的最大特征根和對應特征向量得到：，第九章（2008年12月18日）1在節傳送帶效率模型中,設工人數固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡單的方法是增加一個周期內通過工作臺的鉤子數，比如增加一倍，其它條件不變另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產品，這種辦法用的鉤子數量與第一種辦法一樣試推導這種情況下傳送帶效率的公式，從數量關系上說明這種辦法比第一種辦法好解：兩種情況的鉤子數均為第一種辦法是個

16、位置，單鉤放置個鉤子；第二種辦法是個位置，成對放置個鉤子 由節的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當較小，時，有， 下面推導第二種辦法的傳送帶效率公式：對于個位置，每個位置放置的兩只鉤子稱為一個鉤對，考慮一個周期內通過的個鉤對任一只鉤對被一名工人接觸到的概率是； 任一只鉤對不被一名工人接觸到的概率是；記由工人生產的獨立性及事件的互不相容性得，任一鉤對為空的概率為，其空鉤的數為；任一鉤對上只掛上件產品的概率為，其空鉤數為所以一個周期內通過的個鉤子中，空鉤的平均數為 于是帶走產品的平均數是 ，未帶走產品的平均數是 ）此時傳送帶效率公式為 近似效率公式：由于 當時，并令，則 兩種辦法的比較：由上

17、知：，當時， 所以第二種辦法比第一種辦法好數學模型作業解答 第九章（2008年12月23日）一報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣.已知每100份報紙報童全部賣出可獲利7元.如果當天賣不掉，第二天削價可以全部賣出，但報童每100份報紙要賠4元.報童每天售出的報紙數是一隨機變量，其概率分布如下表：售出報紙數（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問報童每天訂購多少份報紙最佳(訂購量必須是100的倍數)？解：設每天訂購百份紙，則收益函數為 收益的期望值為G(n) = + 現分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+

18、7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當報童每天訂300份時，收益的期望值最大. 5某工廠生產甲、乙兩種產品,生產每件產品需要原材料、能源消耗、勞動力及所獲利潤如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動力(人)利潤(千元)甲2144乙3625現有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動力滿員為2000人.試安排生產任務(生產甲、乙產品各多少件),使利潤最大,并求出最大利潤.解：設安排生產甲產品件，乙產品件，相應的利潤為S.則此問題的數學模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域為：由直

19、線組成的凸五邊形區域. 直線在此凸五邊形區域內平行移動. 易知：當過的交點時，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生產甲產品400件、乙產品200件,可使利潤最大,其最大利潤為2600千元.6. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數分別為,所獲利潤為則問題的數學模型可表示為 這是一個整線性規劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 7.深水中的波速與波長、水深、水的密度和重力加速度有關，試用量綱分析方法給出波速的表達式.解：設,， 的關系為=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,其