1、Heat Transfer傳熱學傳熱學 Building Energy Efficiency is the Wave of the Future !3 非穩態導熱非穩態導熱 建筑環境與設備工程專業主干課程之一建筑環境與設備工程專業主干課程之一 !Chapter3 Unsteady-State (Transient) ConductionL o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 、重點內容：、重點內容： 非穩態導熱的基本概念及特點；非穩態導熱的基本概念及特點； 集總參數法的基本原理及應用；集總參數法的基本原理及應用； 一維及二

2、維非穩態導熱問題。一維及二維非穩態導熱問題。 2 、掌握內容：、掌握內容： 確定瞬時溫度場的方法；確定瞬時溫度場的方法； 確定在一時間間隔內物體所傳導熱量的計算方法。確定在一時間間隔內物體所傳導熱量的計算方法。 3 、了解內容：無限大物體非穩態導熱的基本特點。、了解內容：無限大物體非穩態導熱的基本特點。 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department v一、無限大平板加熱（冷卻）過程分析一、無限大平板加熱（冷卻）過程分析厚度厚度 2 2 的無限大平壁，的無限大平壁， 、a a為已知常數為已知常數； =0=0時溫度為時溫度為 t t

3、0 0; ;突然把兩側介質溫度降突然把兩側介質溫度降低為低為 t t 并保持不變；壁并保持不變；壁表面與介質之間的表面表面與介質之間的表面傳熱系數為傳熱系數為h h。兩側冷卻情況相同、溫兩側冷卻情況相同、溫度分布對稱。中心為原度分布對稱。中心為原點。點。3-2 一維非穩態導熱過程分析及周期性非穩態導熱一維非穩態導熱過程分析及周期性非穩態導熱L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 導熱微分方程：導熱微分方程：22xtat初始條件：初始條件： , 00tt 邊界條件：邊界條件： ( (第三類第三類) )0 , 0 xtx)(-

4、 ,tthxtxL o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 22xtat , 00tt )(- ,0 , 0tthxtxxtx過余溫度 ),(txt22xa00 , 0 -tt0 , 0 xxxhxx- , L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 采用分離變量法求解：采用分離變量法求解：22xa00 , 0 -ttxhxxxx- ,0 , 02211dxXdXdda只能為常數：只能為常數：2211dxXdXdda只為只為 的函數的函數只為只為 x x 的函

5、數的函數)()(),( xXx假設：L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 對對 積分積分a1得到得到aeC1式中式中C C1 1是積分常數，常數是積分常數，常數值值的正負可以從物理概的正負可以從物理概念上加以確定。念上加以確定。當時間當時間趨于無窮大時，過程達到穩態，物體趨于無窮大時，過程達到穩態，物體達到周圍環境溫度，所以達到周圍環境溫度，所以必須為負值必須為負值，否則，否則物體溫度將無窮增大。物體溫度將無窮增大。L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Departme

6、nt 令令221dda則有則有 以及以及2221dxXdX以上兩式的通解為：以上兩式的通解為：21aeC)sin()cos(32xCxCX于是于是:)sin()cos(),(2xBxAexaL o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 常數常數A A、B B和和可由邊界條件確定。可由邊界條件確定。00 , 0 -ttxhxxxx- ,0 , 0(1)(2)(3)由邊界條件（由邊界條件（2 2）得）得B=0B=0)sin()cos(),(2xBxAexa（a）（a a）式成為）式成為 (b)(b)cos(),(2xAexa邊界條件

7、（邊界條件（3 3）代入）代入(b) (b) 得得 (c)(c)htg)(L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department htg)(將將 右端整理成：右端整理成：Bihhy1注意，這里注意，這里BiBi數的尺度為數的尺度為平板厚度的一半。平板厚度的一半。顯然，設顯然，設=，是是兩曲線交點對應的所有兩曲線交點對應的所有值。式值。式(c)(c)稱為特征方程。稱為特征方程。 稱為特征值。分別為稱為特征值。分別為1 1、 2 2 n n。htg)(L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering D

8、epartment 至此，我們獲得了無窮個特解：至此，我們獲得了無窮個特解：)cos(),(11121xAexa)cos(),(22222xAexa)cos(),(2xAexnnann.1)cos(),(2nnnaxAexn將無窮個解疊加：將無窮個解疊加：L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 利用初始條件利用初始條件 求求A An n00 , 0 -tt1)cos(),(2nnnaxAexnnnnnnAcossinsin20解的最后形式為：解的最后形式為：)exp()cos(cossinsin2),(221n0nnnnn

9、naxxL o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 2Foa傅里葉準則傅里葉準則的內能變化單位時間體積為的導熱量面積厚為單位時間通過32322FocaFoFo：稱之為傅里葉準則或傅里葉數，其稱之為傅里葉準則或傅里葉數，其物理意義表物理意義表征了給定導熱系統的導熱性能與其貯熱（貯存熱能）征了給定導熱系統的導熱性能與其貯熱（貯存熱能）性能的對比關系性能的對比關系，是給定系統的動態特征量，是給定系統的動態特征量 .L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 2Foa

10、hBix 無量綱距離無量綱距離) ,Fo Bi,(),( 0 xfxL o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 非穩態導熱的正規狀況 對無限大平板對無限大平板 當當 取級數的首項，板中心溫度，取級數的首項，板中心溫度， 誤差小于誤差小于1%1% 20aF2 . 0F0eFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department )cos()(),(1xxmeFx

11、x021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department )(00ttcVQ考察熱量的傳遞考察熱量的傳遞Q Q0 0 -非穩態導熱所能傳遞的最大熱量非穩態導熱所能傳遞的最大熱量L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department ),()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF正規熱狀況的實用計算方法正規熱狀況的實用計算方法線算圖法線算圖法諾

12、謨圖諾謨圖三個變量，因此，需要分開來畫三個變量，因此，需要分開來畫以無限大平板為例，以無限大平板為例，F00.2 F00.2 時，取其級數首項即可時，取其級數首項即可 先畫先畫),(0BiFofmL o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department (2) (2) 再根據公式再根據公式(3-23)(3-23) 繪制其線算圖繪制其線算圖),()cos()(),(1xBifxxm(3) (3) 于是，平板中任一點的溫度為于是，平板中任一點的溫度為00mm同理，非穩態換熱過程所交換的熱量也可同理，非穩態換熱過程所交換的熱量也可以利用（以利用（

13、3 32424）和（）和（3 32525）繪制出。）繪制出。L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department ttcQfQQ02000m2 );Bi Fo,(平壁每L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 如何利用線算圖如何利用線算圖a a）對于）對于由時間求溫度的步驟由時間求溫度的步驟為，計算為，計算BiBi數、數、FoFo數和數和x/x/ ，從圖，從圖3-53-5中查找中查找mm/ / 0 0 和從圖和從圖3-63-6中中查找查找 / / mm ，計算出，計算

14、出 ，最后求出溫度，最后求出溫度t t tttt00b) b) 對于對于由溫度求時間步驟由溫度求時間步驟為，計算為，計算BiBi數、數、 x/x/和和 / / 0 0 , ,從圖從圖3-63-6中查找中查找 / / mm, , ，計算，計算mm/ / 0 0然后從圖然后從圖3-53-5中查找中查找FoFo, ,再求出時間再求出時間 。 c c）平板吸收（或放出）的熱量，可在計算）平板吸收（或放出）的熱量，可在計算0 0和和BiBi數、數、FoFo數之后，從圖數之后，從圖3-73-7中中/0 0查找，再計算查找，再計算出出 00L o g oL o g o建筑工程系 Construction E

15、ngineering Department 解的應用范圍解的應用范圍書中的諾謨圖及擬合函數僅適用恒溫介質書中的諾謨圖及擬合函數僅適用恒溫介質的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過程，并且熱及冷卻過程，并且L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 二、無限長圓柱體和球體加熱（冷卻）過程分析二、無限長圓柱體和球體加熱（冷卻）過程分析1. 1.無限長圓柱無限長圓柱t tr rt tt tt t0 00RrFoBiftttt,00式中式中R R為無限長圓柱體的半徑為無限長圓柱體的半徑 2,

16、RaFohRBi類似有類似有 ： 和和RrBifFoBifmm,2100FoBif,30L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 2.2.球體球體ttrt0 00球體處理方法與無限大圓柱球體處理方法與無限大圓柱體完全相同，相應的線算圖體完全相同，相應的線算圖見教材。見教材。這里要注意的是特征尺寸這里要注意的是特征尺寸R R為球體的半徑，為球體的半徑，r r為球體的為球體的徑向方向。徑向方向。 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 對分析解的討論對分析解

17、的討論1. Fo1. Fo準則對溫度分布的影響準則對溫度分布的影響FoFo時，進入正規狀況階段，時，進入正規狀況階段，平壁內所有各點過余溫度的平壁內所有各點過余溫度的對數都隨時間按線性規律變對數都隨時間按線性規律變化，變化曲線的斜率都相等化，變化曲線的斜率都相等。FoFo時是瞬態溫度變化的初始階段，各點溫度變時是瞬態溫度變化的初始階段，各點溫度變化速率不同化速率不同L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 2. Bi2. Bi準則對溫度分布的影響準則對溫度分布的影響Bi Bi （Bi=Bi=h h / / ）表征了給定導熱系

18、統內的導熱熱表征了給定導熱系統內的導熱熱阻與其和環境之間的換熱熱阻的對比關系阻與其和環境之間的換熱熱阻的對比關系 。當當 BiBi 時，意味著表時，意味著表面傳熱系數面傳熱系數 h h ，對，對流換熱熱阻趨于流換熱熱阻趨于0 0。平壁。平壁的表面溫度幾乎從冷卻的表面溫度幾乎從冷卻過程一開始，就立刻降過程一開始，就立刻降到流體溫度到流體溫度 t t 。L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 當當BiBi0 0時，意味著物體時，意味著物體的熱導率很大、導熱熱阻的熱導率很大、導熱熱阻 0 0（Bi= Bi= h h / / ）。

19、物）。物體內的溫度分布趨于均勻體內的溫度分布趨于均勻一致。一致?？捎眉倕捣ㄇ蠼饪捎眉倕捣ㄇ蠼? .L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 三、多維非穩態導熱的圖解法三、多維非穩態導熱的圖解法應用上面討論線算圖可以求出厚度為應用上面討論線算圖可以求出厚度為2 2 的大平的大平板、半徑為板、半徑為R R的無限長圓柱體、及半徑為的無限長圓柱體、及半徑為R R的球的球體的溫度分布和傳導的熱量。體的溫度分布和傳導的熱量。 對非一維非穩態導熱問題，我們能不能利用上面對非一維非穩態導熱問題，我們能不能利用上面的一維非穩態導熱線算

20、圖來進行求解呢？的一維非穩態導熱線算圖來進行求解呢？ 用一個無限長矩形柱為例來回答這一問題。用一個無限長矩形柱為例來回答這一問題。 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 二維及三維問題的求解二維及三維問題的求解考察一無限長方柱體考察一無限長方柱體( (其截面為其截面為 的長方形的長方形)22122122ft 21),(),(),(PPyxyxL o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 一個二維非穩態導熱問題的解可以用兩個導熱方向相互垂一個二維非穩態導熱問

21、題的解可以用兩個導熱方向相互垂直的一維非穩態導熱問題解的乘積來表示。直的一維非穩態導熱問題解的乘積來表示。 同理，一個三維非穩態導熱問題的解可以用三個相互垂直的同理，一個三維非穩態導熱問題的解可以用三個相互垂直的一維非穩態導熱問題解的乘積來表示一維非穩態導熱問題解的乘積來表示。 22 2yx021 1例如：例如：1.1.矩形截面的長棱柱（正矩形截面的長棱柱（正四棱柱）四棱柱）：可由兩個大平板正交：可由兩個大平板正交構成，因而溫度分布為兩個大平構成，因而溫度分布為兩個大平板對應的溫度分布的乘積板對應的溫度分布的乘積 20100ppL o g oL o g o建筑工程系 Construction

22、Engineering Department yzx2.2.矩形塊體矩形塊體( (立方體立方體) ) 可由三個大平可由三個大平板正交構成，因而溫度分布為三個大板正交構成，因而溫度分布為三個大平板對應的溫度分布的乘積平板對應的溫度分布的乘積 3020100ppp2xrR03.3.短圓柱體短圓柱體可由一個長圓柱體和可由一個長圓柱體和一個大平板正交構成，因而溫度一個大平板正交構成，因而溫度分布為一個長圓柱體和一個大平分布為一個長圓柱體和一個大平板對應的溫度分布的乘積板對應的溫度分布的乘積 cp0100L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Depar

23、tment 0), x(0), v(Rl2122232 cPyxyx),(),(),(L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department rx04.4.半長圓柱體半長圓柱體可由一個長圓柱體和一可由一個長圓柱體和一個半無限大固體正交構成，因而溫度個半無限大固體正交構成，因而溫度分布為一個長圓柱體和一個半無限大分布為一個長圓柱體和一個半無限大固體對應的溫度分布的乘積固體對應的溫度分布的乘積 sc000需要強調的是，我們要確定某一點的溫度時，一定要首需要強調的是，我們要確定某一點的溫度時，一定要首先確定該點在對應的幾個一維空間上的位置，再去確定先確定該點在對應的幾個一維空間上的位置，再去確定相應的一維溫度值，最終乘積得出物體在該點的溫度值相應的一維溫度值，最終乘積得出物體在該點的溫度值。 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 四、半無限大的物體四、半無限大的物體v半無限大系統指的是一個半無限大的空間，也半無限大系統指的是一個半無限大的空間，也就是一個從其表面可以向其深度方向無限延展就是一個從其表面可以向其深度方向無限延展的物體系統。的物體系統。v很多實際的物體